矩阵论
1．行列式的相关知识：
1.1定义：由
个数
组成的一个n阶行列式为
即所有取自不同行不同列的n个元素的乘积
的代数和，其中每一项的符合由排列
的奇偶性决定。
n阶行列式的展开原理：
定义1.1.2在n阶行列式D中，任选k行和 k列（
），将其交叉点上的
个元素按原来位置排成一个k阶行列式M，称为D的一个k阶子式。在D中划去M所在之k行k列后余下的
个元素按照原来位置排成的n-k阶行列式
，称为M的余子式。
定义1.1.3 设D的k阶子式M在D中所在行列指标分别是
和
，则称
为M的代数余子式，其中为M的余子式。
定理1.1.1（拉普拉斯定理）设在行列式D中任意取定k 行
，则由这k行元素所组成的一切k 阶子式与其对应的代数余子式的乘积之和等于和列式D。
定理1.1.4（克莱姆法则）：若线性方程组
（1.1.7）
的系数行列式
则方程组（1.1.7）有唯一解，且
，其中
是将
中第
列换成（1.1.7）式右端的常数项
所得的行列式，即
该定理通常称为克莱姆法则。特别地，当
时，方程组（1.1.7）又称为齐次线性方程组。若其系数行列式不为零，则由克莱姆法则知它必有唯一零解
行列式的降阶定理
定理1.6.1设A和D分别为n阶及m阶的方阵，则有
定理1.6.2设A，B，C，D皆为n阶方阵，且满足AC=CA，则
定义1.2.4向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。
引理1.3.1若齐次线性方程组
的系数矩阵
的秩r<n,则方程组必有非有非零解。
定理1.3.2 n阶方阵A的行列式
的充要条件rank(A)<n
定理1.1.3 矩阵A的秩为r的充要条件是A中至少有一个r 阶子式不为零，且其所有的r+1阶子式全为零。
定理1.3.4 设A，B是数域P上的两个n阶方阵，则
即矩阵乘积的行列式等于它的因子行列式的乘积。
定义1.3.4 数域P上的n 阶方阵A称为非奇异的（可逆矩阵，满秩矩阵），若
；否则称为奇异的（不可逆矩阵，不满秩矩阵）。
定理1.3.5设A是数域P上的
矩阵，B是数域P上的
矩阵，则
即乘积的秩不超过各因子的秩。
定理1.3.6 设A是一个
矩阵，如果P是s阶可逆方阵，Q是n阶可逆方阵，那么
定义1.3.5设
是一个n阶方阵，A的主对角元素 的和称为A的迹，并记之为
,即
解的判别定理
定理1.4.1线性方程组
有解的充要条件为
。其中
系数矩阵A与增广矩阵B的秩之间只有两种可能，即
或 
定义1.4.1齐次线性方程组
（1.4.5）
的一组解
称为方程组（1.4.5）的一个基础解系，若
1）线性无关；
2）方程组（1.4.5）的任何一个解都能用线性表示。
定理1.4.2若齐次线性方程组有非零解，则它的基础解系必存在，且基础解系所含解的个数为
，其中r为系数矩阵的秩。
矩阵的初等变换与初等矩阵
定义1.5.1数域P上的矩阵的下列三种变换称为初等行变换：
1）以P中非零的数乘矩阵的某一行；
2）把矩阵中某一行的倍数加到另一行；
3）互换矩阵中两行的位置。
同理定义初等列变换，统称为初等变换。
定义1.5.2单位矩阵E经过一次初等变换后所得到的矩阵称为初等矩阵。
定理1.5.1对一个
矩阵A作一次初等行变换，相当于对A左乘一个相应的
初等矩阵。对A作一次初等列变换，则相当于对A右乘一个相应的
初等矩阵。
定义1.5.3矩阵A与B称为等价的，若B可由A经过一系列初等变换得到。
定理1.5.2初等变换不改变矩阵的秩。
推论1.5.1 n阶方阵可逆的充要件是它与单位矩阵等价。
定理1.5.3 矩阵A与B等价的充要条件是有初等矩阵
使
推论1.5.3两个矩阵A与B等价的充要条件为存在可逆阵P与可逆阵
，使得
定义1.5.4数域P上n阶方阵A与B称为合同的，若数域P上存在可逆的n阶方阵C，使
合同必等价，等价不一定合同。
分块矩阵的秩
定理1.6.4设n阶方阵
其中
为
阶方阵，且
。则
定理1.6.5设A和D分别为n阶和m阶的方阵，则
定理1.6.8设A与B分别为
和矩阵，则
线性空间与线性变换
