难点15 三角函数的图象和性质
三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来.本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用.
●难点磁场
(★★★★)已知α、β为锐角，且x(α+β－
)＞0,试证不等式f(x)=
x＜2对一切非零实数都成立.
●案例探究
［例1］设z1=m+(2－m2)i,z2=cosθ+(λ+sinθ)i,其中m,λ,θ∈R，已知z1=2z2，求λ的取值范围.
命题意图：本题主要考查三角函数的性质，考查考生的综合分析问题的能力和等价转化思想的运用，属★★★★★级题目.
知识依托：主要依据等价转化的思想和二次函数在给定区间上的最值问题来解决.
错解分析：考生不易运用等价转化的思想方法来解决问题.
技巧与方法：对于解法一，主要运用消参和分离变量的方法把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题；对于解法二，主要运用三角函数的平方关系把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.
解法一：∵z1=2z2，
∴m+(2－m2)i=2cosθ+(2λ+2sinθ)i,∴
∴λ=1－2cos2θ－sinθ=2sin2θ－sinθ－1=2(sinθ－
)2－
.
当sinθ=时λ取最小值－，当sinθ=－1时，λ取最大值2.
解法二：∵z1=2z2 ∴
∴
,
∴
=1.
∴m4－(3－4λ)m2+4λ2－8λ=0,设t=m2,则0≤t≤4,
令f(t)=t2－(3－4λ)t+4λ2－8λ,则
或f(0)·f(4)≤0
∴
∴－≤λ≤0或0≤λ≤2.
∴λ的取值范围是［－，2］.
［例2］如右图，一滑雪运动员自h=50m高处A点滑至O点，由于运动员的技巧(不计阻力)，在O点保持速率v0不为，并以倾角θ起跳，落至B点，令OB=L，试问，α=30°时，L的最大值为多少？当L取最大值时，θ为多大？
命题意图：本题是一道综合性题目，主要考查考生运用数学知识来解决物理问题的能力.属★★★★★级题目.
知识依托：主要依据三角函数知识来解决实际问题.
错解分析：考生不易运用所学的数学知识来解决物理问题，知识的迁移能力不够灵活.
技巧与方法：首先运用物理学知识得出目标函数，其次运用三角函数的有关知识来解决实际问题.
解：由已知条件列出从O点飞出后的运动方程：
由①②整理得：v0cosθ=
∴v02+gLsinα=g2t2+
≥
=gL
运动员从A点滑至O点，机械守恒有:mgh=
mv02,
∴v02=2gh,∴L≤
=200(m)
即Lmax=200(m),又g2t2=
.
∴
得cosθ=cosα,∴θ=α=30°∴L最大值为200米，当L最大时，起跳仰角为30°.
［例3］如下图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b.
(1)求这段时间的最大温差.
(2)写出这段曲线的函数解析式.
命题意图：本题以应用题的形式考查备考中的热点题型，要求考生把所学的三角函数知识与实际问题结合起来分析、思考，充分体现了“以能力立意”的命题原则.属★★★★级题目.
知识依托：依据图象正确写出解析式.
错解分析：不易准确判断所给图象所属的三角函数式的各个特定系数和字母.
技巧与方法：数形结合的思想，以及运用待定系数法确定函数的解析式.
解：(1)由图示，这段时间的最大温差是30－10=20(℃)；
(2)图中从6时到14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象.
∴
=14－6,解得ω=
,由图示A=(30－10)=10，b=(30+10)=20，这时y=10sin(x+φ)+20,将x=6,y=10代入上式可取φ=
π.综上所求的解析式为y=10sin(x+
π)+20,x∈［6,14］.
●锦囊妙计
本难点所涉及的问题及解决的方法主要有：
1.考查三角函数的图象和性质的基础题目，此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用.
2.三角函数与其他知识相结合的综合题目，此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力.在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强.
3.三角函数与实际问题的综合应用.
此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力，要注意数形结合思想在解题中的应用.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★)函数y=－x·cosx的部分图象是( )
2.(★★★★)函数f(x)=cos2x+sin(+x)是( )
A.非奇非偶函数 B.仅有最小值的奇函数
C.仅有最大值的偶函数 D.既有最大值又有最小值的偶函数
二、填空题
3.(★★★★)函数f(x)=(
)｜cosx｜在［－π，π］上的单调减区间为_________.
4.(★★★★★)设ω＞0，若函数f(x)=2sinωx在［－
，］上单调递增，则ω的取值范围是_________.
