高中数学必修1知识点总结

第一章  集合与函数概念

【1.1.1】集合的含义与表示

  （1）集合的概念

   集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.

（2）常用数集及其记法

表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集.

（3）集合与元素间的关系

对象与集合的关系是，或者，两者必居其一.

（4）集合的表示法

     ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.

②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.

③描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素.

④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.

（5）集合的分类

①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().

【1.1.2】集合间的基本关系

（6）子集、真子集、集合相等

（7）已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集.

【1.1.3】集合的基本运算

（8）交集、并集、补集

【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法

（1）含绝对值的不等式的解法

（2）一元二次不等式的解法

〖1.2〗函数及其表示

【1.2.1】函数的概念

（1）函数的概念

①设、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的对应法则）叫做集合到的一个函数，记作．

②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．

③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．

（2）区间的概念及表示法

①设是两个实数，且，满足的实数的集合叫做闭区间，记做；满足的实数的集合叫做开区间，记做；满足，或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别记做，；满足的实数的集合分别记做．

注意：对于集合与区间，前者可以大于或等于，而后者必须

．

（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：

①是整式时，定义域是全体实数．

②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．

③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．

④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．

⑤中，．

⑥零（负）指数幂的底数不能为零．

⑦若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．

⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知的定义域为，其复合函数的定义域应由不等式解出．

⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．

⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．

（4）求函数的值域或最值

求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：

     ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．

②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．

③判别式法：若函数可以化成一个系数含有的关于的二次方程，则在时，由于为实数，故必须有，从而确定函数的值域或最值．

④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．

⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．

⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．

⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．

⑧函数的单调性法．

【1.2.2】函数的表示法

（5）函数的表示方法

表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．

     解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．

（6）映射的概念

①设、是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个元素，在集合中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的对应法则）叫做集合到的映射，记作．

②给定一个集合到集合的映射，且．如果元素和元素对应，那么我们把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象．

〖1.3〗函数的基本性质

【1.3.1】单调性与最大（小）值

（1）函数的单调性

①定义及判定方法

②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．

③对于复合函数，令，若为增，为增，则为增；若为减，为减，则为增；若为增，为减，则为减；若为减，为增，则为减．

（2）打“√”函数的图象与性质

分别在、上为增函数，分别在、上为减函数．

（3）最大（小）值定义

     ①一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；

      （2）存在，使得．那么，我们称是函数       的最大值，记作．

②一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得．那么，我们称是函数的最小值，记作．

【1.3.2】奇偶性

（4）函数的奇偶性

①定义及判定方法

②若函数为奇函数，且在处有定义，则．

③奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反．

④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．

〖补充知识〗函数的图象

（1）作图

利用描点法作图：

①确定函数的定义域；                        ②化解函数解析式；

③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；         ④画出函数的图象．

利用基本函数图象的变换作图：

要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．

①平移变换

②伸缩变换

 

③对称变换

             

           

（2）识图

对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．

（3）用图

     函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．

第二篇：高中数学 第一章集合与函数概念精练检测题 新人教A版必修1

第一章  集合与函数概念

一、选择题

1．设全集U＝{(x，y)| x∈R，y∈R}，集合M＝，

P＝{(x，y)| y≠x＋1}，那么C_U(M∪P)等于(     )．

A．                                                            B．{(2，3)}

C．(2，3)                                                      D．{(x，y)| y＝x＋1}

2．若A＝{a，b}，B A，则集合B中元素的个数是(     )．

A．0                           B．1                            C．2                            D．0或1或2

3．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的公共点数目是(     )．

A．1                           B．0                            C．0或1                     D．1或2

4．设函数f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)的表达式是(     )．

A．2x＋1                     B．2x－1                     C．2x－3                    D．2x＋7

5. 已知函数f(x)＝ax³＋bx²＋cx＋d的图象如图所示，则(     )．

A．b∈(－∞，0)        B．b∈(0，1)

C． b∈(1，2)              D． b∈(2，＋∞)