集合映射变换线性空间基维数坐标（略）
定义2.2.2 设
与
是n维线性空间V的两个基，且
则矩阵A称为由基到的过渡矩阵
还有坐标变换公式
定义2.2.2数域P上的两个线性空间
与
称为同构的，如果由到有一个双射
，且
1）
2）
其中
是V中任意向量，k是P中任意数。此时就称为与的一个同构映射。
定理2.2.1数域P上两个有限维线性空间同构的充要条件是它们有相同的维数。
子空间（略）
定理2.3.2两个向量组生成相同子空间的充要条件是它们等价。
定理2.3.3
（其中
是由
生成的空间）
定理2.3.4设W是数域P上的n维线性空间V的一个m维子空间，
是W的一个基，则这组基向量必定可扩充为线性空间V的基，即在V中必定可找到
个向量
，使得
是V的一个基。此定理通称为基的扩充定理。
定义2.3.2设
，
是线性空间的两个子空间，称
为与的和。易见子空间的“和”与集合的“并”两个概念是不同的。
定理2.3.5设与是线性空间的两个子空间，则它们的交与和也是的两个子空间。
定理2.3.6设与是线性空间的两个子空间，则
（维数的和等于和的维数加交的维数）
定义2.3.3设与是线性空间的两个子空间，如果和
中每个向量
的分解式
是唯一的，这个和就称为直和，记为
定理2.3.7设与是线性空间的两个子空间，则以下论断等价：
1）是直和；
2）零向量的分解式唯一；
3）
4）
定理2.3.8设U是线性空间V的一个子空间，则一定存在一个子空间
，使
定义2.4.1线性空间V的一个变换
称为线性变换，如果对V中任意元素，
和数域P中任何数k，都有
线性变换的性质（略）
定理2.4.1设
为线性空间V的一个基，是V中任意n个向量，则存在唯一的线性变换，使得
定义2.4.2设是数域P上n维线性空间V的一个基，是V中的线性变换，且基向量的像可以由这个基线性表示为
用矩阵表示就是
其中，矩阵
称A为线性变换在基下的矩阵。
定理2.4.3设线性变换在基下的矩阵为A，向量
在基下的坐标为
，则
在基下下的坐标
可以按公式
定理2.4.4设与
为线性空间V的两个基，为V的线性变换，且
则
定义2.5.1设是线性空间V的一个线性变换，它的全体像所组成的集合
称为的值域，用
表示。所有被变成零向量的向量所组成的集合
称为的核
称的维数为的秩，
的维数则称为的零度。
定理2.5.1设是n维线性空间V的线性变换，是V的一个基，在基下的矩阵是A，则
1）
；
2）的秩 = A的秩；
3）的秩+的零度 = n
定义2.5.2设是数域P上线性空间V的线性变换，W是V的子空间，若
换句话说，W中的向量在下的像仍在W中，则称W为V的关于的不变子空间，简称为—子空间。
定理2.5.2如果线性空间V的子空间W是由V中的向量组
生成的，那么W是—子空间的充要条件为像
都属于W。
维数公式设，是线性空间的两个子空间，
和分别为与的交与和，是的任意一个线性变换，则有
第一维数公式
第二维数公式
第三维数公式
定义3.1.1设是数域P上线性空间V的线性变换，若存在P中的数
和V中的非零向量，使得
则称为的特征值，为的属于特征值的一个特征向量。
定义3.1.2设A是数域P上的一个n阶矩阵，是数域P上的一个参数，E是n 阶单位矩阵，则矩阵
的行列式
称为A的特征多项式，它是数域P上的一个n次多项式，相应地称
为A 的特征方程。
定义3.1.3设A是n阶方阵，若存在多项式
使
，则称
为A的一个零化多项式。
定理3.1.1设A是数域P上的一个n阶方阵，且
是A的特征多项式，则
即
是A的一个零化多项式。
定义3.1.4设A是数域P上的一个n阶方阵，
是A的首项系数为1且次数最低的零化多项式，则称为A的最小多项式。
定理3.1.2数域P上的n阶方阵A 的最小多项式整除A的任一零化多项式。
推论3.1.1方阵A的最小多项式唯一。
推论3.1.2数域P上n阶方阵A的最小多项式的根是A的特征值；反之亦然。
定理3.2.1设是n维线性空间V的线性变换，的矩阵可以在V的某个基下成为对角矩阵的充要条件是有n个线性无关的特征向量。
