高中数学第十一章-概率

考试内容：
数学探索©版权所有www.delve.cn随机事件的概率．等可能性事件的概率．互斥事件有一个发生的概率．相互独立事件同时发生的概率．独立重复试验．
数学探索©版权所有www.delve.cn考试要求：
数学探索©版权所有www.delve.cn（1）了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义．
数学探索©版权所有www.delve.cn（2）了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率。
数学探索©版权所有www.delve.cn（3）了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率．
数学探索©版权所有www.delve.cn（4）会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生κ次的概率．
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§11. 概率  知识要点

  

1. 概率：随机事件A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.

2. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年n个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率.

3. ①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：.

②对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件. 例如：从1～52张扑克牌中任取一张抽到“红桃”与抽到“黑桃”互为互斥事件，因为其中一个不可能同时发生，但又不能保证其中一个必然发生，故不是对立事件.而抽到“红色牌”与抽到黑色牌“互为对立事件，因为其中一个必发生.

注意：i.对立事件的概率和等于1：.

ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件.

③相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)=P(A)·P(B). 由此，当两个事件同时发生的概率P（AB）等于这两个事件发生概率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事件.例如：从一副扑克牌（52张）中任抽一张设A：“抽到老K”；B：“抽到红牌”则 A应与B互为独立事件[看上去A与B有关系很有可能不是独立事件，但.又事件AB表示“既抽到老K对抽到红牌”即“抽到红桃老K或方块老K”有，因此有.

推广：若事件相互独立，则.

注意：i. 一般地，如果事件A与B相互独立，那么A 与与B，与也都相互独立.

ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的.

iii. 独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件.

④独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率：.

4. 对任何两个事件都有

第十二章-概率与统计

考试内容：

抽样方法.总体分布的估计．
数学探索©版权所有www.delve.cn总体期望值和方差的估计．
数学探索©版权所有www.delve.cn考试要求：
数学探索©版权所有www.delve.cn（1）了解随机抽样了解分层抽样的意义，会用它们对简单实际问题进行抽样．
数学探索©版权所有www.delve.cn（2）会用样本频率分布估计总体分布．
数学探索©版权所有www.delve.cn（3）会用样本估计总体期望值和方差．

§12. 概率与统计  知识要点

一、随机变量.

1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：

①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.

它就被称为一个随机试验.

2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a，b是常数.则也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，是连续函数或单调函数，则也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.

设离散型随机变量ξ可能取的值为：

ξ取每一个值的概率，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.

有性质①；  ②.

注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：即可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.

3. ⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是：[其中] 

于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作～B（n·p），其中n，p为参数，并记.

⑵二项分布的判断与应用.

①二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.

②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.

4. 几何分布：“”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发生记为，事A不发生记为，那么.根据相互独立事件的概率乘法分式：于是得到随机变量ξ的概率分布列.

我们称ξ服从几何分布，并记，其中

5. ⑴超几何分布：一批产品共有N件，其中有M（M＜N）件次品，今抽取件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为.〔分子是从M件次品中取k件，从N-M件正品中取n-k件的取法数，如果规定＜时，则k的范围可以写为k=0，1，…，n.〕

⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由 a件次品、b件正品组成，今抽取n件（1≤n≤a+b），则次品数ξ的分布列为.

⑶超几何分布与二项分布的关系.

设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数的分布列可如下求得：把个产品编号，则抽取n次共有个可能结果，等可能：含个结果，故，即～.[我们先为k个次品选定位置，共种选法；然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种选法] 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.

二、数学期望与方差.

1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

则称为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.

2. ⑴随机变量的数学期望： 

①当时，，即常数的数学期望就是这个常数本身.

②当时，，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和.

③当时，，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.

⑵单点分布：其分布列为：.

⑶两点分布：，其分布列为：（p + q = 1）

⑷二项分布： 其分布列为～.（P为发生的概率）

⑸几何分布：  其分布列为～.（P为发生的概率）

3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为时，则称为ξ的方差. 显然，故为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.越小，稳定性越高，波动越小.

4.方差的性质.