三、解答题
5.(★★★★)设二次函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),已知不论α、β为何实数恒有f(sinα)≥0和f(2+cosβ)≤0.
(1)求证：b+c=－1；
(2)求证c≥3；
(3)若函数f(sinα)的最大值为8，求b，c的值.
6.(★★★★★)用一块长为a，宽为b(a＞b)的矩形木板，在二面角为α的墙角处围出一个直三棱柱的谷仓，试问应怎样围才能使谷仓的容积最大？并求出谷仓容积的最大值.
7.(★★★★★)有一块半径为R，中心角为45°的扇形铁皮材料，为了获取面积最大的矩形铁皮，工人师傅常让矩形的一边在扇形的半径上，然后作其最大内接矩形，试问：工人师傅是怎样选择矩形的四点的？并求出最大面积值.
8.(★★★★)设－
≤x≤
，求函数y=log2(1+sinx)+log2(1－sinx)的最大值和最小值.
9.(★★★★★)是否存在实数a，使得函数y=sin2x+a·cosx+
a－
在闭区间［0，］上的最大值是1？若存在，求出对应的a值；若不存在，试说明理由.
参考答案
难点磁场
证明：若x＞0，则α+β＞
∵α、β为锐角，∴0＜－α＜β＜;0＜－β＜,∴0＜sin(－α)＜sinβ.0＜sin(－β)＜sinα，∴0＜cosα＜sinβ,0＜cosβ＜sinα,∴0＜
＜1,0＜
＜1,∴f(x)在(0,+∞)上单调递减，∴f(x)＜f(0)=2.若x＜0,α+β＜,∵α、β为锐角，0＜β＜－α＜,0＜α＜－β＜,0＜sinβ＜sin(－α),∴sinβ＜cosα,0＜sinα＜sin(－β),∴sinα＜cosβ,∴
＞1, 
＞1,
∵f(x)在(－∞,0）上单调递增，∴f(x)＜f(0)=2,∴结论成立.
歼灭难点训练
一、1.解析：函数y=－xcosx是奇函数，图象不可能是A和C，又当x∈(0, )时，
y＜0.
答案：D
2.解析：f(x)=cos2x+sin(+x)=2cos2x－1+cosx
=2［(cosx+
］－1.
答案：D
二、3.解：在［－π,π］上，y=｜cosx｜的单调递增区间是［－,0］及［,π］.而f(x)依｜cosx｜取值的递增而递减,故［－,0］及［,π］为f(x)的递减区间.
4.解：由－≤ωx≤，得f(x)的递增区间为［－
,］，由题设得
三、5.解：(1)∵－1≤sinα≤1且f(sinα)≥0恒成立，∴f(1)≥0
∵1≤2+cosβ≤3,且f(2+cosβ)≤0恒成立.∴f(1)≤0.
从而知f(1)=0∴b+c+1=0.
(2)由f(2+cosβ)≤0,知f(3)≤0,∴9+3b+c≤0.又因为b+c=－1,∴c≥3.
(3)∵f(sinα)=sin2α+(－1－c)sinα+c=(sinα－
)2+c－(
)2,
当sinα=－1时，［f(sinα)］max=8,由
解得b=－4,c=3.
6.解：如图，设矩形木板的长边AB着地，并设OA=x，OB=y，则a2=x2+y2－2xycosα≥2xy－2xycosα=2xy(1－cosα).
∵0＜α＜π,∴1－cosα＞0,∴xy≤
(当且仅当x=y时取“=”号)，故此时谷仓的容积的最大值V1=(xysinα)b=
.同理，若木板短边着地时，谷仓的容积V的最大值V2=ab2cos
,
∵a＞b,∴V1＞V2
从而当木板的长边着地，并且谷仓的底面是以a为底边的等腰三角形时，谷仓的容积最大，其最大值为a2bcos.
7.解：如下图，扇形AOB的内接矩形是MNPQ，连OP，则OP=R，设∠AOP=θ，则
∠QOP=45°－θ，NP=Rsinθ,在△PQO中，
，
∴PQ=
Rsin(45°－θ).S矩形MNPQ=QP·NP=R2sinθsin(45°－θ)=
R2·［cos(2θ－45°)－］≤
R2，当且仅当cos(2θ－45°)=1,即θ=22.5°时，S矩形MNPQ的值最大且最大值为R2.
