第一章    函数与极限

第一节  映射与函数

一、            集合

1、集合概念

（1）    通常用大写拉丁字母A、B、C……表示集合（简称集），用小写拉丁字母a、b、c……表示元素（简称元）。

（2）    含有有限个元素的集合为有限集，不是有限集的集合成为无限集。

（3）    表示集合的方法通常有列举法和描述法。

（4）    习惯上，全体非负整数即自然数的集合记作N，全体正整数的集合为N，全体整数的集合记作Z，全体有理数的集合记作Q，全体实数的集合记作R。

（5）    设A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作AB或BA。如果AB且BA，则称集合A与集合B 相等，记作AB。

（6）    若AB且AB，则称A是B的真子集，记作AB

（7）    不含任何元素的集合成为空集。

2、集合的运算

（1）    集合的基本运算有并、交、差。

AB={x/xA或xb}

       AB={x/xA且xB}      

       A\B={x/xA且xB}

（2）    若集合I为全集或基本集，称I/A为A的余集或补集，记作A

（3）    集合的并、交、余运算满足交换律、结合律、分配律、对偶律。

3、区间和邻域

（1）    开区间、闭区间、半开区间都称为有限区间，此外还有无限区间。

（2）    以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域，记作U（a）。

（3）    点a 的邻域记作U(a，)，点a 称为这邻域的中心，称为这邻域的半径。

（4）    点a 的去心邻域记作U(a，)。

二、            映射

1、映射概念

（1）映射定义：设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中每个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作  f：XY

（2）设f是从集合X到Y上的映射，若R=Y，则称f为X到Y上的映射或满射；若对X中任意两个不同元素的像不相等，则称f为X到Y上的单射；若映射f既是单射又是满射，则称f为一一映射或双射。

2、逆映射与复合映射

   （1）只有单射才存在逆映射

   （2）若g：XY，f：YZ ，则这个映射称为映射g和f构成的复合映射，记作fg 即fg：XZ 。

三、函数

1、函数概念

   （1）设数集DR，则称映射f：DR为定义在D上的函数，通常简记为

               y=f(x)  ， xD

        其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作D，即D=D

    （2）构成函数的要素是定义域和对应法则。

    （3）函数的定义域通常按以下两种情形来确定：一种是对有实际背景的函数，另一种是对抽象地用算式表达的函数。

    （4）表示函数的主要方法有三种：表格法、图形法、解析法（公式法）。

2、函数的几种特性

 （1）函数的有界性

 （2）函数的单调性

      单调增加和单调减少的函数统称为单调函数

（3）函数的周期性

     对于函数f(x)的定义域为D，若存在正数l，使得

             f(x+l)=f(x)

     恒成立，则称f(x)为周期函数，l称为f(x)的周期。L一般指最小正周期。

（4）    函数的奇偶性  

设函数f的定义域关于原点对称，

若对于任一xD，f(-x)=f(x)恒成立，则称f(x)为偶函数；

若对于任一xD，f(-x)=-f(x)恒成立，则称f(x)为奇函数。

偶函数的图形关于y轴是对称的。

奇函数的图形关于原点是对称的。

3、反函数与复合函数

   （1）对于函数f 来说，y=f(x)为其反函数，f(x)称为直接函数。直接函数与反函数的图形关于直线y=x是对称的。

   （2）设函数y=f(u)的定义域为D，函数u=g(x)的定义域为D，且其值域RD，则由下式确定的函数

                    Y=f【g(x)】 ，xD

        称为由函数u=g(x)和函数y=f(u)构成的复合函数，变量u极为中间变量。

4、函数的运算（和差商积）

5、初等函数

（1）    幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数这五类函数统称为基本初等函数。

（2）    有常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。

第二节        数列的极限

一、            数列极限的定义

二、            收敛数列的性质

定理一（极限的唯一性）如果数列{x}收敛，那么它的极限唯一。

定理二（收敛数列的有界性）如果数列{x}收敛，那么数列{x}一定有界。

定理三（收敛数列的保号性）如果数列{x}存在极限且极限大于零（或小于零），那么存在正整数N0，当n  N 时，都有x0（或x0）

定理四（收敛数列与其子数列间的关系）如果数列{x}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a 

第三节        函数的极限

一、            函数极限的定义

1、自变量趋于有限值时函数的极限

2、自变量趋于无穷大时函数的极限

二、            函数极限的性质

定理一（函数极限的唯一性）如果函数存在极限，那么这极限唯一。

定理二（函数极限的局部有界性）如果函数的极限为a，那么存在常数M0和，使得当0时，有。

定理三（函数极限的局部保号性）

定理四（函数极限与数列极限的关系）

第四节        无穷小与无穷大

一、无穷小的定义

二、无穷大的定义

三、若函数f(x)为无穷大，则为无穷小；

若函数f(x)为无穷小，则为无穷大。

第五节        极限运算法则

定理1  有限个无穷小的和也是无穷小

定理2  有界函数与无穷小的乘积是无穷小

推论1  常数与无穷小的乘积是无穷小

推论2  有限个无穷小的乘积也是无穷小

定理3  关于无穷小的乘除运算

定理4  两个存在极限的数列之间的乘除运算符合一般乘除运算

定理5  复合函数的极限运算法则

第六节        极限存在准则  两个重要极限

一、        夹逼准则（准则I及准则I’）

          

          

