一 直线与圆知识总结

1. 直线的倾斜角

2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.

3. ⑴两条直线平行：

l 推论：如果两条直线l1,l2的倾斜角为?1,?2则l1∥l2??1??2. 1

⑵两条直线垂直：

两条直线垂直的条件：①设两条直线l1和l2的斜率分别为k1和k2，则有l1?l2?k1k2??1

4. 直线的交角：

5. 过两直线??l1:A1x?B1y?C1?0的交点的直线系方程A1x?B1y?C1??(A2x?B2y?C2)?0(?l:Ax?By?C?022?22

为参数，A2x?B2y?C2?0不包括在内）

6. 点到直线的距离：

⑴点到直线的距离公式：设点P(x0,y0)，直线l:Ax?By?C?0,P到l的距离为d，则有d?Ax0?By0?C

A?B22.

注：

1. 两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：|P1P2|?(x2?x1)2?(y2?y1)2.

2. 定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有向线段PP,其中12所成的比为?即PP1??PP2

x1??x2y??y2 ,y?1

1??1??

特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。

3. 直线的倾斜角（0°≤?＜180°）、斜率:k?tan? P1(x1,y1),P2(x2,y2).则 x?

4. 过两点Pk?1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的斜率公式：

当x1y2?y1. x2?x1(x1?x2) ?x2,y1?y2（即直线和x轴垂直）时，直线的倾斜角?＝90?，没有斜率

⑵两条平行线间的距离公式：设两条平行直线l1:Ax?By?C1?0,l2:Ax?By?C2?0(C1?C2)，它们之间的距离为d，则有d?C1?C2

A?B22.

注；直线系方程

1. 与直线：Ax+By+C= 0平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.( m?R, C≠m).

2. 与直线：Ax+By+C= 0垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=0.( m?R)

3. 过定点（x1,y1）的直线系方程是： A(x-x1)+B(y-y1)=0 (A,B不全为0)

4. 过直线l1、l2交点的直线系方程：（A1x+B1y+C1）+λ( A2x+B2y+C2）=0 (λ?R） 注：该直线系不含l2.

7. 关于点对称和关于某直线对称：

⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.

⑵关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.

若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线. ⑶点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.

圆的方程.

2. 圆的标准方程：以点C(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是(x?a)2?(y?b)2?r2.

3. 圆的一般方程：x2?y2?Dx?Ey?F?0 .

?DE?当D?E?4F?0时，方程表示一个圆，其中圆心C??,??，半径r?2??222D2?E2?4F. 2

当D2?E2?4F?0时，方程表示一个点???DE?,??. 2??2

当D2?E2?4F?0时，方程无图形（称虚圆）.

?x?a?rcos?注：①圆的参数方程：?（?为参数）. ?y?b?rsin?

②方程Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0表示圆的充要条件是：B?0且A?C?0且D2?E2?4AF?0.

③圆的直径或方程：已知A(x1,y1)B(x2,y2)?(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0（用向量可征）.

4. 点和圆的位置关系：给定点M(x0,y0)及圆C:(x?a)2?(y?b)2?r2.

①M在圆C内?(x0?a)2?(y0?b)2?r2

②M在圆C上?（x0?a)2?(y0?b)2?r2

③M在圆C外?(x0?a)2?(y0?b)2?r2

5. 直线和圆的位置关系：

设圆圆C：(x?a)2?(y?b)2?r2(r?0)； 直线l：Ax?By?C?0(A2?B2?0)； 圆心C(a,b)到直线l的距离d?Aa?Bb?C

A?B22.

①d?r时，l与C相切；

②d?r时，，有两个交点，则其公共弦方程为(D1?D2)x?(E1?E2)y?(F1?F2)?0. l与C相交；

③d?r时，l与C相离.

5. 圆的切线方程：

①一般方程若点(x0 ,y0)在圆上，则(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R2. 特别地，过圆x2?

y2?r2上

BC)

一点P(x0,y0)的切线方程为x0x?y0y?r2.

?y1?y0?k(x1?x0)?

b?y1?k(a?x1)，联立求出k?切线方程. ②若点(x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则??R?

R2?1?