定理3.2.2属于不同特征值的特征向量是线性无关的。
定理3.2.3如果
是线性变换的不同的特征值，则不同特征值的特征向量也是线性无关的。
定义3.2.1设A，B为n阶方阵，若存在可逆矩阵X，使得，
则称A相似于B，记做
定理3.2.4两个对角矩阵相似的充要条件为对角线上的元素相同，只是排列顺序不同。
定理3.2.5线性变换在不同基下所对应的矩阵相似；反之，若两个矩阵相似，则它们分别可以看做是同一线性变换在两个不同基下的矩阵。
定义3.2.2设
是定义在矩阵空间
上的函数，若对中的任意两个相似矩阵A与B，总有
，则称为相似不变量。
定理3.2.6矩阵的行列式是相似不变量。
定理3.2.7矩阵的迹是相似不变量。
定理3.2.8矩阵的秩是相似不变量。
定理3.2.9矩阵的特征多项式是相似不变量。
定义4.1.1若尔当标准形：
，其中
叫做若尔当块。
定义4.1.2设
为数域P上的多项式，以
为元素的
矩阵
称为矩阵或多项式矩阵。这样矩阵的全体记为
。
定义4.1.3如果
经过有限次初等变换后变成
，则称与相抵，记为
定理4.1.1设
且
，则相抵于如下对角形，称为的史密斯（smith）标准形。
其中
，
是首项系数为1的多项式，且
能整除
记为记为
定义4.1.4 矩阵最后化成的史密斯标准形，其对角线的元素
称为的不变因子。
定义4.1.5设的秩为r，对于正整数
，中必有非零的k阶子式，把中全部k阶子式的最大公因式称为的k 阶行列式因子，，记为
。
定理4.1.2相抵的矩阵具有相同的秩和相同的各阶行列式因子。
定理4.1.3 矩阵的史密斯标准形是唯一的。
定理4.1.4设
，则与相抵的充要条件是它们有相同的行列式因子，或者它们有相同的不变因子。
定义4.1.5 的所有因式的全体叫的初等因子。
定理4.1.5 设，则与相抵的充要条件是它们有相同的秩和相同的初等因子。
定理4.1.6 矩阵的充要条件是它们相应的特征矩阵
即两个矩阵的相拟的充要条件是它们的特征矩阵相抵。
定理4.1.7相拟矩阵有相同的最小多项式。
定理4.1.8 n阶矩阵A的最小多项式等于它的特征矩阵
中的第n个不变因子
推论1 若矩阵A的特征值互异，则它的最小多项式就是特征多项式。
在复数域
上，求n阶矩阵A的若当标准形的步骤如下：
第一步：求特征矩阵
的初等因子组，设为
且
第二步：写出每个初等因子
对应的若当块
第三步：写出以这些若当块构成的若当标准形
定义5.1.1设V是实数域
上的线性空间，对于V中任意两个向量 x , y ,如能给定某各规则使x 与 y对应着一个实数，记为
，并且满足以下条件：
1）
2）
3）
4）
，当且仅当
时，
。
则称该实数是向量x 与 y的内积。
如此定义了内积的实线性空间V叫做欧几里得空间（Euclid），简称欧氏空间（或实内积空间）。
定义5.1.2非负实数
叫做向量 x 的长度或模，记为
。长度等于1的向量叫做单位向量。零向量的长度为0
定义5.1.3非零向量 x 与 y 的夹角
规定为
这个定义在形式上与解析几何中夹角的定义是完全一致的。
定义5.1.4设V是一个n维欧氏空间，
是V的一个基，若在V的内积下，让
则称
为基的度量矩阵。
定理5.1.1设与
为欧氏空间V的两个基，它们的度理矩阵分别为A，B，且
则
即不同基的度量矩阵是合同的。
定度5.2.1设 x , y 为欧氏空间的两个向量，如果，则说 x 与 y 正交，记为
。
定理5.2.1如果向量x 与 y正交，则有
定义5.2.2欧氏空间中一组非零向量，如果它们两两正交，则称其为一个正交向量组。
定理5.2.2如果
是一组两两正交的非零向量，则它们必是线性无关的。
定义5.2.3在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基。
定义5.2.4从一组线性无关的向量出发，必可构造出一组相同个数的两两正交的向量，并且还可使每个新向量的长度（模）等于是（即单位向量）。这种做法叫做线性无知向量组的正交规范化，常用的方法是如下的施密特方法。
