专题五 解析几何知识点归纳

1.直线的倾斜角与斜率

?直线的倾斜角的范围：

?直线的倾斜角与斜率关系:

规律：当，倾斜角越大，斜率越大，反之亦成立

      当，倾斜角越大，斜率越大，反之亦成立

      当时，斜率，当时，没有斜率

③过两点的直线斜率公式：

2.直线的方程的几种形式

特别提示：过点P的直线可设为,这样设可避免对斜率是否存在的讨论。

3.两直线的位置关系:

（1）利用斜率判断

设直线

? 注：当两直线都没用斜率时也有

?    注：当一条直线没有斜率，而另一条直线斜率为0时，也有

（2）利用一般式方程的系数判断

设直线

?   注：当时另外考虑

?(不需要讨论）

4.距离公式：

?点到点的距离：点到点

?点到直线的距离：点P到直线距离

?平行线间的距离:设,则

5.圆的方程

（1）圆的标准方程：  其中圆心C,半径

（2）圆的一般方程：

（3）直线与圆的位置关系

注：研究直线与圆的位置关系，常用几何法

① 圆上一点引圆C的切线有且只有一条，

   当切线斜率不存在时，切线方程为

   当切线斜率存在时，切线方程为

② 圆外一点引圆C的切线有两条，可先设切线方程为

   然后利用圆心C到切线的距离等于半径    (易忽略了斜率不存在的那条）

③ 设则以为直径的圆的方程为:

                 

证明：设为所求圆上的任意一点，，

由易得：即为所求圆的方程。

（4）圆与圆的位置关系

重要知识：设圆---?，

            圆--?

当两圆相交时，公共弦MN所在的直线方程求法：

将两圆方程相减，即?-?消去项，得:---?,此方程就是公共弦MN所在的直线的方程，   下面解释原因：

设显然符合方程?即：       

由两点确定的直线有且只有一条，方程?表示的就是一条直线，故公共弦AB所在的直线的方程就是

6.椭圆的定义及其性质

?定义：

                         

?标准方程及其性质：

椭圆的性质要点：六点（4个顶点+2个焦点）、两线（2条对称轴）、两形（?椭圆上任意一点与两焦点构成的三角形，?原点、焦点与短轴顶点构成的三角形)   

焦半径公式: 设为椭圆上的任意一点,

则,      （左加右减）

推导过程：

7.双曲线的定义及其性质

?定义：

                       

           

?标准方程及其性质：

双曲线的性质要点：

(1)六点（2个顶点+2个焦点+2个虚轴端点）、四线（2条对称轴+2条渐近线）、两形（?双曲线上任意一点与两焦点构成的三角形，?原点、实轴顶点与虚轴端点构成的三角形) 

(2)与共渐近线的双曲线可设为

(3)在双曲线中，焦点到渐近线的距离                         8.抛物线的定义及其性质

  ?定义：                 

                          定点F叫做抛物的焦点，定直线叫做抛物的准线

?标准方程及其性质:

抛物线的性质特点：（1）标准方程中，一次项定焦点，一次项系数符号定开口;

（2）焦点的非零坐标是一次项系数的1/4,准线方程中的数是一次项系数的-1/4;

 (3)|MF|=d利用此结论，可实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间相互转化.

 (4)抛物线的焦点弦AB性质：

?

?，

?以AB为直径的圆与准线相切

④

9.直线与圆锥曲线的位置关系

?直线与圆锥曲线的位置关系可分为相交、相切、相离

判断方法：

设直线圆锥曲线,即将直线方程与圆锥曲线C的方程联立,消去得关于

(当然，也可以消去得关于), 通过一元二次方程的解的情况判断直线与圆锥曲线C的位置关系，见下表：

?圆锥曲线的弦长公式

若直线的斜率存在，不妨设直线方程为：,圆锥曲线,

联立方程组，消去得关于，

设直线与曲线的交点,,则是方程的两根，

（1）由韦达定定理可得：

（2）弦长

若消去，得关于

则

     

     

10.解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：

?直线的倾斜角互补

?（其中)

?在

  在

  在

④给出，等于己知是的平分线

⑤在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;

⑥在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;

⑦在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；

⑧在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；

⑨在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；

⑩在中，给出等于已知通过的内心；

(11)在中，给出,等于已知D为边的中点;

第二篇：解析几何知识点总结

淮上陌客2012.3.26

抛物线的标准方程、图象及几何性质：p?0

淮上陌客2012.3.26

关于抛物线知识点的补充：

1、定义：

2、几个概念：

① p的几何意义：焦参数p是焦点到准线的距离，故p为正数；

1② ； 4

③ 方程中的一次项的变量与对称轴的名称相同，一次项的系数符号决定抛物线的开口方向。

④ 通径：2p

3、如：AB是过抛物线y?2px(p?0)焦点F的弦，M是AB的中点，l是抛物线的准线，MN?l，N为垂足，BD?l，AH?l，D，H为垂足，求

证：

（1）HF?DF；

（2）AN?BN；

（3）FN?AB；

（4）设MN交抛物线于Q，则Q平分MN；

（5）设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1y2??p，x1x2?

