高中数学(文科)知识点

            整理：袁小林

一、函数

1、函数的单调性

（1）       定义：对于函数f(x)的某个区间D上的任意两个自变量的值x₁,x_2,

①若x₁<x₂，都有f(x₁)<f(x₂), 则f(x)在这个区间上是增函数；

②若x₁<x₂，都有f(x₁)>f(x₂), 则f(x) 在这个区间上是减函数

等价定义

对于那么

(1)上是增函数；

(2)上是减函数．

对于函数单调性的理解从三个方面入手：从图象上看、从x与y的关系看、数学定义上看

（2）       判断函数的单调性的方法及其步骤

①定义法   步骤：设值→作差→化简→差与0比较大小→下结论

②图像法  先画出函数图像再观察上升或下降 如：（k>0）

③x与y的变化关系 （为增）（为减）

④导数法  设函数在某个区间内可导，若，则为增函数；若，则为减函数.

（3）       注意点：在描述函数单调性时，不能简单地说函数是增还是减，一定要连同注明其单调区间。比如，是减函数（ 表述错误  ）

(4)若在区间D上为增函数，则称在区间D上为          

   若在区间D上为减函数，则称在区间D上为          

(5). 若，在区间D上为增函数 则在区间D上为    

    若，在区间D上为减函数 则在区间D上为    

简言之：  （1）增函数﹢增函数=增函数；（2）、减函数 + 减函数=减函数；   

 (3)、增函数—减函数=增函数；(4)、减函数—增函数=减函数；

 (6)复合函数的单调性：  “同增异减” （复习时再细讲）

 (7)常见函数的单调性( 要求会画函数图，从图像上来理解并记忆)

一次函数   二次函数  指数函数  

 对数函数    幂函数(n= -1,1,2,3)     勾型函数

（8）几个常见的抽象函数方程

(1) 若   则猜想f(x)为正比例函数.

(2) 若    则猜想f(x)为指数函数,

(3) 若    则猜想f(x)为对数函数, 

(4) 若     则猜想f(x)为幂函数, 

2函数的奇偶性

（1） 定义：

 偶函数：对于定义域内任意的，都有，则是偶函数；

奇函数: 对于定义域内任意的，都有，则是奇函数。

(2) 判断函数奇偶性的步骤

①定义域关于原点对称      

②判断与的关系 

若=则函数为偶函数

若=则函数为奇函数

（3）奇函数的性质

①奇函数定义域关于原点对称，换言之：若定义域为[a,b]，则a+b=0

②奇函数的图像关于原点对称

③在有意义，则          

④奇函数在其关于原点对称的区间上单调性             

⑤若函数图象上有一点P（a,b）则必有点Q（-a,-b）

换言之：若则必有

（4）偶函数的性质

①偶函数定义域关于原点对称，换言之：若定义域为[a,b]，则a+b=0

②偶函数的图像关于轴对称

③偶函数在其关于原点对称的区间上单调性             

④若函数图象上有一点P（a,b）则必有点Q（-a,b）

换言之：若则必有

 (5)常见的奇偶函数

    ①，② ，③ ，④⑤

   ⑥  ⑦⑧

（6）几个结论：

①一次函数为奇函数b=0

②二次函数为偶函数b=0

3、函数的周期性

(1)    定义:对于定义域内的任意，都有，则T为的周期（T≠0）

(2)    结论   对于定义域内的任意，都有

①  ，则2为的周期

②  ，则                       

③   ，则                  

④  ，则                  

4、函数的对称性

1.对于定义域内的任意，都有，则直线为的对称轴   特别的 时为偶函数

5.分数指数幂与根式的性质：

(1)

（2）

（3）.

（4）当为奇数时，；当为偶数时，.

6 指数式与对数式的互化式:  _.

指数性质：

        (1)、  ；  （2）、（）； (3)、

(4)、  ；(5)、      (6)  ； 

对数性质： 

(1)、  ；（2）、  ；    

(3)、   ；(4)、  ；  (5)、

(6)、    ；        (7)、       

指数函数、对数函数的图象和性质

特别说明:

(1)、 

(2)、 或

7 对数的换底公式 : 

推论：① 

② ，

③. ，

8.平均增长率的问题

如果原来产值的基础数为N，平均增长率为，则对于时间的总产值，有.

