7. 函数的三要素是:定义域、对应法则、值域
相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备)
8. 求函数的定义域常见类型
函数定义域求法：
（1）分式中的分母不为零； （2）偶次方根下的数（或式）大于或等于零；
（3）指数式的底数大于零且不等于一；（4）对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。
（5）正切函数
（6）余切函数
9. 求复合函数的定义域
义域是_____________。
例 若函数
的定义域为
，则
的定义域为 。
函数值域的求法
1、直接观察法(对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。)
例 求函数y=
的值域
2、配方法(配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。)
例、求函数y=
-2x+5，x
[-1，2]的值域。
3、判别式法
对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面
4、反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例 求函数y=
值域。
5、函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。
例 求函数y=
，
，
的值域。
6、函数单调性法
通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容
例求函数y=
（2≤x≤10）的值域
7、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角
函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发
挥作用。
例 求函数y=x+
的值域。
8 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这
类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
例：已知点P（x.y）在圆x2+y2=1上，
例求函数y=
+
的值域。
例求函数y=
+ 
的值域
例求函数y=-的值域
9 、不等式法
利用基本不等式a+b≥2
，a+b+c≥3
（a，b，c∈
），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
10、倒数法
例 求函数y=
的值域
切记：做题，特别是做大题时， 一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商
(2004.全国理)函数
的反函数是（ ）
A．y=x2－2x+2(x<1) B．y=x2－2x+2(x≥1)
C．y=x2－2x (x<1) D．y=x2－2x (x≥1) 
反函数性质：
1、 反函数的定义域是原函数的值域 （可扩展为反函数中的x对应原函数中的y）
2、 反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y对应原函数中的x）
3、 反函数的图像和原函数关于直线=x对称（难怪点（x,y）和点（y，x）关于直线y=x对称
①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；
②保存了原来函数的单调性、奇函数性；
（04. 上海春季高考）已知函数
，则方程
的解
__________.1
15 . 如何用定义证明函数的单调性？
(1)定义法：
根据定义，设任意得x1,x2，找出f(x1),f(x2)之间的大小关系
可以变形为求
的正负号或者
与1的关系
(2)参照图象：
①若函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间具有相同的单调性； （特例：奇函数）
②若函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，则函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间里具有相反的单调性。（特例：偶函数）
(3)利用单调函数的性质：
①函数f(x)与f(x)＋c(c是常数)是同向变化的
②函数f(x)与cf(x)(c是常数)，当c＞0时，它们是同向变化的；当c＜0时，它们是反向变化的。
③如果函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)＋f2(x)和它们同向变化；（函数相加）
④如果正值函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数f1(2)与f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘）
⑤函数f(x)与
在f(x)的同号区间里反向变化。
?若函数y＝f(x)是严格单调的，则其反函数x＝f－1(y)也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。
利用导数判断函数的单调性
值是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？
（f(x)定义域关于原点对称）
注意如下结论：
（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
判断函数奇偶性的方法
一、定义域法
一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.
二、奇偶函数定义法
在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算
，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.
三、复合函数奇偶性
周期函数
函数，T是一个周期。）
图象变换了
联想点（x,y）,(-x,y)
联想点（x,y）,(x,-y)
联想点（x,y）,(-x,-y)
联想点（x,y）,(y,x)
联想点（x,y）,(2a-x,y)
联想点（x,y）,(2a-x,0)
注意如下“翻折”变换：
常用函数的图象和性质
(k为斜率，b为直线与y轴的交点)
的双曲线。
应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程
②求闭区间［m，n］上的最值。
③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。
由图象记性质！ （注意底数的限定！）
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？（均值不等式一定要注意等号成立的条件）
解抽象函数（赋值法、结构变换法）
例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>0，f(－1)＝ －2求f(x)在区间[－2,1]上的值域.
例2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>2，f(3)＝ 5，求不等式 f（a2－2a－2）<3的解.
例3已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当0≤x＜1时，f（x）∈[0，1].
（1） 判断f（x）的奇偶性；
（2） 判断f（x）在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明；
（3） 若a≥0且f（a＋1）≤
，求a的取值范围.
例4设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在x1≠x2，使得f（x1）≠f（x2）；对任何x和y，f（x＋y）＝f（x）f（y）成立.求：
（1） f（0）；
（2） 对任意值x，判断f（x）值的符号.
例5是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）>0,x∈N；②f（a＋b）＝ f（a）f（b），a、b∈N；③f（2）＝4.同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明理由.
例6设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f（x·y）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，求：
（1） f（1）；
（2） 若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围.
例7设函数y＝ f（x）的反函数是y＝g（x）.如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正确，试说明理由.
例8已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：
① x1、x2是定义域中的数时，有f（x1－x2）＝
；
② f（a）＝ －1（a＞0，a是定义域中的一个数）；
③ 当0＜x＜2a时，f（x）＜0.
试问：
（1） f（x）的奇偶性如何？说明理由；
（2） 在（0，4a）上，f（x）的单调性如何？说明理由.
例9已知函数f（x）（x≠0）满足f（xy）＝f（x）＋f（y），
（1） 求证：f（1）＝f（－1）＝0；
（2） 求证：f（x）为偶函数；
（3） 若f（x）在（0，＋∞）上是增函数，解不等式f（x）＋f（x－
）≤0.
例10已知函数f（x）对一切实数x、y满足f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）·f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，求证：
（1） 当x＞0时，0＜f（x）＜1；
（2） f（x）在x∈R上是减函数.
练习题：
1.已知：f（x＋y）＝f（x）＋f（y）对任意实数x、y都成立，则（ ）
（A）f（0）＝0 （B）f（0）＝1
（C）f（0）＝0或1 （D）以上都不对
2. 若对任意实数x、y总有f（xy）＝f（x）＋f（y），则下列各式中错误的是（ ）
（A）f（1）＝0 （B）f（）＝ f（x）
（C）f（
）＝ f（x）－f（y） （D）f（xn）＝nf（x）（n∈N）
3.已知函数f（x）对一切实数x、y满足：f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，则当x＞0时，f（x）的取值范围是（ ）
（A）（1，＋∞） （B）（－∞，1）
（C）（0，1） （D）（－1，＋∞）
4.函数f（x）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的x1、x2都有
f（x1－x2）＝
，则f（x）为（ ）
（A）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数
（C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数
5.已知不恒为零的函数f（x）对任意实数x、y满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2[f（x）＋f（y）]，则函数f（x）是（ ）
（A）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数
（C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数