7. 求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图：ABCD四类共圆. 已知?O的方程x2?y2?Dx?Ey?F?0…① 又以ABCD为圆为方程为

(x?xA)(x?a)?(y?yA)(x?b)?k2…②

(xA?a)2?(yA?b)2

…③，所以BC的方程即③代②，①②相切即为所求. R?

4

解题方法：1）直接法：建系设点，列式表标,简化检验; 2）参数法; 3）定义法， 4）

2

待定系数法.

二 圆锥曲线

1、平面内与两个定点F 1，F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹称为椭圆．即：|MF1|?|MF2|?2a,(2a?|F1F2|)。

这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2

3、平面内与两个定点F）的点的轨迹1，F2的距离之差的绝对值等于常数（小于F1F2称为双曲线．即：||MF1|?|MF2||?2a,(2a?|F1F2|)。

这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．

4

56、平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线． 7

8、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即???2p．

9、焦半径公式：

p； 2

p2若点??x0,y0?在抛物线x?2py?p?0?上，焦点为F，则?F?y0?； 22若点??x0,y0?在抛物线y?2px?p?0?上，焦点为F，则?F?x0?

直线与圆测试

（ 考试时间120分钟 ，满分150分） 一、单项选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1、曲线|x―1|+|y―1|=1所围成的图形的面积为（ ） A.1 B. 2 C.4 D.2

2、直线x+ay―a=0与直线ax―（2a―3）y―1=0互相垂直，则实数a的值为（ ）

A．2 B．－3或1 C．2或0 D．1或0

22

x?y?4x?2y?c?0与y轴交于A、B两点，圆心为P，若∠APB=120°，3、圆

则实数c等于（ ） A.1 B.－11 C.9 D.11

4、不等式3x?2y?12＜0表示的平面区域是( )

B C

5.如上图，在可行域EFGH内，目标函数z=2x-y取得最大值和最小值的点分别是( ) A．G，F

B．F，H

C．F，E

D．G，E

6、下列四个命题中的真命题是（ ）

A．经过点P(x0，y0)的直线一定可以用方程y?y0?k(x?x0)表示

1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程B．经过任意两个不同点P

(y?y1)(x2?x1)?(x?x1)(y2?y1)表示

xy

??1

C．不经过原点的直线都可以用方程ab表示

D．经过点A（0，b）的直线都可以用方程y=kx+b表示

27、已知直线l：y=x+m与曲线y??x有两个公共点，则实数m的取值范围是

（ ）

A．（－2，2） B．（－1，1） C．[?22] D．

8、两圆x2?y2?4x?3y?0与x2?y2?3x?y?5?0的公共弦所在的直线方程是（ ）

A.x+y-5=0 B.x?2y?5?0 C.2x+y-5=0

D.3x+y-5=0

2 9、已知点A(?1,1)和圆C：(x-5)?(y?7)2?4，一束光线从点A经x轴反射到圆

周C的最短路程是( ) A.6?2 B.8 C.46

D.10

10、过点A?5,2?，且在两坐标轴上的截距为互为相反数的直线l的方程为( )

A.x?y?3?0. B.x?y?3?0或2x?5y?0 C.2x?5y?0 D.x?y?3?0或2x?5y?0

11、已知A：x2＋y2≤1，B：(x－1)2＋y2≤4，那么A是B的( )

A.充分不必要条件。B．必要不充分条件.C．充要条件。D.既不充分也不必要条件

12、将直线y?3x绕原点逆时针旋转90?，再向右平移1个单位，所得到的直线为

11（ ） A．y??x? 33

1D．y?x?1 31B．y??x?1 3C．y?3x?3

二、填空题：（每小题4分，共16分）

13、点(-4,6)和(3,1)在直线3x-2y+c=0的两侧，则c的取值范围1?

是 .

14、圆x2?y2?4截直线x?y?23?0所得的弦长是

15、已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，则他们之间的距离是 ．

16、过点A（11，2）作圆x2?y2?2x?4y?164?0的弦，其中弦长为整数的共有 条.

