第24章《圆》知识点归纳

                

二．与圆有关的角及相关性质定理

6．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的         所对的     相等，所对的      相等，所对的弦的            相等．

    推论：在同圆或等圆中，如果两个         、两条         、两条         或两条弦的         中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．

8．垂径定理及其推论

．垂径定理：垂直于                     这条弦，并且                     两条弧．

 推论1．知二推三：⑴                  ；⑵                  ；⑶                  ；⑷                  ；⑸                  ．

 以上五个条件知二推三．注意：在由⑴⑶推⑵⑷⑸时，要注意平分的弦非直径．

三．与圆有关的几种位置关系

（一）．点与圆的位置关系

1.点与圆的三种位置关系⑴点在圆外；⑵点在圆上；⑶点在圆内.

相关题目：．平面内有一点到圆上的最大距离是6，最小距离是2，求该圆的半径

（二）．直线和圆的位置关系的定义、性质及判定

   设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表：

 

 从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：

（三）．切线的性质及判定

 1. 切线的性质 定理：圆的切线垂直于                的半径．

     推论1：经过                             必经过切点．

     推论2：经过                             必经过圆心．

2. 切线的判定 定义法：和圆                           是圆的切线；距离法：和                       是圆的切线； 定理：经过                                 是圆的切线．

3. 切线长和切线长定理：

 ⑴ 在经过圆外一点的圆的切线上，                                 ，叫做这点到圆的切线长．

 ⑵ 从圆外一点引圆的两条切线，                              ，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．

（四）．圆和圆的位置关系的定义、性质及判定

  设的半径分别为（其中），两圆圆心距为，则两圆位置关系如下表：

五、圆中计算的相关公式

设的半径为，圆心角所对弧长为，

1. 弧长公式：                   2. 扇形面积公式：                                  

2. 3. 圆柱体表面积公式：                                  

4. 圆锥体表面积公式：                                  

第二篇：圆知识点归纳(北师大版本)

《圆》知识要点归纳总结

一．圆及有关概念：

圆——到定点的距离等于定长的点的集合

圆的内部——可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

圆的外部——可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

等圆——圆心不相同，半径相等的圆；同心圆——圆心相同，半径不等的圆。 弧——圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。按与半圆的大小关系可分为：优弧和劣弧 等弧——在同圆或等圆中，能够重合的两条弧

弦——连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。

弦心距——圆心到直线的距离

弓形——弧与所对的弦所组成得图形。

圆的内部——到圆心的距离小于半径的点的集合叫做圆的内部

圆的外部——到圆心的距离大于半径的点的集合叫做圆的外部

二．与圆有关的角：

圆心角：顶点在圆心的角

圆周角 ：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

[补充] 弦切角、圆内角、圆外角及性质：

顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

顶点在圆外的角(两边与圆相交)的度数等于其所截两弧度数差的一半.

顶点在圆内的角(两边与圆相交)的度数等于其及其对顶角所截弧度数和的一半.

三．圆的轴对称性：

圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；是中心对称图形，对称中心是圆心；其特有旋转不

变性。

垂径定理——垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧

垂径定理的推论

①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

④在同圆或等圆中,两条平行弦所夹的弧相等

依据垂径定理及其推论①②③可概括为5.2.3定理：对于一条直线和一个圆来说，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么也具备其他三个：①垂直弦②过圆心③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧

圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系定理——在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦

相等，所对的弦的弦心距相等

推论（4.1.3定理）——在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量

相等，那么它们所对应的其余各组量都相等

四．圆周角与圆心角的关系：

定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径

推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

五．确定圆的条件：

定理——不在同一直线上的三点确定一个圆。

相关概念及性质——

三角形的外接圆 圆的内接三角形 三角形的外心

三角形的外心的性质：三角形的外心到各个顶点的距离相等。

[补充]定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

六．直线和圆的位置关系：

①直线和圆相交 ②直线和圆相切 ③直线和圆相离

直线和圆位置关系的判定：

①依据定义 ②依据圆心到直线距离d与圆的半径r的数量关系

圆的切线的判定：

① 定义②依据d=r

③定理：经过直径的一端（或半径的外端）并且垂直于这条直径（或半径）的直线是圆的切线

圆的切线证明的两种情况：①连半径，证垂直；②作垂直，证半径。

切线的性质定理及推论——

定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径

推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 . 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 依据性质定理及两个推论的条件和结论间的关系，总结出如下结论（3.2.1定理）： 如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个．

(1)垂直于切线； (2)过切点； (3)过圆心．

相关概念及性质：三角形的内切圆 圆的外切三角形 三角形的内心

三角形的内心的性质：三角形的内心到三角形各边距离相等

[补充]（只做了解）

1.圆的外切四边形两组对边和相等

2.切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

3.弦切角定理： 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

4.相交弦定理： 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等

5.切割线定理： 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项

推论： 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条 割线与圆的交点的两条线段长的积相等

七．圆和圆的位置关系：

①两圆外离 d＞R+r ②两圆外切 d=R+r ③两圆相交 R-r＜d＜R+r(R＞r) ④两圆内切 d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含 0≤＜d＜R-r(R＞r)

两圆相交的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

两圆相切的性质：两圆相切，那么切点一定在连心线上

八．弧长与扇形的面积： n?rn?r2lr弧长l? S扇形= = S弓形=S扇形±S△ 1802360

九．圆锥的侧面积：

圆锥的基本特征：①圆锥的轴通过底面圆的圆心，并且垂直于底面

②圆锥的所有母线长相等

③平行于圆锥的底面的平面截圆锥，截的的平面是圆面

④经过圆锥的轴的平面截圆锥截的得图形是等腰三角形，这一截面称轴截面。

设圆锥底面半径r，母线长l

因为圆锥侧面展开图为扇形， 弧长L为底面周长

n?R2

所以圆锥侧面积公式S圆锥侧面积==?rl 360

十：圆有关问题辅助线的常见作法

半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。

要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。

弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。

弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。

还要作个内切圆，内角平分线梦圆。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。

内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。