解三角形

2[课前热身]  

1．(教材习题改编)已知△ABC中，a＝，b＝，B＝60°，那么角A等于(　　)

A．135°　 　　   B．90°　 　　

C．45°　 　　      D．30°

2．在△ABC中，，则A等于(　　)

A．60°  B．45°  C．120°  D．30°

3．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积是(　　)

A.  B.  C.  D.

4．(2010年高考广东卷)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sinA＝________.

5． 

5．在△ABC中，如果A＝60°，c＝，a＝，则△ABC的形状是________．

                                               

3[考点突破]

考点一 正弦定理的应用

    利用正弦定理可解决以下两类三角形：一是已知两角和一角的对边，求其他边角；二是已知两边和一边的对角，求其他边角．

例1、(1)(20##年高考山东卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，sin B＋cos B＝，则角A的大小为________．

(2)满足A＝45°，a＝2，c＝的△ABC的个数为________．

考点二 余弦定理的应用

利用余弦定理可解两类三角形：一是已知两边和它们的夹角，求其他边角；二是已知三边求其他边角．由于这两种情况下的三角形是惟一确定的，所以其解也是惟一的．

例2、在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝.

(1)若△ABC的面积等于，求a，b的值；

(2)若sinB＝2sinA，求△ABC的面积．

考点三三角形形状的判定

判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．

例3、(20##年高考辽宁卷)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且

2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.

(1)求A的大小；

(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．

互动探究 

1　若本例条件变为：sinC＝2sin(B＋C)cosB，试判断三角形的形状．．

方法感悟:

方法技巧

解三角形常见题型及求解方法

(1)已知两角A、B与一边a，由A＋B＋C＝180°及＝＝，可求出角C，再求出b，c.

(2)已知两边b，c与其夹角A，由a²＝b²＋c²－2bccosA, 求出a，再由正弦定理，求出角B，C.

(3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.

(4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理＝求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，求出C，再由＝，求出c，而通过＝求B时，可能出现一解，两解或无解的情况，其判断方法如下表：

失误防范

1．用正弦定理解三角形时，要注意解题的完整性，谨防丢解．

2．要熟记一些常见结论，如三内角成等差数列，则必有一角为60°；若三内角的正弦值成等差数列，则三边也成等差数列；三角形的内角和定理与诱导公式结合产生的结论?sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)，sin?cos，sin2A＝－sin2([1]＋C)，cos2A＝cos2(B＋C)等．

3．对三角形中的不等式，要注意利用正弦　余弦的有界性进行适当“放缩”．

课后作业

1 在△ABC中，角均为锐角，且则△ABC的形状是（     ）

A.  直角三角形    B.  锐角三角形 

C.  钝角三角形    D.  等腰三角形 

2 边长为的三角形的最大角与最小角的和是（    ）

A.        B.       C.       D.   

3 在△ABC中，，则的最大值是_______________.

4 在△ABC中，若_________. 

5 已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，向量 夹角的余弦角为

   （Ⅰ）求角B的大小；

   （Ⅱ）求的取值范围.

6 △ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.

（Ⅰ）若，求cosA的值；

（Ⅱ）若A∈[，]，求的取值范围.

第二篇：高一数学解三角形练习题

必修五

第一章 解三角形

一、选择题

1．已知A，B两地的距离为10 km，B，C两地的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地的距离为( )．

A．10 km

到引用源。km B．10错误！未找到引用源。km D．10错误！未找到引用源。km C．10错误！未找

2．在△ABC中，若错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。，则△ABC是( )．

A．等腰三角形

C．直角三角形 B．等边三角形 D．等腰直角三角形

3．三角形三边长为a，b，c，且满足关系式(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，则c边的对角等于( )．

A．15° B．45° C．60° D．120°

4．在△ABC中，三个内角∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a∶b∶c＝1∶错误！未找到引用源。∶2，则sin A∶sin B∶sin C＝( )．

A．错误！未找到引用源。∶2∶1

C．1∶2∶错误！未找到引用源。 B．2∶错误！未找到引用源。∶1 D．1∶错误！未找到引用源。∶2

5．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则

( )．

A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形

B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形

C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形

D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形

6．在△ABC中，a＝2错误！未找到引用源。，b＝2错误！未找到引用源。，∠B＝45°，则∠A为( )．

A．30°或150° B．60° C．60°或120° D．30°

7．在△ABC中，关于x的方程(1＋x2)sin A＋2xsin B＋(1－x2)sin C＝0有两个不等的实根，则A为( )．

A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不存在

8．在△ABC中，AB＝3，BC＝错误！未找到引用源。，AC＝4，则边AC上的高为( )．

A．错误！未找到引用源。

误！未找到引用源。 B．错误！未找到引用源。 C．错D．3错误！未找到引用源。

9．在△ABC中，错误！未找到引用源。＝c2，sin A·sin B＝错误！未找到引用源。，则△ABC 一定是( )．

A．等边三角形

C．直角三角形 B．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形

10．根据下列条件解三角形：①∠B＝30°，a＝14，b＝7；②∠B＝60°，a＝10，b＝9．那么，下面判断正确的是( )．

A．①只有一解，②也只有一解．

C．①有两解，②只有一解．

二、填空题

11．在△ABC中，a，b分别是∠A和∠B所对的边，若a＝错误！未找到引用源。，b＝1，∠B＝30°，则∠A的值是 ．

12．在△ABC中，已知sin Bsin C＝cos2错误！未找到引用源。，则此三角形是__________三角形．

13．已知a，b，c是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，S是△ABC的面积．若a＝4， b＝5，S＝5错误！未找到引用源。，求c的长度