⑴随机变量的方差.（a、b均为常数）

⑵单点分布： 其分布列为

⑶两点分布： 其分布列为：（p + q = 1）

⑷二项分布：

⑸几何分布：  

5. 期望与方差的关系.

⑴如果和都存在，则

⑵设ξ和是互相独立的两个随机变量，则

⑶期望与方差的转化：    ⑷（因为为一常数）.

三、正态分布.（基本不列入考试范围）

1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x轴上方，ξ落在任一区间内的概率等于它与x轴.直线与直线所围成的曲边梯形的面积

（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为

图像的函数叫做ξ的密度函数，由于“”

是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1.

2. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：. （为常数，且），称ξ服从参数为的正态分布，用～表示.的表达式可简记为，它的密度曲线简称为正态曲线.

⑵正态分布的期望与方差：若～，则ξ的期望与方差分别为：.

⑶正态曲线的性质.

①曲线在x轴上方，与x轴不相交.

②曲线关于直线对称.

③当时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.

④当＜时，曲线上升；当＞时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向x轴无限的靠近.

⑤当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.

3. ⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为，则称ξ服从标准正态分布. 即～有，求出，而P（a＜≤b）的计算则是.

注意：当标准正态分布的的X取0时，有当的X取大于0的数时，有.比如则必然小于0，如图. 

⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若～则ξ的分布函数通

常用表示，且有.

4.⑴“3”原则.

假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布.②确定一次试验中的取值是否落入范围.③做出判断：如果，接受统计假设. 如果，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.

⑵“3”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布则 ξ落在内的概率为99.7％ 亦即落在之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）.

第二篇：高中数学知识点总结_概率与统计

概率与统计

1．离散型随机变量ξ取每一个值x_i（i=1，2，…）的概率为，则P₁+P₂+…=1；

……  为ξ的数学期望，期望是反映随机变量“均值”的量，

；求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出Eξ

[举例] 设和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程实根的个数（重根按一个计）．

（Ⅰ）求方程有实根的概率；（Ⅱ）求的分布列和数学期望；

解析：（Ⅰ）由题意知：设基本事件空间为，记“方程没有实根”为事件，“方程有且仅有一个实根”为事件，“方程有两个相异实数”为事件，则，是的基本事件总数为36个，

，中的基本事件总数为17个；

，中的基本事件总数为个；

，中的基本事件总数为17个；

又因为是互斥事件，故所求概率．

（Ⅱ）由题意，的可能取值为，则

，，，

故的分布列为：

所以的数学期望。

[巩固]某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为

商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．表示经销一件该商品的利润．

（Ⅰ）求事件：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率；

（Ⅱ）求的分布列及期望．（07高考全国卷（Ⅰ）理18）

2．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是，（k＝0,1,2,…，n，）．称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数；若ξ～B(n，p)，则np．

[举例]某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，．

（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；

（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为，求随机变量的期望．

（07高考江西理19）

解析：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件，，，

（1）设表示第一次烧制后恰好有一件合格，则）++

．

（2）解法一：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件，则

，所以，

，，

．于是，

解法二：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为，

所以，故．

[巩固] 一个袋中装有3个红球，7个白球，从袋中随机摸出一个球，记录颜色后放回，连摸5次，试求摸到红球的次数的分布列及期望。

3．随机抽样需借助于随机数表（先对总体逐一编号），分层抽样的关键是“按比例”：总体中各层的比例等于样本中各层的比例。在所有的抽样中，每一个个体被抽到的概率相等。

[举例]从2004名学生中选取50名组成参观团,若采用下面的方法选取: 先用简单随机抽样

从2004人中剔除4人,剩下的2000人再按系统抽样的方法进行.则每人入选的概率（   ）

A、不全相等                 　　　　 B、均不相等  

C、都相等,且为           　　　 D、都相等,且为

解析：某人“入选”，首先在第一步的随机抽样中要不被剔除，其概率为，

在第二步的系统抽样中被抽中的概率为，故每人入选的概率为

[巩固] 某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5。现用分层抽样方法抽出一个容量为的样本，样本中A种型号产品有16件。那么此样本的容量n=        。

4．“读懂”样本频率分布直方图：直方图的高=，直方图中小矩形框的面积是频率；频率×样本个数=频数。

[举例1]从一条生产线上每隔30分钟取一件产品，共

取了n件，测得其尺寸后，画得其频率分布直方图如右，

尺寸在[15，45]内的频数为46，则尺寸在[20，25]内

的产品个数为      

解析：由直方图可见，尺寸在[15，45]内的频率为

1-0.016×5=0.92, ∴=0.92，得n=50；

而尺寸在[20，25]内的频率为0.04×5=0.2,

∴尺寸在[20，25]内的产品个数为:0.2×50=10.