施密特正交化方法：设是一组线性无关的向量。施密物正交规范化步骤是先把化们正交化，具体步骤为：
第一步：取
作为正交向量组中的第一个向量。
第二步：令
其中 
这样就得到两个正交向量。
第三步：又令
，再由正交条件
及
来决定出
，
：
， 
到此我们已做出3个两两正交的向量。
第四步：如此继续进行，一般式是
直到
。这样得到的一组向量
显然是两两正交的。
第五步：再单位化，即以
除以它的模
，就得到所要求的下载交规范化的向量组了。
定理5.2.3一组基为标准正交基的充要条件是它的度量矩阵为单位矩阵。
定义5.2.5 n阶实数矩阵A称为正交矩阵，如果
定义5.2.6欧氏空间V的线性变换称为正交变换，如果它保持向量的内积不变，即对任意的
，都有
定理5.2.4欧氏空间的线性变换是正交变换的充要条件是，它对于标准正交基的矩阵是正交矩阵。
推论 正交矩阵是非奇异的，正交矩阵的逆阵还是正交矩阵，两个正交矩阵的乘积还是正交矩阵。
定义5.3.1设
是欧氏空间中的两个子空间，若对任意的
，恒有
则称与正交，记作
。若某个确定的向量，对任意的
，恒有，则称与正交，记作
定理5.3.1设是欧氏空间中的两个子空间，且，则
1）
2）
定理5.3.2设子空间
两两正交，则
是直和。
定义5.3.2子空间称为子空间的一个正交补，如果，且
。
定理5.3.3欧氏空间V的每一个子空间都有唯一的正交补。
定理5.4.1设A为实对称矩阵，则A的特征值皆为实数。
定义5.4.1设是欧氏空间V的一个线性变换，且对V中任意两个向量，都有
成立，则称为V中一个对称变换。
定理5.4.2欧氏空间的线性变换是实对称变换的充要条件是，它对于标准正交基的矩阵是实对称矩阵。
定理5.4.3实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量是正交的。
定理5.4.4设A为一个n阶实对称矩阵，则存在n阶正交矩阵T，使
成为对角矩阵。
定义5.5.1设V是复数域上的线性空间，对于V中的任意两个向量 x 和 y ,按某规则有一复数与之对应，它满足下列四个条件：
1）交换律：
，这里
是
的共轭复数；
2）分配律：
；
3）齐次性：
；
4）非负性：，当且仅当时，实数
则称为向量 x 与 y 的内积，而称V为酉空间（或复内积空间）。
酉空间的一些结论：
1）
。
2）
3）非零向量 x , y 的夹角规定为：
当
时，称x 与 y正交或垂直。
4）n维酉空间中的任意一组线性无关的向量都可以正交化，并能扩充成为一个标准正交基。
5）设
，
表示
的元素的共轭复数为元素组成的复共轭矩阵。若记
则称
为A的复共轭转置矩阵。
6）酉空间V中的线性变换
，如果满足
则称为V的酉变换。
7）酉空间V的线性变换为酉变换的充要条件是，对于V中任意两个向量 x , y ，都有
8）酉变换在酉空间的标准正交基下的矩阵A是酉矩阵，即满足下式：
定理5.5.1
1）设的特征值为
，则存在酉矩阵P，使得
2）设
的特征值为，且
，则存在正交矩阵
，使得
定义5.5.2设，若
则称A为正规矩阵。
定理5.5.2
1）设，则A酉相似于对角矩阵的充要条件是A为正规矩阵。
2）设，且A的特征值都是实数，则A正交相似于对角矩阵的充要条件是A为正规矩阵。
推论
1）实对称矩阵正交相似于对角矩阵。
2）设是欧氏空间V的对称变换，则在V中存在标准正交基
，使在该基下的矩阵为对角矩阵。
定理5.5.3
1）设，则A是正规矩阵的充要条件为存在酉矩阵U，使得
其中是A的特征值。
2）设A为正规矩阵，则与A酉相似的矩阵都是正规矩阵。
3）设A为正规矩阵，且A是三角矩阵，则A是对称阵。
4）正规矩阵A必有n 个线性无关的特征向量。
5）正规矩阵A的属于不同特征值的特征子空间是相互正交的。
定义6.1.1如果V是数域K上的线性空间，且对于V的任一向量 x ，对应一个实值函数
，它满足以下三个条件：
1）非负性：当
时，
；当
时，
；
2）齐次性：
；
3）三角不等式：
。则称为V上向量 x 的范数，简称向量范数。
定义6.1.2
， 
为向量的
范数或称