二、        准则II  单调有界数列必有极限

三、        柯西极限存在准则（也叫柯西审敛原理）

第七节  无穷小的比较

一、        高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小

二、        定理一、定理二

第八节              函数的连续性与间断点

第九节     连续函数的运算与初等函数的连续性

一、连续函数的和、差、积、商的连续性

二、反函数与复合函数的连续性

三、初等函数的连续性

第十节            闭区间上连续函数的性质

一、有界性与最大值最小值定理

二、零点定理与介值定理

三、一致连续性

第二章         导数与微分

第一节        导数概念

一、导数的定义

单侧导数：左导数和右导数统称为单侧导数

二、导数的几何意义

三、函数可导性与连续性的关系

如果函数y=f(x)在点x处可导，则函数在该点必连续；另一方面，一个函数在某点连续却不一定在该点可导。

第二节        函数的求导法则

一、函数的和、差、积、商的求导法则

二、反函数的求导法则

三、复合函数的求导法则

四、基本求导法则与导数公式

1、常数和基本初等函数的导数公式（共十六道，详见95页）

2、函数的和、差、积、商的求导法则（共四道，详见95页）

3、反函数的求导法则

4、复合函数的求导法则

第三节        高阶导数

一般的，（n-1）阶导数的导数叫做n阶导数

第四节  隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率

一、隐函数的导数

可以用函数十字表达的函数叫做显函数

二、由参数方程所确定的函数的导数

三、相关变化率

第五节             函数的微分

一、微分的定义

二、微分的几何意义

三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则

1、基本初等函数的微分公式（详见116页）

2、函数的和、差、积、商的微分法则（详见117页）

3、复合函数的微分法则

四、微分在近似计算中的应用

1、函数的近似计算

2、误差估计

第三章         微分中值定理与导数的应用

第一节        微分中值定理

一、罗尔定理

二、拉格朗日中值定理

三、柯西中值定理

第二节        洛必达法则

第三节        泰勒公式

第四节        函数的单调性与曲线的凹凸性

一、函数单调性的判定法

二、曲线的凹凸性与拐点

第五节        函数的极值与最大值最小值

一、函数的极值及其求法

二、最大值最小值问题

第六节        函数图形的描绘

第七节        曲率

一、弧微分

二、曲率及其计算公式

三、曲率圆与曲率半径

四、曲率中心的计算公式  渐屈线与渐伸线

第八节        方程的近似解

一、二分法

二、切线法

第二篇：高数上册知识点总结

高数重点知识总结

1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数()，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c)

2、分段函数不是初等函数。

3、无穷小：高阶+低阶=低阶   例如：

4、两个重要极限：

经验公式：当，

例如：

5、可导必定连续，连续未必可导。例如：连续但不可导。

6、导数的定义：

7、复合函数求导：

   例如：

8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx

例如：

9、由参数方程所确定的函数求导：若，则，其二阶导数：

10、微分的近似计算： 例如：计算

11、函数间断点的类型：(1)第一类：可去间断点和跳跃间断点；例如：（x=0是函数可去间断点），（x=0是函数的跳跃间断点）(2)第二类：振荡间断点和无穷间断点；例如：（x=0是函数的振荡间断点），（x=0是函数的无穷间断点）

12、渐近线：

水平渐近线：

铅直渐近线：

斜渐近线：

例如：求函数的渐近线

13、驻点：令函数y=f(x)，若f'(x0)=0，称x0是驻点。

14、极值点：令函数y=f(x)，给定x0的一个小邻域u(x0,δ),对于任意x∈u(x0,δ)，都有f(x)≥f(x0)，称x0是f(x)的极小值点；否则，称x0是f(x)的极大值点。极小值点与极大值点统称极值点。

15、拐点：连续曲线弧上的上凹弧与下凹弧的分界点，称为曲线弧的拐点。

16、拐点的判定定理：令函数y=f(x)，若f"(x0)=0，且x<x0,f"(x)>0；x>x0时，f"(x)<0或x<x0,f"(x)<0；x>x0时，f"(x)>0，称点(x0，f(x0))为f(x)的拐点。

17、极值点的必要条件：令函数y=f(x)，在点x0处可导，且x0是极值点，则f'(x0)=0。

18、改变单调性的点：，不存在，间断点（换句话说，极值点可能是驻点，也可能是不可导点）

19、改变凹凸性的点：，不存在（换句话说，拐点可能是二阶导数等于零的点，也可能是二阶导数不存在的点）

20、可导函数f(x)的极值点必定是驻点，但函数的驻点不一定是极值点。

21、中值定理：

    (1)罗尔定理：在[a,b]上连续，(a,b)内可导，则至少存在一点，使得

    (2)拉格朗日中值定理：在[a,b]上连续，(a,b)内可导，则至少存在一点，使得

(3)积分中值定理：在区间[a,b]上可积，至少存在一点，使得

22、常用的等价无穷小代换：

23、对数求导法：例如，，

24、洛必达法则：适用于“”型，“”型，“”型等。当，皆存在，且，则   例如，

25、无穷大：高阶+低阶=高阶  例如，

26、不定积分的求法

(1)公式法

(2)第一类换元法（凑微分法）

(3)第二类换元法：哪里复杂换哪里，常用的换元：1)三角换元：，可令；，可令；，可令  2)当有理分式函数中分母的阶较高时，常采用倒代换

27、分部积分法：，选取u的规则“反对幂指三”，剩下的作v。分部积分出现循环形式的情况，例如：

28、有理函数的积分：

例如：

其中，前部分需要进行拆分，令

29、定积分的定义：

30、定积分的性质：

(1)当a=b时，；

(2)当a>b时，

(3)当f(x)是奇函数，

(4)当f(x)是偶函数，

(5)可加性：

31、变上限积分：

推广：

32、定积分的计算（牛顿—莱布尼茨公式）：

33、定积分的分部积分法：  例如：

34、反常积分：(1)无穷限的反常积分：

              (2)无界函数的反常积分：

35、平面图形的面积：

(1)            (2)

36、旋转体的体积：

(1)绕x轴旋转，     (2)绕y轴旋转，