第二章     统计

简单随机抽样

1.  简单随即抽样的含义

   一般地,设一个总体有N个个体, 从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N）, 如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等, 则这种抽样方法叫做简单随机抽样.

  ⑴每个个体每次被抽到的概率是        ；

⑵每个个体被抽到的概率是        ；

●根据你的理解，简单随机抽样有哪些主要特点？

⑴总体的个体数有限；

⑵样本的抽取是逐个进行的，每次只抽取一个个体；

⑶抽取的样本不放回，样本中无重复个体；

⑷每个个体被抽到的机会都相等，抽样具有公平性.

2．简单随机抽样常用的方法：

⑴抽签法；⑵随机数表法；⑶计算机模拟法；⑷使用统计软件直接抽取。

★抽签法的操作步骤？

第一步，将总体中的所有个体编号，并把号码写在形状、大小相同的号签上.

第二步，将号签放在一个容器中，并搅拌均匀

第三步，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本.

●抽签法有哪些优点和缺点？

   优点：简单易行，当总体个数不多的时候搅拌均匀很容易，个体有均等的机会被抽中，从而能保证样本的代表性.

   缺点：当总体个数较多时很难搅拌均匀，产生的样本代表性差的可能性很大；误差相比其它抽样也比较大。

★利用随机数表法从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本，其抽样步骤如何？

     第一步，将总体中的所有个体编号.

    第二步，在随机数表中任选一个数作为起始数.

    第三步，从选定的数开始依次向右（向左、向上、向下）读，将编号范围内的数取出，编号范围外的数去掉，直到取满n个号码为止，就得到一个容量为n的样本.

系统抽样：

1. 系统抽样的定义：

一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样.

●由系统抽样的定义可知系统抽样有以下特征：

⑴当总体容量N较大时，采用系统抽样。

    ⑵将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，因此，系统抽样又称等距抽样，间隔一般为k＝.

    ⑶预先制定的规则指的是：在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号

★系统抽样的一般步骤

⑴用系统抽样从总体中抽取样本时，首先要做的工作是什么？将总体中的所有个体编号.

如果用系统抽样从605件产品中抽取60件进行质量检查，由于605件产品不能均衡分成60部分，⑵应先从总体中随机剔除5个个体，再均衡分成60部分.

一般地，用系统抽样从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本，其操作步骤如何？

第一步，将总体的N个个体编号.

第二步，确定分段间隔k，对编号进行分段.

第三步，在第1段用简单随机抽样确定起始个体编号l.

第四步，按照一定的规则抽取样本.

分层抽样

1.  分层抽样的定义:

   若总体由差异明显的几部分组成，抽样时，先将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，再将各层取出的个体合在一起作为样本，这样的抽样叫做分层抽样. 所以分层抽样又称类型抽样.

●应用分层抽样应遵循以下要求及具体步骤：

    ⑴分层：将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则。

⑵分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等。

★一般地，分层抽样的操作步骤如何？

第一步，计算样本容量与总体的个体数之比.

第二步，将总体分成互不交叉的层，按比例确定各层要抽取的个体数.

第三步，用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取相应数量的个体.

第四步，将各层抽取的个体合在一起，就得到所取样本

2. 简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种抽样的类比学习（注意比较）

练习题：

一、选择题：

1．某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人．为了调查他们的身体状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，最适合抽取样本的方法是(    )．

A．简单随机抽样                   B．系统抽样

C．分层抽样                       D．先从老年人中剔除一人，然后分层抽样

2．某学校为了了解高一年级学生对教师教学的意见，打算从高一年级2007名学生中抽取50名进行抽查，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2007人中剔除7人，剩下2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的机会（    ）

A. 不全相等    B. 均不相等     C. 都相等    D. 无法确定

3．有20位同学，编号从1至20，现在从中抽取4人作问卷调查，用系统抽样方法确定所

抽的编号为(      )

A.5，10，15，20     B.2，6，10，14     C.2，4，6，8     D.5，8，11，14

4．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公

司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为(1)；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为(2)。则完成(1)、(2)这两项调查宜采用的抽样方法依次是（    ）

A.分层抽样法，系统抽样法         B.分层抽样法，简单随机抽样

C.系统抽样法，分层抽样法        D.简单随机抽样法，分层抽样法

5. 某校1000名学生中，O型血有400人，A型血有250人，B型血有250人，AB型血有100人，为了研究血型与色弱的关系，要从中抽取一个容量为40的样本，按照分层抽样的方法抽取样本，则O型血、A型血、B型血、AB型血的人要分别抽的人数为（    ）

A.16、10、10、4        B.14、10、10、6      C.13、12、12、3      D.15、8、8、9                                                                      

6. 为了了解广州地区初三学生升学考试数学成绩的情况，从中抽取50本密封试卷，每本30份试卷，这个问题中的样本容量是（    ）

A.30        B.50          C.1500           D.150           

7. 某单位有技工18人、技术员12人、工程师6人，需要从这些人中抽取一个容量为n的样本.如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，都不用剔除个体；如果容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中剔除1个个体，则样本容量n为（    ）

A.4         B.5         C.6          D.无法确定

二、填空题

8.（2008·安庆模拟）某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高

三年级400人，现分层抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为           .