6．设函数 f( x)＝ ， 若 f(－4)＝ f(0)， f(－2)＝－2，则关于 x的方程 f( x)＝ x的解的个数为(     )．

A．1                           B．2                            C．3                            D．4

7．设集合A＝{x | 0≤x≤6}，B＝{y | 0≤y≤2}，下列从A到B的对应法则f不是映射的是(     )．

A．f:x→y＝x           B．f:x→y＝x            C．f:x→y＝x           D．f:x→y＝x

8．有下面四个命题：

①偶函数的图象一定与y轴相交；

②奇函数的图象一定通过原点；

③偶函数的图象关于y轴对称；

④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)．

其中正确命题的个数是(     )．

A．1                           B．2                            C．3                            D．4

9．函数y＝x²－6x＋10在区间(2，4)上是(     )．

A．递减函数                                                  B．递增函数

C．先递减再递增                                           D．先递增再递减

10．二次函数y＝x²＋bx＋c的图象的对称轴是x＝2，则有(     )．

A．f(1)＜f(2)＜f(4)                                      B．f(2)＜f(1)＜f(4)

C．f(2)＜f(4)＜f(1)                                       D．f(4)＜f(2)＜f(1)

二、填空题

11．集合{3，x，x²－2x}中，x应满足的条件是             ．

12．若集合A＝{x | x²＋(a－1)x＋b＝0}中，仅有一个元素a，则a＝___，b＝___．

13．建造一个容积为8 m³，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为                元．

14．已知f(x＋1)＝x²－2x，则f(x)＝       ；f(x－2)＝      ．

15．y＝(2a－1)x＋5是减函数，求a的取值范围            ．

16．设f(x)是R上的奇函数，且当x∈［0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋x³)，那么当x∈
(－∞，0］时，f(x)＝             ．

三、解答题

17．已知集合A＝{x∈R| ax²－3x＋2＝0}，其中a为常数，且a∈R．

①若A是空集，求a的范围；

②若A中只有一个元素，求a的值；

③若A中至多只有一个元素，求a的范围．

18．已知M＝{2，a，b}，N＝{2a，2，b²}，且M＝N，求a，b的值．

19．证明f(x)＝x³在R上是增函数．

20．判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝3x⁴＋；                                              (2)f(x)＝(x－1)；

(3)f(x)＝＋；                             (4)f(x)＝＋．

第一章  集合与函数概念

参考答案

一、选择题

1．B

解析：集合M是由直线y＝x＋1上除去点(2，3)之后，其余点组成的集合．集合P是坐标平面上不在直线y＝x＋1上的点组成的集合，那么MP就是坐标平面上不含点(2，3)的所有点组成的集合．因此C_U(MP)就是点(2，3)的集合．

C_U(MP)＝{(2，3)}．故选B．

2．D

解析：∵A的子集有，{a}，{b}，{a，b}．∴集合B可能是，{a}，{b}，{a，b}中的某一个，∴选D．

3．C

解析：由函数的定义知，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1是有可能没有交点的，如果有交点，那么对于x＝1仅有一个函数值．

4．B

解析：∵g(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1，∴g(x)＝2x－1．

5．A

解析：要善于从函数的图象中分析出函数的特点．

解法1：设 f( x)＝ ax( x－1)( x－2)＝ ax ³－3 ax ²＋2 ax，比较系数得 b＝－3 a， c＝2 a， d＝0．由 f( x)的图象可以知道 f(3)＞0，所以

f(3)＝3a(3－1)(3－2)＝6a＞0，即a＞0，所以b＜0．所以正确答案为A．

解法2：分别将x＝0，x＝1，x＝2代入f(x)＝ax³＋bx²＋cx＋d中，求得d＝0，a＝

－b，c＝－b. ∴f(x)＝b(－x³＋x²－x)＝－［(x－)²－］．

由函数图象可知，当x∈(－∞，0)时，f(x)＜0，又［(x－)²－］＞0，∴b＜0．

x∈(0，1)时，f(x)＞0，又［(x－)²－］＞0，∴b＜0．

x∈(1，2)时，f(x)＜0，又［(x－)²－］＜0，∴b＜0．

x∈(2，＋∞)时，f(x)＞0，又［(x－)²－］＞0，∴b＜0．

故b∈(－∞，0)．

6．C

解：由f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，

得，∴ ．

∴ f( x)=  

由             得 x＝－1或 x＝－2；由        得 x＝2．

综上，方程f(x)＝x的解的个数是3个．

7．A

解：在集合A中取元素6，在f：x→y＝x作用下应得象3，但3不在集合B＝

｛y｜0≤y≤2｝中，所以答案选A．

8．A

提示：①不对；②不对，因为偶函数或奇函数的定义域可能不包含0；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数还可以为f(x)＝0，x∈(－a，a)．所以答案选A．

