圆知识点归纳

一、圆的定义。

1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。

2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。

二、圆的各元素。

1、半径：圆上一点与圆心的连线段。

2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。

3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。

4、弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。

（1）劣弧：小于半圆周的弧。

（2）优弧：大于半圆周的弧。

5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。

6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。

7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。

三、圆的基本性质。

1、圆的对称性。

（1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。

（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。

（3）圆是旋转对称图形。

2、垂径定理。

（1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。

（2）推论：

Ø  平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。

Ø  平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。

3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。

（1）同弧所对的圆周角相等。

（2）直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。

4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。

5、夹在平行线间的两条弧相等。

6、设⊙O的半径为r，OP=d。

 

7、（1）过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。

  （2）不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。

      （直角三角形的外心就是斜边的中点。）

8、直线与圆的位置关系。d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径。

  直线与圆有两个交点，直线与圆相交；直线与圆只有一个交点，直线与圆相切；

  直线与圆没有交点，直线与圆相离。

2

9、平面直角坐标系中，A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）。

   则AB=

10、圆的切线判定。

（1）d=r时，直线是圆的切线。

    切点不明确：画垂直，证半径。

（2）经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线。

    切点明确：连半径，证垂直。

11、圆的切线的性质（补充）。

（1）经过切点的直径一定垂直于切线。

（2）经过切点并且垂直于这条切线的直线一定经过圆心。

12、切线长定理。

（1）切线长：从圆外一点引圆的两条切线，切点与这点之间连线段的长叫这个点到圆的切线长。

（2）切线长定理。

∵ PA、PB切⊙O于点 A、B

∴ PA=PB，∠1=∠2。

13、内切圆及有关计算。

（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。

（2）如图，△ABC中，AB=5，BC=6，AC=7，⊙O切△ABC三边于点D、E、F。

     求：AD、BE、CF的长。

    分析：设AD=x，则AD=AF=x，BD=BE=5－x，CE=CF=7－x.

          可得方程：5－x＋7－x=6，解得x=3

（3）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c。

    求内切圆的半径r。

分析：先证得正方形ODCE，

得CD=CE=r

          AD=AF=b－r，BE=BF=a－r

          b－r＋a－r=c

          得r=

（4）S_△ABC=

14、（补充）

（1）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。

     如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。

（2）相交弦定理。

     圆的两条弦AB与CD相交于点P，则PA·PB=PC·PD。

（3）切割线定理。

如图，PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的割线，则PA²=PB·PC。

（4）推论：如图，PAB、PCD是⊙O的割线，则PA·PB=PC·PD。

 

15、圆与圆的位置关系。

（1）外离：d>r₁＋r₂，     交点有0个； 

     外切：d=r₁＋r₂，     交点有1个；

     相交：r₁－r₂<d<r₁＋r₂，交点有2个；

     内切：d=r₁－r₂，     交点有1个；

     内含：0≤d<r ₁－r ₂，   交点有0个。

 （2）性质。

      相交两圆的连心线垂直平分公共弦。

      相切两圆的连心线必经过切点。

16、圆中有关量的计算。

（1）弧长有L表示，圆心角用n表示，圆的半径用R表示。

     L=

（2）扇形的面积用S表示。

    S=      S=

（3）圆锥的侧面展开图是扇形。

     r为底面圆的半径，a为母线长。

²  扇形的圆心角α=

²  S_侧=ar       S_全=ar＋r²

第二篇：九年级数学圆知识点及练习

第一部分：基础复习

九年级数学(下)

第三章：圆

一、中考要求：

1．经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力．

2．认识圆的轴对称性和中心对称性．

3．探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、弦之间相等关系定理，探索并理解圆周角和圆心角关系定理．

4．探索并了解点与圆，直线与圆以及圆与圆的位置关系．

5．了解切线概念，探索切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线．

6．进一步认识和理解研究图形性质的各种方法．

二、中考卷研究

(一)中考对知识点的考查：

2004、20xx年部分省市课标中考涉及的知识点如下表:

(二)中考热点：

运用圆的有关性质及计算公式进行简单的几何证明和几何计算是热点题型。

三、中考命题趋势及复习对策

根据新课标要求，有关圆的证明题的难度有所降低，这部分的题型主要以填空题、选择题、计算题为主，题目较简单，在中考试卷中，所占的分值为 6％左右，故在复习时应抓住基础知识进行复习，并且注意将圆的有关知识与其他各讲的知识进行联系，切忌太难的几何证明题．

考点1：圆的有关概念和性质

一、考点讲解：

1．圆的圆的有关概念：

（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中，定点为圆心，定长为半径．

（2）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．

（3）圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角．

（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．

（5）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．

2．圆的有关性质：

（1）圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．

（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．

（3）弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，

那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对

的弦是直径．

3．三角形的内心和外心

（1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．

（2）三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是

三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．

（3）三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角

平分线的交点，叫做三角形的内心

二、经典考题剖析：

15.如图，⊙O是ABC的外接圆，

高，且AD，CE

交于点H，求证：AH=AO

?BAC?60?，AD，CE分别是BC，AB上的

类题

1(1)如图，在⊙O中，弦ACBD，OEAB，垂足为E，求证：OE=CD

2

122(2)如图，AC，BD是⊙O的两条弦，且ACBD，⊙OAB＋CD的值。

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