9.零点与根的关系

零点：对于函数,我们把使的实数叫做函数的零点

零点定理：如果函数在区间上的图像是连续的，并且有，

那么函数在区间内有零点。即存在，使得，这个c也是方程的根。

关系：   方程的根函数有零点图像与x轴有交点

10．函数图象

1．水平平移(特别强调:如何平移要看如何变,

（1）---------------------→

（2）---------------------→

2竖直平移：

（1）---------------------→

（2）---------------------→

3．对称变换：(先了解点有线的对称关系)

点P(a,b)关于x轴对称的点Q坐标为             

点P(a,b)关于y轴对称的点Q坐标为             

点P(a,b)关于原点对称的点Q坐标为             

点P(a,b)关于直线y=x对称的点Q坐标为             

点P(a,b)关于y=-x对称的点Q坐标为             

（1）函数的图像与函数的图像关于         轴对称；

（2）函数的图像与函数的图像关于         轴对称；

（3）函数的图像与函数的图像关于        对称；

4．翻折变换：（1）函数的图像可以将函数的图像的轴下方部分沿轴翻折到轴上方，去掉原轴下方部分，并保留的轴上方部分即可得到；

（2）函数的图像可以将函数的图像右边沿轴翻折到轴左边替代原轴左边部分并保留在轴右边部分即可得到．

如：画，，，，的图像

  34. 不等式的性质

（1）

    （2）（同向不等式相加不等号不变）

（3）

    （4）

   

(6) ,   

(7)  

    （）

  35.均值不等式及相关结论

   (1)        

   (2) 

(3)

 分式不等式的解法

  

  38.高次不等式解法——用“标根穿轴法”“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始

第二篇：高中数学 函数及其表示知识点

课题名称: 函数及其表示

（一）知识梳理

1．映射的概念

设是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的任意元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从到的映射，通常记为 ，f表示对应法则

注意：⑴A中元素必须都有象且唯一；⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。

2．函数的概念

(1)函数的定义：

设是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中的       ，在集合中都有       的数和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数，通常记为__________

(2)函数的定义域、值域

在函数中，叫做自变量，      叫做的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，          称为函数的值域。

(3)函数的三要素：       、      和     

3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法

（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；

（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；

(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。

4．分段函数

    在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

（二）考点分析

考点1：映射的概念

例1．下述两个个对应是到的映射吗？

（1），，；

（2），，．

例2．若，，，则到的映射有    个，到的映射有   个

例3．设集合，，如果从到的映射满足条件：对中的每个元素与它在中的象的和都为奇数，则映射的个数是（  ）

8个             12个           16个          18个

考点2：判断两函数是否为同一个函数

如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个函数相等。

例1． 试判断以下各组函数是否表示同一函数？

（1），；

（2），

（3），；

（4），

（5），（n∈N^*）；

考点3：求函数解析式

方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；

（2）若已知复合函数的解析式，则可用换元法或配凑法；

（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出

题型1：用待定系数法求函数的解析式

例1.已知函数是一次函数,且,求表达式.

例2.已知是一次函数且（              ）

A．                  B．            C．             D．

例3.二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.

   (1)求f(x)的解析式；

   (2)解不等式f (x)＞2x＋5.

例4.已知g(x)＝－x²－3，f(x)是二次函数，当x∈[－1,2]时，f(x)的最小值为1，且f (x)＋g(x)为奇函数，求函数f(x)的表达式．

题型2：由复合函数的解析式求原来函数的解析式

例1．已知二次函数满足，求

例2.已知_____________。

例3．已知=，则的解析式可取为       

题型3：求抽象函数解析式

例1．已知函数满足，求

例2、已知：，求表达式.

例3.设函数与的定义域是且,是偶函数, 是奇函数,且,求和的解析式.

考点4：求函数的定义域

题型1：求有解析式的函数的定义域

（1）方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的的取值范围，实际操作时要注意：① 分母不能为0；② 对数的真数必须为正；③ 偶次根式中被开方数应为非负数；④ 零指数幂中，底数不等于0；⑤ 负分数指数幂中，底数应大于0；⑥ 若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦ 如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。

例1.函数的定义域为（            ）

A．                         B．

C．              D．

例2、函数的定义域是（  ）

  A.  B.   C.   D.

题型2：求复合函数和抽象函数的定义域

例1．已知的定义域是，求函数的定义域

例2．已知的定义域是（-2，0），求的定义域

例3、已知函数的定义域为[-2，3]，则的定义域是_________

考点5：求函数的值域

1． 求值域的几种常用方法

（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，

例1、

例2、  （1）  （2）  （3） 

（2）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数的值域

例3、          例4、    

（3）换元法：通过等价转化换成常见函数模型，例如二次函数

例5、      例6、     

（4）分段函数分别求函数值域，

例7、

例8、函数的值域是（    ）

A．   B．    C．    D． 

（5）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。 如求函数的值域

例9、  

例10、设函数的定义域为，值域为，那么                （       ）

          

 ，

， 

（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域

（9）对勾函数法 像y=x+，（m>0）的函数，m<0就是单调函数了

三种模型：（1）如，求（1）单调区间（2）x的范围[3,5]，求值域

（3）x  [-1,0 )(0,4],求值域  

         （2）如 ，求（1）[3,7]上的值域  （2）单调递增区间（x0或x4）