高中数学函数知识点梳理
1. .函数的单调性
(1)设
那么
上是增函数；
上是减函数.
(2)设函数
在某个区间内可导，如果
，则
为增函数；如果
，则为减函数.
注：如果函数和
都是减函数,则在公共定义域内,和函数
也是减函数;如果函数
和
在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数
是增函数.
2. 奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
注：若函数
是偶函数，则
；若函数
是偶函数，则
.
注：对于函数(
),
恒成立,则函数的对称轴是函数
;两个函数与
的图象关于直线对称.
注：若
,则函数的图象关于点
对称;若
,则函数为周期为
的周期函数.
3. 多项式函数
的奇偶性
多项式函数
是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零.
多项式函数是偶函数的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
23.函数
的图象的对称性
(1)函数的图象关于直线
对称
.
(2)函数的图象关于直线
对称
.
4. 两个函数图象的对称性
(1)函数与函数
的图象关于直线
(即
轴)对称.
(2)函数
与函数
的图象关于直线
对称.
(3)函数和
的图象关于直线y=x对称.
25.若将函数的图象右移
、上移
个单位，得到函数
的图象；若将曲线
的图象右移、上移个单位，得到曲线
的图象.
5. 互为反函数的两个函数的关系
.
27.若函数
存在反函数,则其反函数为
,并不是
,而函数是
的反函数.
6. 几个常见的函数方程
(1)正比例函数
,
.
(2)指数函数
,
.
(3)对数函数
,
.
(4)幂函数
,
.
(5)余弦函数
,正弦函数
，
，
.
7. 几个函数方程的周期(约定a>0)
（1）
，则的周期T=a；
（2）
，
或
，
或
,
或
,则的周期T=2a；
(3)
，则的周期T=3a；
(4)
且
，则的周期T=4a；
(5)
,则的周期T=5a；
(6)
，则的周期T=6a.
8. 分数指数幂
(1)
（
，且
）.
(2)
（，且）.
9. 根式的性质
（1）
.
（2）当
为奇数时，
；
当为偶数时，
.
10. 有理指数幂的运算性质
(1)
.
(2)
.
(3)
.
注：若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.
33.指数式与对数式的互化式
.
34.对数的换底公式
(
,且
,
,且
,
).
推论 
(,且
,
,且,
,).
11. 对数的四则运算法则
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1)
;
(2)
;
(3)
.
注：设函数
,记
.若的定义域为
,则
，且
;若的值域为,则，且
.对于
的情形,需要单独检验.
12. 对数换底不等式及其推论
若,
,
,
,则函数
(1)当
时,在
和
上为增函数.
(2)(2)当
时,在和上为减函数.
推论:设
，
，，且，则
（1）
.
（2）
.
第二篇：高中数学函数知识点梳理1
高中数学函数知识点梳理1
1. .函数的单调性
(1)设x1?x2??a,b?,x1?x2那么
f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?上是增函数； x1?x2
f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?上是减函数. (x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?x1?x2
(2)设函数y?f(x)在某个区间内可导，如果f?(x)?0，则f(x)为增函数；如果f?(x)?0，则f(x)为减函数.
注：如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)?g(x)也是减函数;如果函数y?f(u)和u?g(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数y?f[g(x)]是增函数. (x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?
2. 奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
注：若函数y?f(x)是偶函数，则f(x?a)?f(?x?a)；若函数y?f(x?a)是偶函数，则f(x?a)?f(?x?a).
注：对于函数y?f(x)(x?R),f(x?a)?f(b?x)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数x?a?ba?b;两个函数y?f(x?a)与y?f(b?x) 的图象关于直线x?对称. 22
a注：若f(x)??f(?x?a),则函数y?f(x)的图象关于点(,0)对称;若2
f(x)??f(x?a),则函数y?f(x)为周期为2a的周期函数.
3. 多项式函数P(x)?anxn?an?1xn?1???a0的奇偶性
多项式函数P(x)是奇函数?P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.
多项式函数P(x)是偶函数?P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
23.函数y?f(x)的图象的对称性
(1)函数y?f(x)的图象关于直线x?a对称?f(a?x)?f(a?x)
?f(2a?x)?f(x).
(2)函数y?f(x)的图象关于直线x?a?b对称?f(a?mx)?f(b?mx) 2
?f(a?b?mx)?f(mx).
