数 列
一、数列的概念
（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；
数列中的每个数都叫这个数列的项。记作
，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为
的项叫第项（也叫通项）记作；
数列的一般形式：
，
，
，……，，……，简记作 
。
（2）通项公式的定义：如果数列
的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。
例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，…
②：
…
数列①的通项公式是= （
7，
），
数列②的通项公式是= 
（）。
说明：①表示数列，表示数列中的第项，= 
表示数列的通项公式；
② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，= 
=
；
③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，……
（3）数列的函数特征与图象表示：
从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集
（或它的有限子集）的函数
当自变量从1开始依次取值时对应的一系列函数值
……，，……．通常用来代替，其图象是一群孤立点。
例：画出数列
的图像.
（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。
例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？
（1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, …
(3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,…
（5）数列{
}的前
项和
与通项的关系：
例：已知数列的前n项和
，求数列的通项公式
二、等差数列
题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第
项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母
表示。用递推公式表示为
或
。
例：等差数列
，
题型二、等差数列的通项公式：
；
说明：等差数列（通常可称为
数列）的单调性：
为递增数列，
为常数列，
为递减数列。
例：1.已知等差数列
中，
等于（ ）
A．15 B．30 C．31 D．64
2.
是首项
，公差
的等差数列，如果
，则序号等于
（A）667 （B）668 （C）669 （D）670
3.等差数列
，则为 
为 （填“递增数列”或“递减数列”）
题型三、等差中项的概念：
定义：如果
，，
成等差数列，那么叫做与的等差中项。其中
，，成等差数列
即：
（
）
例：1．（06全国I）设是公差为正数的等差数列，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2.设数列是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）
A．1 B.2 C.4 D.8
题型四、等差数列的性质：
（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；
（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；
（3）在等差数列中，对任意
，，
，
；
（4）在等差数列中，若，，
，
且
，则
；
题型五、等差数列的前和的求和公式：
。(
是等差数列 ) 递推公式：
例：1.如果等差数列中，
，那么
（A）14 （B）21 （C）28 （D）35
2.（2009湖南卷文）设
是等差数列的前n项和，已知
，
，则
等于( )
A．13 B．35 C．49 D． 63
3.（2009全国卷Ⅰ理） 设等差数列的前项和为，若
,则
=
4.（2010重庆文）（2）在等差数列中，
，则
的值为（ ）
（A）5 （B）6 （C）8 （D）10
5.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）
A.13项 B.12项 C.11项 D.10项
6.已知等差数列的前项和为
，若
7.（2009全国卷Ⅱ理）设等差数列的前项和为，若
则
8．（98全国）已知数列｛bn｝是等差数列，b1=1，b1+b2+…+b10=100.
（Ⅰ）求数列｛bn｝的通项bn；
9.已知数列是等差数列，
，其前10项的和
，则其公差等于( )
C.
D.
10.（2009陕西卷文）设等差数列的前n项和为,若
,则=
11．（00全国）设｛an｝为等差数列，Sn为数列｛an｝的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列｛
｝的前n项和，求Tn。
12.等差数列的前项和记为，已知
①求通项； ②若=242，求
13.在等差数列中，（1）已知
；（2）已知
；(3)已知
题型六.对于一个等差数列：
（1）若项数为偶数，设共有
项，则①
偶
奇
； ② 
；
（2）若项数为奇数，设共有
项，则①奇偶
；②
。
题型七.对与一个等差数列，
仍成等差数列。
例：1.等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ ）
A.130 B.170 C.210 D.260
2.一个等差数列前项的和为48，前2项的和为60，则前3项的和为 。
3．已知等差数列的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为
4.设为等差数列的前项和，
=
5．（06全国II）设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若
＝
，则
＝________
A．
B． C．
D．
题型八．判断或证明一个数列是等差数列的方法：
①定义法：
是等差数列
②中项法：
是等差数列
③通项公式法：
是等差数列
④前项和公式法：是等差数列
例: 1.已知数列的通项为
，则数列为 （ ）
A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断
2.已知一个数列的前n项和
，则数列为 （ ）
A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断
3.已知一个数列的前n项和
，则数列为 （ ）
A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断
4.已知一个数列满足
，则数列为 （ ）
A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断
5.数列满足
=8，
（
） ①求数列的通项公式；
6．（01天津理，2）设是数列{an}的前n项和，且
，则是___________数列
题型九. 数列最值
（1）
，时，有最大值；
，
时，有最小值；
（2）最值的求法：①若已知，的最值可求二次函数
的最值；可用二次函数最值的求法（）②或者求出中的正、负分界项，即：若已知，则最值时的值（）可如下确定
或
。
例：1．等差数列中，
，则前 项的和最大。
2．设等差数列的前项和为，已知: 
①求出公差的范围， ②指出
中哪一个值最大，并说明理由。
3．（02上海）设｛an｝（n∈N*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是（ ）
A. d＜0 B. a7＝0 C. S9＞S5 D. S6与S7均为Sn的最大值
4．已知数列的通项
（），则数列的前30项中最大项和最小项分别是
5.已知是等差数列，其中
，公差
。
（1）数列从哪一项开始小于0？ （2）求数列前项和的最大值，并求出对应的值．
6.已知是各项不为零的等差数列，其中
，公差，若
,求数列前项和的最大值．
7.在等差数列中，
，
，求的最大值．
题型十. 利用
求通项．
1.数列的前项和
．（1）试写出数列的前5项；（2）数列是等差数列吗？（3）你能写出数列的通项公式吗？
2．已知数列的前项和
则
3.设数列的前n项和为
，求数列的通项公式；
4.已知数列中，
前和
①求证：数列是等差数列 ②求数列的通项公式
5.（2010安徽文）设数列的前n项和，则
的值为________
等比数列
定义:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母
表示
，即：
：
。
一、递推关系与通项公式
递推关系: 
通项公式: 
推广: 
1． 在等比数列中,
，则
2． 在等比数列中,
,则
3.（07重庆文）在等比数列{an}中，a2＝8，a1＝64，，则公比q为（ ）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）8
4.在等比数列中，
，
，则
=
5.在各项都为正数的等比数列中，首项
，前三项和为21，则
（ ）
A 33 B 72 C 84 D 189
二、等比中项：若三个数
成等比数列，则称为
的等比中项，且为
是成等比数列的必要而不充分条件.
