九年级数学下册第三章《圆》
一、车轮为什么做成圆形
知识点1 圆的定义
圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形，其中，定点成为圆心，定长称为半径。圆的表示：以O为圆心的圆，记作⊙O。
方法点拨：确定一个圆，只需两个条件：位置及大小，即只需确定圆心和半径。
知识点2 点与圆的位置关系
1、点在圆内 ? d?r ? 点C在圆内；
2、点在圆上 ? d?r ? 点B在圆上；
3、点在圆外 ? d?r ? 点A在圆外；
方法点拨：要确定一个点和圆的位置关系，只需计算该点与圆心的距离，再与半径的大
小作比较即可。
例 如图，在Rt△ABC中，直角边AB?3，BC?4，点E，F分别是BC，AC的
中点，以点A为圆心，AB的长为半径画圆，则点E在圆A的_________，点F在圆A的
_________．
二、圆的对称性
知识点 1圆的对称性
圆是轴对称性图形，其中对称轴是任意一条过圆心的直线；
圆是中心对称图形，其对称中心为圆心；
圆具有旋转不变性，一个圆围绕它的圆心旋转任意角度，都能与原来的图形重合。
方法点拨：圆有无数条对称轴，圆的对称轴是过圆心的每一条直线而不是圆的直径。
知识点 2与圆有关的概念
弦：连接圆上任意两点的线段；直径：经过圆心的弦；弧：圆上任意两点间的部分；同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆；等圆：圆心不同，直经相等的两个圆；等弧：在同圆或等圆中，能够重合的弧；圆心角：顶点在圆心的角
方法点拨：等弧的概念，一定要在同圆或等圆中，而不是弧长相等就行了。
知识点 3垂径定理及逆定理
垂径定理：垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直与弦，并且平分弦所对的弧。
“知一得三”：知道一条直径垂直弦则必平分弦，并且平分弦所对的优、劣弧；知道一条直径平分一条非直径的弦，则该直径垂直弦并且平分弦所对的优、劣弧；知道一条直径平分一条弦所对的优（或劣）弧，则这条直径垂直平分这条弦，并且平分弦所对的劣（或优）弧。
方法点拨：垂径定理涉及垂直关系，所以在求有关弦长，弦心距或半径时，通常是做出圆心到弦的垂线，构成直角三角形求解。
例 P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；?最长弦长为_______． 知识点 4圆心角、弧、弦、弦心距之间的定理及推论
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。
三、圆心角和圆周角的关系
知识点 1圆周角的定义
顶点在圆上，两边分别与圆还有另外两个交点的角，叫做圆周角。
方法点拨：判断圆周角时两个特征：（1）角的顶点在圆上；（2）角的两边必须与圆相交；两者缺一不可。 知识点 2圆周角定理
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
方法点拨：在计算圆心角与圆周角时，巧用圆周角定理可以帮助我们实现二者的转化，运用定理的前提是“同一条弧”。
知识点 3圆周角定理的推论
推论一：同弧或等弧所对的圆周角相等:
推论二：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
方法点拨：当题目中有直径时，常利用直径所对的圆周角是直角，构造直角三角形求解。
例1 如图，在半径为5cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为3cm，
则弦AB的长是（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
例2、如图，A、B、C、D是⊙O上的三点，∠BAC=30°，
则∠BOC的大小是( )
A、60° B、45° C、30° D、15°
例3、MN是⊙O的直径，弦AB、CD?相交于MN?上的一点P，
∠APM=∠CPM．由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由． _N
四、确定圆的条件
知识点 1确定圆的条件
要确定一个圆，需要确定圆的圆心和半径。经过一点可以确定无数个圆；经过平面上两点可以确定无数个圆；不在同一条直线上的三点确定一个圆。
方法点拨：在确定圆心和半径时，常用到线段的垂直平分线定理及其逆定理。
知识点 2三角形的外接圆和外心
外接圆：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，而这个三角形称为这个圆的内接三角形。
注意：（1）三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等；（2）锐角三角形三边的中垂线的交点在三角形的内部，故锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形三边的中垂线的交点就是斜边的中点，故直角三角形的外心就是斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部。（p119随堂练习）
方法点拨：在求外接圆半径时，常与垂径定理，勾股定理联合使用。
五、直线和圆的位置关系
知识点 1直线与圆的位置关系
直线和圆的位置关系有三种
1、当直线和圆相交时，d＜r；反过来，当d＜r时，直线和圆相交。
2、当直线和圆相切时，d＝r；反过来，当d＝r时，直线和圆相切。
3、当直线和圆相离时，d＞r；反过来，当d＞r时，直线和圆相离。
直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线；
直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做圆的切线；
直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
知识点 2切线的性质定理和判断定理
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的直径。
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必过切点。
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必过圆心。
注意：过圆上一点有且仅有一条切线。
切线的判定定理：经过直径的一端，并且垂直于这条直经的直线是圆的切线。
说明：圆的切线必须具备两个条件：①经过直径的一段；②垂直于这条直径。
方法点拨：在证明切线时，常过圆心作直线的垂线；或连接圆心和直线与圆的交点，证明垂直等，作辅助线时，表述要清楚。
知识点 3三角形的内切圆和内心
内切圆：和三角形的三边都相切的圆叫三角形的内切圆，这个三角形叫圆的外切三角形。
三角形的内心：三角形内切圆的圆心，即三角形三条角平分线的交点。
注意：（1）三角形的内心到三角形三边的距离相等；（2）过圆外一点可以作圆的两条切线，且圆外一点到两切点的距离相等。
方法点拨：三角形内切圆将三角形的三边分得3对相等的线段，由于内心又是三条角平分线的交点，从而可以利用角平分线的性质解题。
例1、 在
切？相交？相离？