14．△ABC中，a＋b＝10，而cos C是方程2x2－3x－2＝0的一个根，求△ABC周长的最小值 ．

15．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且满足sin A∶sin B∶sin C＝2∶5∶6．若△ABC 的面积为错误！未找到引用源。，则△ABC的周长为________________．

16．在△ABC中，∠A最大，∠C最小，且∠A＝2∠C，a＋c＝2b，求此三角形三边之比为 ． B．①有两解，②也有两解． D．①只有一解，②有两解．

三、解答题

17．在△ABC中，已知∠A＝30°，a，b分别为∠A，∠B的对边，且a＝4＝错误！未找到引用源。b，解此三角形．

18．如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米后到达点B，又从点B测得斜度为45°，建筑物的高CD为50米．求此山对于地平面的倾斜角?．

19．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若bcos C＝(2a－c)cos B， (Ⅰ)求∠B的大小；

(Ⅱ)若b＝错误！未找到引用源。，a＋c＝4，求△ABC的面积．

20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，求证：错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。．

参考答案

一、选择题

1．D

解析：AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC

＝102＋202－2×10×20cos 120°

＝700．

AC＝10错误！未找到引用源。．

2．B

解析：由错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。及正弦定理，得错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。，由2倍角的正弦公式得错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。，∠A＝∠B＝∠C．

3．C

解析：由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，

得 a2＋b2－c2＝ab．

∴ cos C＝错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。．

故C＝60°．

4．D

解析：由正弦定理可得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝1∶错误！未找到引用源。∶2．

5．D

解析：△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形．

若△A2B2C2不是钝角三角形，由错误！未找到引用源。，得错误！未找到引用源。， 那么，A2＋B2＋C2＝错误！未找到引用源。－(A1＋B1＋C1)＝错误！未找到引用源。，与A2＋B2＋C2＝π矛盾．

所以△A2B2C2是钝角三角形．

6．C

解析：由错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。，得sin A＝错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。，

而b＜a，

∴ 有两解，即∠A＝60°或∠A＝120°．

7．A

解析：由方程可得(sin A－sin C)x2＋2xsin B＋sin A＋sin C＝0．

∵ 方程有两个不等的实根，

∴ 4sin2 B－4(sin2 A－sin2 C)＞0．

由正弦定理错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。，代入不等式中得 b2－a2＋c2＞0，

再由余弦定理，有2ac cos A＝b2＋c2－a2＞0．

∴ 0＜∠A＜90°．

8．B

解析：由余弦定理得cos A＝错误！未找到引用源。，从而sin A＝错误！未找到引用源。，则AC边上的高BD＝错误！未找到引用源。．

9．A

解析：由错误！未找到引用源。＝c2错误！未找到引用源。a3＋b3－c3＝(a＋b－c)c2错误！未找到引用源。a3＋b3－c2(a＋b)＝0错误！未找到引用源。

(a＋b)(a2＋b2－ab－c2)＝0．

∵ a＋b＞0，

∴ a2＋b2－c2－ab＝0． (1)

由余弦定理(1)式可化为

a2＋b2－(a2＋b2－2abcos C)－ab＝0，

得cos C＝错误！未找到引用源。，∠C＝60°．

由正弦定理错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。，得sin A＝错误！未找到引用源。，sin B＝错误！未找到引用源。，

∴ sin A·sin B＝错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。，

∴ 错误！未找到引用源。＝1，ab＝c2．将ab＝c2代入(1)式得，a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0，a＝b．

△ABC是等边三角形．

10．D

解析：由正弦定理得sin A＝错误！未找到引用源。，①中sin A＝1，②中sin A＝错误！未找到引用源。．分析后可知①有一解，∠A＝90°；②有两解，∠A可为锐角或钝角．

二、填空题

11．60°或120°．

解析：由正弦定理错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。计算可得sin A＝错误！未找到引用源。，∠A＝60°或120°．