三、解答题：（要写出必要的解题步骤）（共6题，共74分）

17、（12分）已知直线l满足下列两个条件：①过直线y = – x + 1和y = 2x +

4的交点; ②与直线x –3y + 2 = 0 垂直，求直线l的方程．

18、（12分）设直线3x+y+m=0与圆x2+y2+x-2y=0相交于P、Q两点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，求m的值。

19、（12分）在直角坐标系内，过点P（2，1）作一直线l分别交x轴y轴的正半轴于点A和点B，求△AOB(O为坐标原点)面积最小时的直线l的方程。

20、（12分）设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1；③圆心到直线l:x?2y?

21、（12分）如图所示，已知圆O：x2?y2?4与y轴的正方向交于A点，点B在直线y?2上运动，过B做圆O的切线，切点为C，求?ABC垂心H的轨迹．

22、(14分) 已知m?R,直线l:mx?(m2?1)y?4m和圆

C:x2?y2?8x?4y?16?0.

①求直线l斜率的取值范围；

②直线l能否将圆C分割成弧长的比值为

1的两段圆弧？为什么？ 2

参考答案

7 131---12：DCBDB，BCBBB，AA。13：－7＜c＜24，14：2。15：26，16：

17，

117．3x + y + 1 = 0，18．m=0或m=2，19．x+2y-4=0

20．设圆心为(a,b)，半径为r，由条件①：r2?a2?1，由条件②：r2?2b2，从

而有：2b2?a2?1．由条件③

：??|a?2b|?1，解方程组?2b2?a2?1?a?1?a??1可得：?或?，所以r2?2b2?2．故所求圆的方程是??b?1?b??1?|a?2b|?1

(x?1)2?(y?1)2?2或(x?1)2?(y?1)2?2．

21．解：设H(x,y)，C(x',y')，连结AH，CH，

则AH?BC，CH?AB，BC是切线OC?BC， 所以OC//AH，CH//OA，OA?OC， 所以四边形AOCH是菱形． '??y?y?2,所以CH??2，得?' ??x?x.

又C(x',y')满足x'?y'?4， 所以x2?(y?2)2?4(x?0)即是所求轨迹方程．

22．解：①k?m,?km2?m?k?0(?)， 2m?1

11m?R,∴当k≠0时?≥0，解得?≤k≤且k≠0 22

1

21222又当k＝0时，m＝0，方程(?)有解，所以，综上所述?≤k≤

②假设直线l能将圆C分割成弧长的比值为交于A，B两点

则∠ACB＝120°．∵圆C:(x?4)2?(y?2)2?4，∴圆心C（

4，-2）到l的距离为1．

?1，整理得3m4?5m2?3?0． 1的两段圆弧．设直线l与圆C2

∵??52?4?3?3?0，∴3m4?5m2?3?0无实数解．

1因此直线l不可能将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧． 2

第二篇：解析几何基本知识归纳

解析几何

考点一、轨迹方程

求曲线方程的步骤:1.建系;2.列方程(即找等量关系,并将其转化为关于待求曲线上的任意一点的坐标所满足的等式)并化简;3.去杂补漏(一般依据有:三角形三顶点不能在一条直线上;变形过程是否扩大或缩小了变量的范围;曲线内部的点不能超出曲线等).

注:建立等式的方法有:1.直接法;2.待定系数法;3.相关点法.4.参数法;5.几何法;

练习1. 已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP’，延长P’P至M，使P’M=2 P’P，求点M的轨迹。 

考点二、直线和圆

(一)直线方程⑴点斜式:          ;⑵斜截式：           ;⑶截距式:          ；          ⑷两点式：                  ；⑸一般式：                ，（A，B不全为0）。

(二)两条直线的位置关系：

(三)几个公式(1) 在l上不同的点P₁(x₁,y₁)，P₂(x₂,y₂).则直线l的斜率为            ;

(2)两点间的距离公式：已知两点A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，则|AB|=                    ;

(3)点P（x₀,y₀）到直线Ax+By+C=0的距离：                       ；

(4)两条平行线Ax+By+C₁=0与 Ax+By+C₂=0的距离是                       ；

(四)圆的方程：

⑴标准方程：                     （r＞0），称为圆的标准方程，其圆心坐标为         ，半径为r.特别地，当圆心在原点（0，0），半径为r时，圆的方程为             .