[巩固1] 在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表：

（I）画出该产品纤度的频率分布直方图；

（II）估计纤度落在中的概率及纤度小于的概率是多少？

（III）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间的中点值是）作为代表．据此，估计纤度的期望．

[巩固2]一个社会调查机构

就某地居民的月收入调查了

10 000人，并根据所得数据

画了样本的频率分布直方图

（如右图）．为了分析居民的

收入与年龄、学历、职业等

方面的关系，要从这10 000

人中再用分层抽样方法抽出

100人作进一步调查，则在

［2500，3000）（元）月收入

段应抽出      人．

5．熟悉方差的计算公式和性质，如：样本同加（减）一个常数，方差不变；样本同乘一个常数k, 方差变为原来的k²倍；“标准差”是方差的算术平方根。样本的方差和标准差是反映其“稳定性”的量。对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是，，…，，…，且取这些值的概率分别是，，…，，…，那么,＝＋＋…＋＋…称为随机变量ξ的方差，式中的是随机变量ξ的期望．的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作。

[举例]某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x－y｜的值为

（A）1　　　　（B）2　　　　　（C）3　　　　　（D）4

解析：由题意可得：x+y=20,(x-10)²+(y-10)²=8,解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出，设x=10+t, y=10-t, 由(x-10)²+(y-10)²=8得t²=4;

∴，故选D。

[巩固1]甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表

分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（　　）

Ａ．          Ｂ．

Ｃ．          Ｄ．    （ 07高考宁夏理 11）

[巩固2]随机变量的分布列如下：

其中成等差数列，若，则的值是          ．（07高考浙江理15）

6．正态分布密度函数：，（σ＞0，-∞＜x＜∞），其中x是随机变量的取值，μ为正态分布的均值，σ是正态分布的标准差.正态分布一般记为；正态曲线的性质：（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交 ，（2）曲线关于直线x=μ对称 ，（3）当x=μ时，曲线位于最高点  （4）当x＜μ时，曲线上升（增函数）；当x＞μ时，曲线下降（减函数），并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近 ，（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定.σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小，曲线越“高”.总体分布越集中。当μ=0、σ=l时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是，（-∞＜x＜+∞）。对于标准正态总体，表示总体取值小于的概率， 即，（）；当时，；而当时，=0.5；计算正态总体的概率应结合正态曲线（面积）进行。

[举例1]设随机变量服从标准正态分布，已知，则=（    ）  （07高考湖南理5）

A．0.025                     B．0.050              C．0.950              D．0.975

解析：=，因为标准正态曲线关于y轴对称，

所以，故=0.950，选C。

[举例2]以表示标准正态总体在区间内取值的概率，若随机变量服从正态分布，则概率等于（  B  ）（07高考安徽理10）

A．               B．

C．                                 D．

解析：即正态分布的分布曲线与直线、、

所围成的区域面积，也就是标准正态分布的分布曲线与直线、、

所围成的区域面积，即，故选B。

[巩固1]在某项测量中，测量结果服从正态分布．若在内取值的概率为0.4，则在内取值的概率为               ．（07高考全国卷Ⅱ理14）

[巩固2]已知随机变量服从正态分布，，则（    ）

A．              B．              C．              D．   （07高考浙江理5）

答案

1．[巩固]0.784,240；2、[巩固]3.5,16.5；3、[巩固]80，4、[巩固1] （Ⅱ）0.69,0.44, （Ⅲ）1.4088, [巩固2] 25，5、[巩固1] B ，[巩固2] ；6、[巩固1] ，[巩固2]A