例：1.
和
的等比中项为( )
2.（2009重庆卷文）设是公差不为0的等差数列，
且
成等比数列，则的前项和=____________________
三、等比数列的基本性质，
1.（1）
（2）
（3）为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列.
（4）既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列.
例：1．在等比数列中,
和
是方程
的两个根,则
( )
.
2. 在等比数列，已知
，
，则
=
3.在等比数列中，
①求 ②若
4.等比数列的各项为正数，且
（ ）
A．12 B．10 C．8 D．2+
5.（2009广东卷理）已知等比数列满足
，且
，则当
时，
（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
四、等比数列的前n项和，
例：1.已知等比数列的首相
，公比
，则其前n项和
2.已知等比数列的首相，公比
，当项数n趋近与无穷大时，其前n项和
3.设等比数列的前n项和为，已
，求和
4．（20##年北京卷）设
，则等于 （ ）
A．
B．
C．
D．
5．（1996全国文，21）设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q；
6．设等比数列的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则q的值为 .
五.等比数列的前n项和的性质
若数列
是等比数列，
是其前n项的和，
，那么
，
，
成等比数列.
例：1.（2009辽宁卷理）设等比数列的前n 项和为，若 
=3 ，则 
A. 2 B. 
C. 
D.3
2.一个等比数列前项的和为48，前2项的和为60，则前3项的和为（ ）
A．83 B．108 C．75 D．63
3.已知数列是等比数列，且
六.等比数列的判定法
（1）定义法：
为等比数列；
（2）中项法：
为等比数列；
（3）通项公式法：
为等比数列；
（4）前项和法：
为等比数列。
为等比数列。
例：1.已知数列的通项为
，则数列为 （ ）
A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断
2.已知数列满足
，则数列为 （ ）
A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断
3.已知一个数列的前n项和
，则数列为（ ）
A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断
5.利用求通项．
例：1.（2005北京卷）数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，
，n=1，2，3，……，求a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式．
例：2.（2005山东卷）已知数列的首项
前项和为，且
，证明数列
是等比数列．
四、求数列通项公式方法
（1）．公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项
例：1已知等差数列满足：
， 求；
2.数列满足=8， （），求数列的通项公式；
3.等比数列
的各项均为正数，且
，
，求数列的通项公式
4. 已知数列满足
，求数列的通项公式；
5. 已知数列满足
（），求数列的通项公式；
6. 已知数列满足
且
（），求数列的通项公式；
7. 已知数列满足且
（），求数列的通项公式；
8.数列已知数列满足
则数列的通项公式=
（2）累加法：适用于：
若
，则 
两边分别相加得 
例：1.已知数列满足
，求数列的通项公式。
2. 已知数列满足
，求数列的通项公式。
3. 已知数列满足
，求数列的通项公式。
4. 设数列满足
，
，求数列的通项公式
（3）累乘法：适用于：
若
，则
两边分别相乘得，
例：1. 已知数列满足
，求数列的通项公式。
2.已知数列
满足
，
，求。
3.已知
，
，求。
待定系数法（配项式）： 适用于
例：1. 已知数列中，
，求数列的通项公式。
2.（2006，重庆,文,14）在数列中，若
，则该数列的通项
_______________
3.（2006. 福建.理22.本小题满分14分）已知数列满足
求数列的通项公式；
（4）递推公式中既有
：
* 分析：把已知关系通过
转化为数列或的递推关系，然后采用相应的方法求解。
1.（2005北京卷）数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，，n=1，2，3，……，求a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式．
2.（2005山东卷）已知数列的首项前项和为，且，证明数列是等比数列．
3. 已知数列的各项均为正数，且前n项和满足
，且
成等比数列，求数列的通项公式。
4．已知数列中，前和
①求证：数列是等差数列 ②求数列的通项公式
五、数列求和
一、直接用等差、等比数列的求和公式求和。
*注意公比含字母时要讨论是否等于1
例：1. 等差数列中, 
，其前项和
,则 =（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
2.设，则等于 （ ）
A. B. C. D.
二、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。形如：
①
,其中
②
例1．已知数列的通项公式为
求数列的前项和.
2．求数列的前n项和：
，…
3. 求数列
的前项和。
三、裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。
常见拆项：
形如：数列是等差数列，数列
的前项和采用裂项
例：1.已知数列的通项公式为
，求前项的和；
2.已知数列的通项公式为
＝
，设
，求
．
3．求
。
4．已知
，数列是首项为a，公比也为a的等比数列，令
，求数列
的前项和。
四、错位相减法求和：如：
例：1．求和
2.求和：
3.设是等差数列，
是各项都为正数的等比数列，且
，
，
（Ⅰ）求，的通项公式； （Ⅱ）求数列
的前n项和
．
4.已知等差数列满足
, 
.
(1)求数列的通项公式及 （2）求数列
的前n项和
5.设数列满足，
（1）求数列的通项公式 （2）令
，求数列
的前n项和
五、倒序相加法求和：这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个
。
例1.求证：
2.求
的值