⑵一般方程：                          （

注：Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0表示圆A=C≠0且B=0且D²+E²－4AF>0；

其圆心坐标为            ，半径为                .当=0时，方程表示一个点；当＜0时，方程不表示任何图形.

(3)圆的参数方程:.

(五)点、直线与圆的位置关系：

⑴点与圆的位置关系：（表示点到圆心的距离）

①点在圆      ；②点在圆       ；③点在圆      。

点和圆的位置关系：给定点及圆.

①在圆内②在圆上

③在圆外

⑵直线与圆的位置关系：（表示圆心到直线的距离）

①相     ；②相     ；③相     。

⑶圆与圆的位置关系：（表示圆心距，表示两圆半径，且）

①       ；②     ；③                相交；

④          ；⑤         。

练习2（09安徽）直线l过点（-1，2）且与2x-3y-7=0垂直,则l方程是      

3.已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，且圆心C在直线上l：x－y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程              ． 

4.（09全国Ⅱ文）已知圆O：和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于         25/4

5.已知点P（5，0）和⊙O：x²+y²=16,自P作⊙O的切线，切线的方程为   

考点三、圆锥曲线定义、标准方程、性质及其综合应用

附注：等轴双曲线： 称为等轴双曲线,其渐近线方程为      ,离心率      .

注:通径为2p，这是抛物线的过焦点的所有弦中最短的弦.

(一)    求圆锥曲线的标准方程：

考点解析——椭圆或双曲线的标准方程：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.四个主要元素a、b、c、e中，有=、e=c/a两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件。

练习6.过点(3,-2)且与椭圆4x²+9y²=36有相同焦点的椭圆方程是( A )

A．    B．    C．    D．

7.（09浙江）（15分）已知抛物线：上一点到其焦点的距离为，求抛物线方程和A的坐标；

(二)利用圆锥曲线的定义解题

练习8.双曲线上一点P,F₁,F₂为左右焦点,且|PF₂|=17，则|PF₁|=（ A）

（A）33             （B）1          （C）33或1         （D）34

9. F₁、F₂是椭圆＋=1的两个焦点，AB是过点F₁的弦，则DABF₂的周长是( C )

(A)10          (B)12           (C)20           (D)不能确定翰林汇

10.设P为椭圆上的点，F₁、F₂为椭圆的焦点，∠F₁PF₂＝，则△PF₁F₂的面积等于 (  C )  (A)16/3  (B)) (C))  (D)16

11.抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（ B）

A．17/16  B．15/16 C．7/8   D．0    B

(三)熟练运用圆锥曲线的几何性质解题：

12.F₁、F₂是椭圆两个焦点，过F₁且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF₂是正三角形，则这个椭圆的离心率是      

13.与双曲线有共同的渐近线，且经过点A的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是(C)（A）8    （B）4      （C）2   （D）1

(四)综合问题

综合1.直线与二次曲线交点的等价转化

(1）只有一个交点的转化

直线与椭圆只有一个公共点直线与椭圆相切消元所得方程为一元二次方程，且⊿=0

(2）无交点与有2个交点的转化

直线与二次曲线有2个交点     0；

直线与二次曲线有无交点     0；

练习14.直线y=kx+3与椭圆x²+4y²=16,只有一个公共点，则k的取值集合是   

变式1:直线y=kx+1 与双曲线x²-4y²=16,只有一个公共点，则k的取值集合是   

变式2：已知直线y=kx＋2与双曲线x²-y²=6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是

( C )  (A) (-)    (B)(0，)  (C)()  (D)()翰林汇

综合二.直线与圆锥曲线相交所得的弦长

直线具有斜率,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为,则它的弦长                                 =                                  

注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为，运用韦达定理来进行计算.

练习15.直线y = x－1被双曲线2x²－y² = 3所截得弦的中点坐标是_(-1,-2)_______，弦长是_______ 

综合三.中点弦问题

点差法——具有斜率的弦中点问题，一般设曲线上两点为，，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数——差分法(点差法).（一般适用于与弦的中点和斜率有关时用之，一种特殊应用是曲线上存在两点关于直线对称的问题）

练习16.一直线与椭圆4x²＋9y²=36相交于两点A、B，弦AB的中点坐标是(1，1)，则直线AB的方程是___  __4x+9y﹣13=0