（6）1?1

|FA|

2212p； 4|FB|?2；

p

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（7）A,O,D三点在一条直线上

2

（8）过M作ME?AB，ME交x轴于E，求证：|EF|?1|AB|，|ME|?|FA|?|FB|；

2

关于双曲线知识点的补充：

1、 双曲线的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|e(e注意： |

F1F2|）的点的轨迹。

?1)的点的轨迹。两个定点为双曲线的焦点，焦点间距离叫做焦距；定直线叫做准线。常数叫做离心率。

PF1|?|PF2|?2a与|PF2|?|PF1|?2a（2a?|F1F2|）表示双曲线的一支。 2a?|F1F2|表示两条射线；2a?|F1F2|没有轨迹；

2、 双曲线的标准方程

x2y2y2x2

①焦点在x轴上的方程：2?2?1（a>0，b>0）； ②焦点在y轴上的方程：2?2?1 （a>0，b>0）；

abab

③当焦点位置不能确定时，也可直接设椭圆方程为：mx-ny=1(m·n<0)； ④双曲线的渐近线：改1为0,分解因式则可得两条渐近线之方程. 3、双曲线的渐近线：

①求双曲线x?y?1的渐近线，可令其右边的1为0，即得x?y

2222

2

2

22

22

abab

22x2y2xy

?0，因式分解得到。②与双曲线2?2?1共渐近线的双曲线系方程是2?2??；

abab

4、等轴双曲线： 为x?y?t，其离心率为2 5、共轭双曲线： 6、几个概念：

222

xyb2b?222

; ; ③等轴双曲线x-y=? (?∈R,?≠0)：渐近线是y=±x,2 ；④2?2?1焦点三角形的面积：bcot (其中∠F1PF2=?)；

ca2ab

2

2

22

淮上陌客2012.3.26 222222⑤弦长公式：

c=a-b,而在双曲线中:c=a+b,

淮上陌客2012.3.26

淮上陌客2012.3.26

8、双曲线中的定点、定值及参数的取值范围问题：

①定点、定值问题：通常有两种处理方法：第一种方法?是从特殊入手，先求出定点（或定值），再证明这个点（值）与变量无关；第二种方法?是直接推理、计算；并在计算的过程中消去变量，从而得到定点（定值）。

②关于最值问题：常见解法有两种：代数法与几何法。若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形的性质来解决，这就是几何法；若题目中的条件和结论难以体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数的最值常用的方法有配方法、判别式法、重要不等式法、函数的单调性法等。

③参数的取值范围问题：此类问题的讨论常用的方法有两种：第一种是不等式（组）求解法?根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式再得出参数的变化范围；第二种是函数的值域求解法：把所讨论的参数表示为某个变量的函数，通过讨论函数的值域求得参数的变化范围。

关于椭圆知识点的补充：

1、椭圆的标准方程：

x2y2y2x2

① 焦点在x轴上的方程：2?2?1 （a>b>0）； ②焦点在y轴上的方程：2?2?1 （a>b>0）； abab

③当焦点位置不能确定时，也可直接设椭圆方程为：mx+ny=1(m>0,n>0)； ④、参数方程：?

2、椭圆的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹。 |PF1|e(0?e?1) =e (椭圆的焦半径公式：|PF1|=a+ex0, |PF2|=a-ex0)d

其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距；定直线叫做准线。 常数叫做离心率。

注意： 2a?|F1F2|表示椭圆；2a?|F1F2|表示线段F1F2；2a?|F1F2|没有轨迹； 22?x?acos??y?bsin?

xyb2b?23、 ; 4、通径：、点与椭圆的位置关系； 6、2?2?1焦点三角形的面积：btan其中∠F1PF2=?)； ca2ab2222

7、弦长公式：

； 8、 椭圆在点P（x0，y0)处的切线方程：x0xy0y?2?1; 2ab

9、直线与椭圆的位置关系：

凡涉及直线与椭圆的问题，通常设出直线与椭圆的方程，将二者联立，消去x或y，得到关于y或x的一元二次方程，再利用根与系数的关系及根的判别式等知识来解决，需要有较强的综合应用知识解题的能力。

淮上陌客2012.3.26

10、椭圆中的定点、定值及参数的取值范围问题：

①定点、定值问题：通常有两种处理方法：第一种方法?是从特殊入手，先求出定点（或定值），再证明这个点（值）与变量无关；第二种方法?是直接推理、计算；并在计算的过程中消去变量，从而得到定点（定值）。

②关于最值问题：常见解法有两种：代数法与几何法。若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形的性质来解决，这就是几何法；若题目中的条件和结论难以体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数的最值常用的方法有配方法、判别式法、重要不等式法、函数的单调性法等。

③参数的取值范围问题：此类问题的讨论常用的方法有两种：第一种是不等式（组）求解法?根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式（组）得出参数的变化范围；第二种?是函数的值域求解法：把所讨论的参数表示为某个变量的函数，通过讨论函数的值域求得参数的变化范围

椭圆图象及几何性质：