范数。
定义6.1.3设
和
为定义在
上的任意两种向量范数，若存在正常数
和
，使得对一切的
，总有
成立，则称上的这两种向量范数
与
是等价的。
定理6.1.1 上的任意一种向量范数
都是变量
的n元连续函数，其中
定理6.1.2上的任意两种向量范数都是等价的。
定理6.1.3在中，
，其中
为向量的任一种范数。
定义6.2.1设
，按某一法则在
上规定A的一个实值函数，记作
，它满足下面四个条件：
1）非负性：如果
，则
；如果
，则
。
2）齐次性：对任意的
，
。
3）三角不等式：对任意
，
。
4）相容性：当矩阵乘积AB有意义时，若有
则称为矩阵范数。
定义6.2.2设，
，如果取定的向量范数和矩阵范数满足不等式
则称矩阵范数与向量范数是相容的。
定理6.1.1设，
，且在
中已规定了向量的某种范数，则与向量范数相容的矩阵范数可以取作向量
的范数的最大值，即：
上面定义的相容范数为算子范数，或称为向量范数的从属范数。
定理6.1.2设
，则从属于向量 x 的3种范数
的算子范数依次是
1）
2）
其中
是矩阵
特征值绝对值的最大值；
3）
谱范数的性质和谱半径（略）
定义7.1.1设
，
，若
则称向量序列
收敛于向量 x ，或说向量 x 是向量序列当
时的极限，可记为
或
定义7.1.2设有矩阵序列
，其中
，且当时，
，则称收敛，并把矩阵
叫做的极限，或称收敛于A，记为
或 
定理7.1.1若对矩阵A的某一范数有
，则
定义7.2.1设有矩阵序列
，
其中，称无穷和
为矩阵级数，记为
，
称为矩阵级数的一般项，即有
定义7.1.2级数
前
项的和
称为级数的部分和，如果矩阵序列
收敛，且有极限
，即有
，
则称此矩阵级数收敛，称为级数的和，记作
不收敛的矩阵级数称为是发散的。
定义7.1.3设矩阵级数，其中。如果
个数项级数
都绝对收敛，则称矩阵级数绝对收敛。
定理7.1.1矩阵级数
绝对收敛的充要条件是
收敛。
定理7.1.2设两个矩阵级数
都绝对收敛，其和分别为A，B，则将它们按项相乘后作成的矩阵级数
绝对收敛，且具有和AB。
性质1 设矩阵级数绝对收敛，则
1）级数收敛。
2）级数在任意改变各项的次序后仍然收敛，且其和不变。
性质2 设
为n阶非奇异矩阵，若级数收敛（或绝对收敛），则矩阵级数
也收敛（或绝对收敛）。
定义7.1.4 形如
的矩阵级数称为矩阵幂级数，其中
。
若正项级数
收敛，则矩阵幂级数
绝对收敛，其中为矩阵A的某种范数。
定理7.1.3设，如果A的谱半径
的值在纯量 z 的幂级数
的收敛圆内，那么矩阵幂级数
绝对收敛；如果A的特征值中有一个在幂级数的收敛圆外，则矩阵幂级数发散。
定理7.1.4 矩阵幂级数
绝对收敛的充要条件是A的谱半径
，且该级数和为
。
定理7.1.5 设矩阵A的某种范数，则对任何非负整数 k ，有
定义7.2.1设一元函数
能够展开为 z 的幂级数
其中，
表示该幂级数的收敛半径。当 n 阶矩阵A的谱半径
时，把收敛的幂级数
的和称为矩阵函数，记为
，即
定理7.2.1如果
，则有
推论1
推论2 设 m 为整数，则
矩阵函数值的求法（略）
定义7.3.1 若矩阵的诸无素
均是变量 t 的函数，即
则称
为函数矩阵。推而广之，变量 t 还可以是向量，也可以是矩阵。
定义7.1.2设
，若
在
处（或
上）可导，则称在点处（或上）可导，且记为
函数矩阵导数运算性质（略）
定义7.2.1设
是以向量 x 为自变量的数量函数，即为 n 元函数，则规定数量函数
对于向量 x 的导数为
定义7.2.2设
，为矩阵A的数量函数，即看成是
元函数，则规定数量函数对于矩阵A的导数为
定义7.2.3设矩阵F是以为自变量的
矩阵，即
其元素
是以矩阵
的元素为自变量的
元函数，则规定矩阵
对于矩阵A的导数为
其中
定义7.3.1设矩阵
，则规定矩阵F的全微分为
定义7.3.2设函数矩阵
我们定义
矩阵微分方程（略）
矩阵分解（略）
广义逆矩阵（略）
特征值的估计和扰动（略）
胡 刚
QQ:501226890
2008.11.1