9.某牛奶生产线上每隔30分钟抽取一袋进行检验，则该抽样方法为①；从某中学的30名数

学爱好者中抽取3人了解学习负担情况，则该抽样方法为②.那么①，②分别为          .

10.下列抽样实验中，最适宜用系统抽样的是            （填序号）.

①某市的4个区共有2 000名学生，且4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200人入样；

②某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取5个入样；

③从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取200个入样；

④从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样；

11.（2008·重庆文）某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情

况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查，这种抽样方法是           .

12.某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生200人，学校团委欲用分层抽样的

方法抽取18名学生进行问卷调查，则下列判断不正确的是           （填序号）.

①高一学生被抽到的概率最大

②高三学生被抽到的概率最大

③高三学生被抽到的概率最小

④每名学生被抽到的概率相等

13.某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、

30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是         .

14.（2008·天津文，11）一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45

岁的有80人.为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工             人.

15.将参加数学竞赛的1 000名学生编号如下0001，0002，0003，…，1000，打算从中抽取

一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分成50个部分，如果第一部分编号为0001，0002，…，0020，从第一部分随机抽取一个号码为0015，则第40个号码为          .

16．管理人员从一池塘内捞出30条鱼，做上标记后放回池塘。10天后，又从池塘内捞出50条鱼，其中有标记的有2条。根据以上数据可以估计该池塘内共有         条鱼。

17.某校高中部有三个年级，其中高三有学生1000人，现采用分层抽样法抽取一个容量为185

的样本，已知在高一年级抽取了75人，高二年级抽取了60人，则高中部共有__   __学生。

用样本的频率分布估计总体分布

一、我们把样本抽取后，要对样本进行分析来研究总体的分布情况，对样本进行分析常采取两种

方式：⑴列频率分布表；   ⑵做频率分布直方图.

●列频率分布表的步骤：

⑴求极差（即样本中的最大值与最小值的差）；

⑵决定组距与组数（）；

⑶将数据分组；

⑷列频率分布表.

●根据频率分布表做频率分布直方图应注意两点：

⑴纵轴的意义：

⑵横轴的意义：样本内容（每个矩形下面是组距）.

二、典例精析

例1：下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高(单位ｃｍ)

(1)列出样本频率分布表﹔

(2)一画出频率分布直方图;

(3)估计身高小于134ｃｍ的人数占总人数的百分比.。

例2：为了了解高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数次测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图)，图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12.

(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？

(2)若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？

(3)在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由。

分析：在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1。

1．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图如下．从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是（    ）

A．48米                        B．49米          C．50米                  D．51米

2．常用的抽样方法有：                                   。

3．(20##年新课程卷文第13题)据新华社

20##年3月12日电，1985年～20##年我      25.0

国农村人均居住面积如图所示，其中，从        20.0

      年到      年的五年间增长最快．        15.0

                                                   1985  1990  1995  2000

4  已知辆汽车通过某一段公路时的时速

的频率分布直方图如右图所示，则时速在

的汽车大约有_________辆.

]

                                                 

    5．(12分)为了解某地初三年级男生的身高情况，从其中的一个学校选取容量为60的样本(60名男生的身

高)，分组情况如下：

(1)求出表中a，m的值．          (2)画出频率分布直方图和频率折线图

答案：一、选择题：1.D  2.C  3.A  4.B  5.A  6.C  7.C

    二、填空题：8.15，10，20    9.系统抽样，简单随机抽样    10.③   11.分层抽样法

  12.①②③    13.6   14.10    15.0795    16.750    17.3700

解：（1）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，

因此第二小组的频率为：

又因为频率=

所以  

（2）由图可估计该学校高一学生的达标率约为

（3）由已知可得各小组的频数依次为6，12，51，45，27，9，所以前三组的频数之和为69，前四组的频数之和为114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内。

第二篇：高中数学必修4(人教A版)第三章三角恒等变换3.1知识点总结含同步练习及答案