工人师傅是这样选点的，记扇形为AOB，以扇形一半径OA为一边，在扇形上作角AOP且使∠AOP=22.5°，P为边与扇形弧的交点，自P作PN⊥OA于N，PQ∥OA交OB于Q，并作OM⊥OA于M，则矩形MNPQ为面积最大的矩形，面积最大值为R2.
8.解：∵在［－
］上，1+sinx＞0和1－sinx＞0恒成立，∴原函数可化为y=
log2(1－sin2x)=log2cos2x，又cosx＞0在［－］上恒成立，∴原函数即是y=2log2cosx,在x∈［
－］上，≤cosx≤1.
∴log2≤log2cosx≤log21，即－1≤y≤0，也就是在x∈［－］上，ymax=0,
ymin=－1.
综合上述知，存在
符合题设.
第二篇：函数的周期性与函数的图象总结
函数的周期性
㈠ 主要知识：
周期函数的定义：对于
定义域内的每一个
，都存在非零常数
，使得
恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，
则
（
）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期.
几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：
函数
满足对定义域内任一实数（其中
为常数）,
① 
，则是以
为周期的周期函数；
②
，则
是以
为周期的周期函数；
③
，则是以为周期的周期函数；
④
，则是以为周期的周期函数；
⑤
，则是以
为周期的周其函数；
⑥
，则是以为周期的周期函数；
⑦
，则是以
为周期的周期函数.
⑧函数
满足（
）
若为奇函数，则其周期为
，
若为偶函数，则其周期为
.
⑨函数
的图象关于直线
和
都对称，则函数是以
为周期的周期函数；
⑩函数的图象关于两点
、
都对称，则函数是以为周期的周期函数；
⑾函数的图象关于和直线都对称，则函数是以
为周期的周期函数；
图象的对称性
一个函数的对称性：
1、函数的图象关于点
对称
特殊的有：
① 函数的图象关于点
对称
。
② 函数的图象关于原点对称（奇函数）
。
③ 函数
是奇函数
关于点
对称。
④ 
，函数
关于点
对称
2、两个函数的对称性：
①与
关于X轴对称。
②与
关于Y轴对称。
③与
关于直线对称。
函数
与函数
的图象关于直线
对称.
函数
与函数
关于直线
对称。
特殊地: 
与函数
的图象关于直线对称
⑤ 与
关于直线
对称。
⑥ 
关于点(a,b)对称。
⑦ 
关于直线
对称
例1 定义在R上的非常数函数满足：
为偶函数，且
，则一定是（ ）
A. 是偶函数，也是周期函数
B. 是偶函数，但不是周期函数
C. 是奇函数，也是周期函数
D. 是奇函数，但不是周期函数
解：因为为偶函数，所以
。
所以有两条对称轴
，因此是以10为其一个周期的周期函数，所以x＝0即y轴也是的对称轴，因此还是一个偶函数。故选（A）。
例2 设是定义在R上的偶函数，且
，当
时，
，则
___________
解：因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以
的对称轴；
又因为
的对称轴。故是以2为周期的周期函数，所以
例3 函数
的图像的一条对称轴的方程是（ ）
解：函数
的图像的所有对称轴的方程是
，所以
，显然取
时的对称轴方程是
，故选（A）。
例4 设是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线
，则：
_____________
解：函数的图像既关于原点对称，又关于直线对称，所以周期是2，又
，图像关于对称，所以
，所以
例5、函数
对于任意实数满足条件
，若
则
__________。
例6（08湖北卷6）已知在R上是奇函数，且
A
A.-2 B.2 C.-98 D.98
例7（08四川卷）函数满足
，若
，则
( C )
（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）
（Ｄ）
例8 （2010安徽理数）若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)=1，f(2)=2则
的值为（ ）A、
B、1 C、
D、2
例9 （09江西卷）已知函数是
上的偶函数，若对于
，都有
，且当
时，
，则
的值为 ( C )
A．
B．
C．
D．
例10 2009广东三校一模）定义在
上的函数是奇函数又是以为周期的周期函数,则
等于 (B)
A.-1 B.0 C.1 D.4
例11 （2009全国卷Ⅰ理）函数的定义域为R，若
与
都是奇函数，
则
(D)
A、2009 B、-2009 C 、-2 D.、2
例12 的定义域是，且
,若
求 f(2008)的值。
解：
周期为8，
例13 已知函数f（x）的定义域为R，则下列命题中：
①若f（x－2）是偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x＝2对称；
②若f（x+2）＝－f（x－2），则函数f（x）的图象关于原点对称；
③函数y＝f（2+x）与函数y＝f（2－x）的图象关于直线x＝2对称；
④函数y＝f（x－2）与函数y＝f（2－x）的图象关于直线x＝2对称.