12．等腰．

解析：由已知得2sin Bsin C＝1＋cos A＝1－cos(B＋C)，

即2sin Bsin C＝1－(cos Bcos C－sin Bsin C)，

∴ cos(B－C)＝1，得∠B＝∠C，

∴ 此三角形是等腰三角形．

13．错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源。．

解：∵ S＝错误！未找到引用源。absin C，∴ sin C＝错误！未找到引用源。，于是∠C＝60°或∠C＝120°．

又c2＝a2＋b2－2abcos C，

当∠C＝60°时，c2＝a2＋b2－ab，c＝错误！未找到引用源。；

当∠C＝120°时，c2＝a2＋b2＋ab，c＝错误！未找到引用源。．

∴ c的长度为错误！未找到引用源。或错误！未找到引用源。．

14．10＋5错误！未找到引用源。．

解析：由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C，然后运用函数思想加以处理． ∵ 2x2－3x－2＝0，

∴x1＝2，x2＝－错误！未找到引用源。．

又cos C是方程2x2－3x－2＝0的一个根，

∴ cos C＝－错误！未找到引用源。．

由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab·(－错误！未找到引用源。)＝(a＋b)2－ab， 则c2＝100－a(10－a)＝(a－5)2＋75，

当a＝5时，c最小，且c＝错误！未找到引用源。＝5错误！未找到引用源。， 此时a＋b＋c＝5＋5＋5错误！未找到引用源。＝10＋5错误！未找到引用源。， ∴ △ABC周长的最小值为10＋5错误！未找到引用源。．

15．13．

解析：由正弦定理及sin A∶sin B∶sin C＝2∶5∶6，可得a∶b∶c＝2∶5∶6，于是可设a＝2k，b＝5k，c＝6k(k＞0)，由余弦定理可得

cos B＝错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。， ∴ sin B＝错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。．

由面积公式S△ABC＝错误！未找到引用源。ac sin B，得

错误！未找到引用源。·(2k)·(6k)·错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。， ∴ k＝1，△ABC的周长为2k＋5k＋6k＝13k＝13．

本题也可由三角形面积(海伦公式)得错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。， 即错误！未找到引用源。k2＝错误！未找到引用源。，∴ k＝1．

∴ a＋b＋c＝13k＝13．

16．6∶5∶4．

解析：本例主要考查正、余弦定理的综合应用．

由正弦定理得错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。＝2cos C，即cos C＝错误！未找到引用源。，

由余弦定理cos C＝错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。．

∵ a＋c＝2b，

∴ cos C＝错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。，

∴ 错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。．

整理得2a2－5ac＋3c2＝0．

解得a＝c或a＝错误！未找到引用源。c．

∵∠A＝2∠C，∴ a＝c不成立，a＝错误！未找到引用源。c

∴ b＝错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。， ∴ a∶b∶c＝错误！未找到引用源。c∶错误！未找到引用源。∶c＝6∶5∶4． 故此三角形三边之比为6∶5∶4．

三、解答题

17．b＝4错误！未找到引用源。，c＝8，∠C＝90°，∠B＝60°或b＝4错误！未找到引用源。，c＝4，∠C＝30°，∠B＝120°．

解：由正弦定理知错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。sin B＝错误！

未找到引用源。，b＝4错误！未找到引用源。．

∠B＝60°或∠B＝120°错误！未找到引用源。∠C＝90°或∠C＝30°错误！未找到引用源。c＝8或c＝4．

18．分析：设山对于地平面的倾斜角∠EAD＝?，这样可在△ABC中利用正弦定理求出BC；再在△BCD中，利用正弦定理得到关于??的三角函数等式，进而解出??角．

解：在△ABC中，∠BAC＝15°，AB＝100米，

∠ACB＝45°－15°＝30°．

根据正弦定理有错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。，

∴ BC＝错误！未找到引用源。． (第18题)

又在△BCD中，∵ CD＝50，BC＝错误！未找到引用源。，∠CBD＝45°，∠CDB＝90°＋??，

根据正弦定理有错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。．

解得cos???＝错误！未找到引用源。－1，∴ ??≈42.94°．

∴ 山对于地平面的倾斜角约为42.94°．

19．解：(Ⅰ)由已知及正弦定理可得sin Bcos C＝2sin Acos B－cos Bsin C，

∴ 2sin Acos B＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin(B＋C)．

又在三角形ABC中，sin(B＋C)＝sin A≠0，

∴ 2sin Acos B＝sin A，即cos B＝错误！未找到引用源。，B＝错误！未找到引用源。． (Ⅱ)∵ b2＝7＝a2＋c2－2accos B，∴ 7＝a2＋c2－ac，

又 (a＋c)2＝16＝a2＋c2＋2ac，∴ ac＝3，∴ S△ABC＝错误！未找到引用源。acsin B， 即S△ABC＝错误！未找到引用源。·3·错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。．

20．分析：由于所证明的是三角形的边角关系，很自然联想到应用正余弦定理． 解：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A；b2＝a2＋c2－2accos B得

a2－b2＝b2－a2－2bccos A＋2accos B，

∴ 2(a2－b2)＝－2bccos A＋2accos B，

错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。．

由正弦定理得 a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，

∴错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。

＝错误！未找到引用源。．

故命题成立．