高中数学第十五章 复数
考试内容：
复数的概念．
复数的加法和减法．
复数的乘法和除法．
数系的扩充．
考试要求：
（1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．
（2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、
除法运算．
（3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想．
§15. 复 数 知识要点
1. ⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即i2??1.
⑵复数及其相关概念：
① 复数—形如a + bi的数（其中a，b?R）；
② 实数—当b = 0时的复数a + bi，即a；
③ 虚数—当b?0时的复数a + bi；
④ 纯虚数—当a = 0且b?0时的复数a + bi，即bi.
⑤ 复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数） ⑥ 复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.
⑶两个复数相等的定义：
a?bi?c?di?a?c且b?d（其中，a，b，c，d，?R）特别地a?bi?0?a?b?0.
⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.
注：①若z1,z2为复数，则1?若z1?z2?0，则z1??z2.（×）[z1,z2为复数，而不是实数] 2?若z1?z2，则z1?z2?0.（√）
②若a,b,c?C，则(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2?0是a?b?c的（当(a?b)2?i2，
(b?c)2?1,(c?a)2?0时，上式成立）
2. ⑴复平面内的两点间距离公式：d?z1?z2.
其中z1，z2是复平面内的两点z1和z2所对应的复数，d表示z1和z2间的距离.
由上可得：复平面内以z0为圆心，r为半径的圆的复数方程：z?z0?r（r?0）.
⑵曲线方程的复数形式： ①z?z0?r表示以z0为圆心，r为半径的圆的方程. ②z?z1?z?z2表示线段z1z2的垂直平分线的方程.
③z?z1?z?z2?2a（a?0且2a?z1z2Z1，Z2为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若2a?z1z2，此方程表示线段Z1，Z2）. ④z?z1?z?z2?2a（0?2a?z1z2表示以Z1，Z2为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若2a?z1z2，此方程表示两条射线）.
⑶绝对值不等式：
设z1，z2是不等于零的复数，则 ①z1?z2?z1?z2?z1?z2.
左边取等号的条件是z2??z1（??R，且??0），右边取等号的条件是z2??z1（??R，??0）. ②z1?z2?z1?z2?z1?z2.
左边取等号的条件是z2??z1（??R，??0），右边取等号的条件是z2??z1（??R，??0）. 注：A1A2?A2A3?A3A4???An?1An?A1An.
3. 共轭复数的性质：
z?z z1?z2?z1?z2
z?z?2a，z?z?2bi（z?a + bi） z?z?|z|2?|z|2
z1?z2?z1?z2 z1?z2?z1?z2
?z1??z2??z1??（z2?0） zn?(z)n ?z2?
注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的] n?z?z?z?z...z(n?N) 4 ⑴①复数的乘方：?????
n
②对任何z，z1,z2?C及m,n?N?有
③nzm?zn?zm?n,(zm)n?zm?n,(z1?z2)n?zn1?z2
注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如i2??1,i4?1若由i?21142(i)?12?1就会得到?1?1的错误结论.
②在实数集成立的|x|?x2. 当x为虚数时，|x|?x2，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.
⑵常用的结论：
i2??1,i4n?1?i,i4n?2??1,i4n?3??i,i4n?1
in?in?1?in?2?in?3?0,(n?Z)
(1?i)2??2i,
若1?i1?i?i,??i 1?i1?i1
1?是的2立n方n?1虚n?2数根，即????,1?????0,??????0(n?Z)则 ? .
5. ⑴复数z是实数及纯虚数的充要条件：
①z?R?z?z.
②若z?0，z是纯虚数?z?z?0.
⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零. ?3?1,?2?,??12i2，
注：|z|?|z|.
6. ⑴复数的三角形式：z?r(cos??isin?).
辐角主值：?适合于0≤?＜2?的值，记作argz.
注：①z为零时，argz可取[0,2?)内任意值.
②辐角是多值的，都相差2?的整数倍.
③设a?R?,则arga?0,arg(?a)??,argai?
⑵复数的代数形式与三角形式的互化：
a?bi?r(cos??isin?)，r?a2?b2，cos???3,arg(?ai)??. 22ab,sin??. rr
⑶几类三角式的标准形式：
r(cos??isin?)?r[cos(??)?isin(??)]
?r(cos??isin?)?r[cos(???)?isin(???)]
r(?cos??isin?)?r[cos(???)?isin(???)]
r(sin??icos?)?r??)?i??)] 22
7. 复数集中解一元二次方程：
在复数集内解关于x的一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)时，应注意下述问题：
①当a,b,c?R时，若?＞0，则有二不等实数根x1,2?
x1,2???b??；若?=0，则有二相等实数根2a???b??|ib；若?＜0，则有二相等复数根x1,2?（x1,2为共轭复数）. 2a2a
②当a,b,c不全为实数时，不能用?方程根的情况.