其中正确的命题序号是 ④ .
【解析】 ①是错误的，由于f（x－2）是偶函数得f（－x－2）＝f（x－2），所以f（x）的图象关于直线x＝－2对称；
②是错误的，由f（x+2）＝－f（x－2）得f（x+4）＝－f（x），进而得f（x+8）＝f（x），所以f（x）是周期为8的周期函数；
③是错误的，在第一个函数中，用－x代x，y不变，即可得第二个函数，所以这两个函数图象关于y轴对称；
④是正确的，令x－2＝t，则2－x＝－t，函数y＝f（t）与y＝f（－t）的图象关于直线t＝0对称，即函数y＝f（x－2）与y＝f（2－x）的图象关于直线x＝2对称.
例14（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f（2）＝0，则方程f（x）＝0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 ( D )
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】 ∵f（x）为奇函数，∴f（0）＝0，又函数f（x）以3为周期，且f（2）＝0，∴f（－2）＝0，f（1）＝0，f（4）＝0，f（3）＝0，f（5）＝0，∴在区间（0，6）内的解有1，2，3，4，5.故选D.
练习12、对函数f（x），当x∈（－∞，∞）时，f（2－x）＝f（2+x），f（7－x）＝f（7+x），在闭区间［0,7］上，只有f（1）＝f（3）＝0.
（1）试判断函数y＝f（x）的奇偶性；
（2）试求方程f（x）＝0在闭区间［－2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论.
【分析】 由已知f（2+x）＝f（2－x），f（7－x）＝f（7+x）知f（x）的图象有两条对称轴x＝2和x＝7，从而知f（x）是周期为10的周期函数，又在区间［0，7］上，只有f（1）＝f（3）＝0，画图易知，它是非奇非偶函数，且在一个周期［0，10］上只有2个根，故易求得方程f（x）＝0在的根的个数.
【解】 （1）由已知得f（0）≠0，∴f（x）不是奇函数，又由f（2－x）＝f（2+x），得函数y＝f（x）的对称轴为x＝2，∴f（－1）＝f（5）≠0，∴f（－1）≠f（1），∴f（x）不是偶函数.
故函数y＝f（x）是非奇非偶函数；
（2）由
f（4－x）＝f（14－x） f（x）＝f（x+10），
从而知y＝f（x）的周期是10.
又f（3）＝f（1）＝0，f（11）＝f（13）＝f（－7）＝f（－9）＝0，
故f（x）在［0，10］和［－10，0］上均有两个解，从而可知函数y＝f（x）在［0，2005］上有402个解，在上［－2005，0］有400个解，所以函数y＝f（x）在［－2005，2005］上有802个解.
函数的图象
1．描绘函数图象的基本方法有两种：描点法与图象变换法。
2．描点法：通过 、 、 三步，画出函数的图象，有时可利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性）以利于更简便的画出函数的图象。
3．函数图象变换：
.图象变换法
(1)平移变换
①水平平移：y=f(x±a)(a＞0)的图象，可由y=f(x)的图象向左(+)或向右(-)平移a个单位而得到.
②竖直平移：y=f(x)±b(b＞0)的图象，可由y=f(x)的图象向上(+)或向下(-)平移a个单位而得到.
(2)对称变换
①y=f(-x)与y=f(x)关于y轴对称.
②y=-f(x)与y=f(x)关于x轴对称.
③y=-f(-x)与y=f(x)关于原点对称.
④y=f-1(x)与y=f(x)关于直线y=x对称.
⑤y=|f(x)|的图象可将y=f(x)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴作y=f(x)的图象的对称部分，其余部分不变.
⑥y=f(|x|)的图象可将y=f(x),x≥0的部分作出，再利用偶函数的图象关于y轴的对称性，作出x＜0的图象.
(3)伸缩变换
①y=Af(x)(A＞0)的图象，可将y=f(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的A倍，横坐标不变而得到.
②y=f(ax)(a＞0)的图象，可将y=f(x)图象上所有点的横坐标缩小原来的
倍，纵坐标不变而得到.
1.作出下列函数的图象：
⑴
；⑵
；⑶
；⑷
；
⑸
；⑹
；⑺
；⑻
；⑼
；
⑽
；⑾
；⑿
；⒀
；⒁
；⒂