9．C

解析：本题可以作出函数y＝x²－6x＋10的图象，根据图象可知函数在(2，4)上是先递减再递增．答案选C．

10．B

解析：∵对称轴 x＝2，∴f(1)＝f(3). ∵y在〔2，＋∞〕上单调递增，

∴f(4)＞f(3)＞f(2)，于是 f(2)＜f(1)＜f(4)． ∴答案选B．

二、填空题

11．x≠3且x≠0且x≠－1．

解析：根据构成集合的元素的互异性， x满足

解得x≠3且x≠0且x≠－1．

12．a＝，b＝．

解析：由题意知，方程x²＋(a－1)x＋b＝0的两根相等且x＝a，则△＝(a－1)²－4b＝0①，将x＝a代入原方程得a²＋(a－1)a＋b＝0  ②，由①②解得a＝，b＝．

13．1 760元．

解析：设水池底面的长为x m，水池的总造价为y元，由已知得水池底面面积为4 m²_.，水池底面的宽为 m．

池底的造价 y₁＝120×4＝480．

池壁的造价 y₂＝(2×2x＋2×2×)×80＝(4x＋)×80．

水池的总造价为  y＝y₁＋y₂＝480＋(4x＋)×80，

即   y＝480＋320(x＋)

＝480＋320．

当 ＝， 即x＝2时，y有最小值为 480＋320×4=1 760元．

14．f(x)＝x²－4x＋3，f(x－2)＝x²－8x＋15．

解析：令x＋1＝t，则x＝t－1，因此f(t)＝(t－1)²－2(t－1)＝t²－4t＋3，即f(x)＝x²－4x＋3．∴f(x－2)＝(x－2)²－4(x－2)＋3＝x²－8x＋15．

15．(－∞，)．

解析：由y =(2a－1)x＋5是减函数，知2a－1＜0，a＜．

16．x(1－x³)．

解析：任取x∈(－∞，0］， 有－x∈［0，＋∞)，

∴f(－x)＝－x［1＋(－x)³］＝－x(1－x³)，

∵f(x)是奇函数，∴ f(－x)＝－f(x). ∴ f(x)＝－f(－x)＝x(1－x³)，

即当x∈(－∞，0］时，f(x)的表达式为x(1－x³)．

三、解答题

17．解：①∵A是空集，

∴方程ax²－3x＋2＝0无实数根．

∴     解得 a＞ ．

②∵A中只有一个元素，

∴方程ax²－3x＋2＝0只有一个实数根．

当a＝0时，方程化为－3x＋2＝0，只有一个实数根x＝；

当a≠0时，令Δ＝9－8a＝0，得a＝，这时一元二次方程ax²－3x＋2＝0有两个相等的实数根，即A中只有一个元素．

由以上可知a＝0，或a＝时，A中只有一个元素．

③若A中至多只有一个元素，则包括两种情形：A中有且仅有一个元素；A是空集．由①②的结果可得a＝0，或a≥．

18．解：根据集合中元素的互异性，有

 

解得         或         或

 

再根据集合中元素的互异性，得        或

19．证明：设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，则

f(x₁)－f(x₂)＝－＝(x₁－x₂)(＋x₁x₂＋)．

又＋x₁x₂＋＝(x₁＋x₂)²＋．

由x₁＜x₂得x₁－x₂＜0，且x₁＋x₂与x₂不会同时为0，

否则x₁＝x₂＝0与x₁＜x₂矛盾，

所以  ＋x₁x₂＋＞0．

因此f(x₁)－ f(x₂)＜0，即f(x₁)＜f(x₂)，

f(x)＝x³ 在 R上是增函数．

20．解：(1)∵ 函数定义域为{x | x∈R，且x≠0}，

  f(－ x)＝3(－ x) ⁴＋ ＝3 x ⁴＋ ＝ f( x)，∴ f( x)＝3 x ⁴＋ 是偶函数．

(2)由≥0    解得－1≤x＜1．

∴ 函数定义域为x∈［－1，1)，不关于原点对称，∴f(x)＝(x－1)为非奇非偶函数．

(3)f(x)＝＋定义域为x＝1，

∴ 函数为f(x)＝0(x＝1)，定义域不关于原点对称，

∴f(x)＝＋为非奇非偶函数．

(4)f(x)＝＋定义域为  Þ x∈{±1}，

∴函数变形为f(x)＝0 (x＝±1)，∴f(x)=＋既是奇函数又是偶函数．