③不论a,b,c为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.
8. 复数的三角形式运算：
r1(cos?1?isin?2)?r2(cos?2?isin?2)?r1r2[cos(?1??2)?isin(?1??2)]
r1(cos?1?isin?2)r1?[cos(?1??2)?isin(?1??2)] r2(cos?2?isin?2)r2棣莫弗定理：[r(cos?
?isin?)]n?rn(cosn??isinn?)
第二篇：高中数学选修2-2(人教B版)第三章数系的扩充与复数3.1知识点总结含同步练习题及答案
高中数学选修2-2(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章 数系的扩充与复数 3.1 数系的扩充和复数的概念
一、学习任务
1. 了解数系的扩充过程；理解复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的充要条件．
2. 了解复数的几何意义；了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．
二、知识清单
复数的概念 复数的几何意义 共轭复数
三、知识讲解
1.复数的概念
描述：复数的概念
为了把数的范围进一步扩充，人们引入了一个新的数 i，叫虚数单位，且规定：① i2=?1；② i 可与实数进行四则运算，且原有的加、乘运算律仍成立．
我们把集合 C={a+bi | a,b∈R} 中的数，即形如 a+bi（a，b∈R）的数叫做复
数（complex number），其中 i 叫做虚数单位（imaginary unit）．全体复数所成的集合 C 叫做复数集（set of complex numbers）．
复数通常用字母 z 表示，即 z=a+bi （a，b∈R），这一表示形式叫做复数的代数形式
（algebraic form of complex number）．对于复数 z=a+bi ，都有 a，b∈R，其中的 a 与 b 分别叫做复数 z 的实部（real part）与虚部（imaginary part）．
对于复数 a+bi，当且仅当 b=0 时，它是实数；当且仅当 a=b=0 时，它是实数 0；当 b≠0 时，叫做虚数；当 a=0 且 b≠0 时，叫做纯虚数．
复数相等的充要条件
在复数集 C={a+bi | a,b∈R} 中任取两个数 a+bi，c+di（a，b，c，d∈R）， a+bi 与 c+
di 相等的充要条件是 a=c 且 b=d ．
复数的分类
复数 z=a+bi（a，b∈R）可以分类如下：??实数(b=0)
复数a+bi(a,b∈R)?纯虚数(a=0)??虚数(b≠0){非纯虚数(a≠0)
例题：下列命题中，正确的个数是（ ）
①若 x,y∈C，则 x+yi=1+i 的充要条件是 x=y=1；
②若 a,b∈R，则 a+i>b+i；
③若 x2+y2=0，则 x=0，y=0．
A．0 B．1 C．2 D．3
解：A
①由于 x,y∈C，所以 x+yi 不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，故①不正确；
②由于两个虚数不能比较大小，所以②不正确；
③当 x=1，y=i 时，x2+y2=0 成立，所以③不正确．
已知 z1=?3?4i，z2=(n2?3m?1)+(n2?m?6)i(m,n∈R)，若 z1=z2，则 nm=______．
解：42根据复数相等的充要条件，得 {n2?3m?1=?3, 整理得 2m=4，所以 m=2，将其代入n?m?6=?4,n2?3m?1=?3，得 n2=4，所以 n=±2，所以 nm=(±2)2=4．
实数 k 为何值时，复数 (1+i)k2?(3+5i)k?2(2+3i) 分别是 （1）实数；（2）虚数；
（3）纯虚数；（4）零．
解：由题复数 z 可整理为 z=(k2?3k?4)+(k2?5k?6)i．
（1）当 k2?5k?6=0 时，z∈R，即 k=6 或 k=?1．
（2）当 k2?5k?6≠0 时，z 是虚数，即 k≠6 且 k≠?1．
2（3）当 {k2?3k?4=0, 时， z 是纯虚数，解得 k=4．k?5k?6≠0,2k（4）当 {2?3k?4=0, 时，z=0，解得 k=?1．k?5k?6=0,
2.复数的几何意义
描述：根据复数相等的定义，任何一个复数 z=a+bi，都可以由一个有序实数对 (a,b) 唯一确定．因
为有序实数对 (a,b) 与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应．
点 Z 的横坐标是 a ，纵坐标是 b ，复数 z=a+bi 可用点 Z(a,b) 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；
除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
设复平面内的点 Z 表示复数 z=a+bi ，连结 OZ ，显然向量 OZ 由点 Z 唯一确定；反过??→
??→