4. 两个函数图象的对称性
(1)函数y?f(x)与函数y?f(?x)的图象关于直线x?0(即y轴)对称.
(2)函数y?f(mx?a)与函数y?f(b?mx)的图象关于直线x?
(3)函数y?f(x)和y?f?1a?b对称. 2m(x)的图象关于直线y=x对称.
25.若将函数y?f(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数y?f(x?a)?b的图
象；若将曲线f(x,y)?0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(x?a,y?b)?0的图象.
5. 互为反函数的两个函数的关系
f(a)?b?f?1(b)?a.
27.若函数y?f(kx?b)存在反函数,则其反函数为y?1[fk?1(x)?b],并不是y?[f?1(kx?b),而函数y?[f?1(kx?b)是y?
6. 几个常见的函数方程 1[f(x)?b]的反函数. k
(1)正比例函数f(x)?cx,f(x?y)?f(x)?f(y),f(1)?c.
(2)指数函数f(x)?ax,f(x?y)?f(x)f(y),f(1)?a?0.
(3)对数函数f(x)?logax,f(xy)?f(x)?f(y),f(a)?1(a?0,a?1).
(4)幂函数f(x)?x?,f(xy)?f(x)f(y),f'(1)??.
(5)余弦函数f(x)?cosx,正弦函数g(x)?sinx，f(x?y)?f(x)f(y)?g(x)g(y)， f(0)?1,limx?0g(x)?1. x
7. 几个函数方程的周期(约定a>0)
（1）f(x)?f(x?a)，则f(x)的周期T=a；
（2）f(x)?f(x?a)?0，
1(f(x)?0)， f(x)
1或f(x?a)??(f(x)?0),
f(x)
1或??f(x?a),(f(x)??0,1?),则f(x)的周期T=2a； 2
1(f(x)?0)，则f(x)的周期T=3a； (3)f(x)?1?f(x?a)
f(x1)?f(x2)(4)f(x1?x2)?且f(a)?1(f(x1)?f(x2)?1,0?|x1?x2|?2a)，则1?f(x1)f(x2)
f(x)的周期T=4a；
(5)f(x)?f(x?a)?f(x?2a)f(x?3a)?f(x?4a)
?f(x)f(x?a)f(x?2a)f(x?3a)f(x?4a),则f(x)的周期T=5a；
(6)f(x?a)?f(x)?f(x?a)，则f(x)的周期T=6a. 或f(x?a)?
8. 分数指数幂
(1)a
(2)a
mn???m
n1
m
n（a?0,m,n?N，且n?1）. （a?0,m,n?N，且n?1）
. ??（2）当n?a；
?a,a?0当n
?|a|??. ?a,a?0?10. 有理指数幂的运算性质
(1)ar?as?ar?s(a?0,r,s?Q).
(2)(ar)s?ars(a?0,r,s?Q).
(3)(ab)r?arbr(a?0,b?0,r?Q).
p注：若a＞0，p是一个无理数，则a表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性
质，对于无理数指数幂都适用.
33.指数式与对数式的互化式
logaN?b?ab?N(a?0,a?1,N?0).
34.对数的换底公式
logmN (a?0,且a?1,m?0,且m?1, N?0). logma
nn推论 logamb?logab(a?0,且a?1,m,n?0,且m?1,n?1, N?0). mlogaN?
11. 对数的四则运算法则
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1)loga(MN)?logaM?logaN;
M?logaM?logaN; N
(3)logaMn?nlogaM(n?R). (2)loga
注：设函数f(x)?logm(ax2?bx?c)(a?0),记??b?4ac.若f(x)的定义域为2
R,则a?0，且??0;若f(x)的值域为R,则a?0，且??0.对于a?0的情形,需要单独检验.
12. 对数换底不等式及其推论
1,则函数y?logax(bx) a
11(1)当a?b时,在(0,)和(,??)上y?logax(bx)为增函数. aa
11(2)(2)当a?b时,在(0,)和(,??)上y?logax(bx)为减函数. aa若a?0,b?0,x?0,x?
推论:设n?m?1，p?0，a?0，且a?1，则
（1）logm?p(n?p)?logmn.
（2）logamlogan?loga2m?n. 2