例2．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=?∠A．
（1）CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．
（2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半径．
A
六、圆和圆的位置关系
知识点 1圆与圆的位置关系
两圆的位置关系分为五种：外离、外切、相交、内切、内含。
外离（图1）? 无交点 ? d?R?r；
外切（图2）? 有一个交点 ? d?R?r；
相交（图3）? 有两个交点 ? R?r?d?R?r；
内切（图4）? 有一个交点 ? d?R?r；
内含（图5）? 无交点 ? d
?R?r； 中，BC=6cm，∠B=30°，∠C=45°，以A为圆心，当半径r多长时所作的⊙A与直线BC相
知识点 2两圆相切的位置
如果两圆相切（内切或外切），那么两圆的连心线（经过两圆圆心的直线）必经过切点，即两圆圆心、切点三点共线。
方法点拨：由于相切两圆的连心线经过切点，所以涉及两圆切点的问题时，作连心线是一种常用的添加辅助线的方法。
知识点 3相交两圆的性质
相交两圆的连心线垂直平分公共弦。
方法点拨：当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦，这样就产生了直角三角形，我们可以根据直角三角形的知识进行求解。
例1．两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图所示（点O，O′是圆心）
，分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小．
（1） (2)
例2．如图所示，⊙O的半径为7cm，点A为⊙O外一点，OA=15cm，
求：（1）作⊙A与⊙O外切，并求⊙A的半径是多少？
(2）作⊙A与⊙O相内切，并求出此时⊙A的半径．
七、弧长及扇形的面积
知识点 1弧长公式 一个半径为R的圆，其圆周长为2πR，把整个圆整分成360个扇形，其中每个扇形的圆心角为1°，因此1°的圆心角所对的弧长是整个圆周的1/360,即12?R,故在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长计算公式为360
l?n?R 180
知识点 2扇形面积公式
S扇形?nn?R1?R2，弧长公式l?,所以S扇形?lR，这个公式类似于三角形的面积公式，R相当于三3601802
角形的高，l相当于三角形的底。
八、圆锥的侧面积
圆锥侧面展开图（1）S表?S侧?S底=?Rr??r2；（2）圆锥的体积：V?1?r3
例1．已知扇形的圆心角为120°，面积为300?cm2．
（1）求扇形的弧长；
（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？
例2．操作与证明：如图所示，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O处，并将纸板绕O点旋转，求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．
第二篇：九年级上册数学《圆》点、线和圆的位置关系 知识点整理
点、线和圆的位置关系
有疑问的题目请发在“51加速度学习网”上，让我们来为你解答
51加速度学习网 整理
一、本节学习指导
和圆相关的概念比较多，一下全都记住是比较困难的，我们可以采取一些方法，我们可以归类似、联想记忆，当然最好是能先理解再记忆。本节有配套学习视频。
二、知识要点
1、点和圆的位置关系
设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：
d＜r ＜====＞ 点P在⊙O内；
d＝r ＜====＞ 点P在⊙O上；
d＞r ＜====＞ 点P在⊙O外。
注：点和圆的位置关系只有：在圆上如图点P2，在圆内如图点P1，在圆外P3三种。
2、直线与圆的位置关系
直线和圆有三种位置关系，具体如下：
（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；
（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，
（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：
直线l与⊙O相交 ＜====＞ d<r；
直线l与⊙O相切 ＜====＞ d=r；
直线l与⊙O相离 ＜====＞ d>r；
加速度学习网 我的学习也要加速
3、切线的判定和性质
（1）、切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（2）、切线的性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径。如右图中，OD垂直于切线。
4、切线长定理
（1）、切线长
在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的
长叫做这点到圆的切线长。
（2）、切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和
这一点的连线平分两条切线的夹角。
如右图中：圆外一点P与圆O相切与D，E两点，所以有PD=PE，可以通过连接OP来证明。
5、过三点的圆
（1）、过三点的圆
不在同一直线上的三个点确定一个圆。
（2）、三角形的外接圆
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。如图圆
O是△ABC的外接圆
（3）、三角形的外心
三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的
交点，它叫做这个三角形的外心。
（4）、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）
圆内接四边形对角互补。
(5)、三角形的内切圆
与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。如图圆O是△A＇B＇C＇的内切圆。三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。
加速度学习网 我的学习也要加速
7、反证法
先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。
比如证明三角形的内角和等于180°，证明时我们可以先，假设三角形内角和不等于180°，然后通过平移、翻折，我们得到三角个角拼起来等于一平角，平角就是180°，所以与我们假设的相反，于是假设不成立，于是三角形的内角和等于180°。
三、经验之谈：
本节中对于切线长定理我们要理解，到后面的证明题型中很多都会用到。本节中我们要多做练习题。
反证法在数学中也是一种非常重要的方法，有些证明题无法通过正常途径证明的，反证法是很好的选择，反证法在高中用得比较多。反证法运用的就是逆向思维，在数学中逆向思维很重要，很多定律的逆运算也就是逆向思维的运用。
有疑问的题目请发在“51加速度学习网”上，让我们来为你解答
51加速度学习网 整理
加速度学习网 我的学习也要加速