数列重点题型归纳

1、已知数列是首项为，公比的等比数列，设，数列.

（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和S_n.

2、设数列的首项

（Ⅰ）求的通项公式;  （Ⅱ）设其中n为正整数.

3、已知数列中，，．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）若数列中，，，证明：，．

4、设函数．数列满足，．

（Ⅰ）证明：函数在区间是增函数；

（Ⅱ）证明：；

（Ⅲ）设，整数．证明：．

5、设数列的前n项和为.已知，，.

(Ⅰ)设，求数列的通项公式；

(Ⅱ) 若，，求a的取值范围.

6、在数列中，

（I）设，求数列的通项公式；  （II）求数列的前项和。

7、设数列的前项和为 已知

（I）设，证明数列是等比数列；      （II）求数列的通项公式。

8、已知数列和满足,且对任意N都有, .

  (1) 求数列和的通项公式;

  (2) 证明:.

数列重点题型归纳【答案】

1、解（1）由题意知， ，……………2分

又，  故 ……………4分

（2）由（1）知，  

……7分

于是

两式相减，得

           ……………14分

2、解：（Ⅰ）由 ，整理得 

又 是首项为，公比为的等比数列，得

（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）可知

那么，

     

又由（Ⅰ）知，因此   ，n为正整数.

方法二：由（Ⅰ）可知 

因为 所以 

   由即

两边开平方得 即  为正整数.

3、解：（Ⅰ）由题设：

．

所以，数列是首项为，公比为的等比数列，，

即的通项公式为，．

（Ⅱ）用数学归纳法证明．

（ⅰ）当时，因，，所以，结论成立．

（ⅱ）假设当时，结论成立，即，也即．

当时，，

又，

所以．

也就是说，当时，结论成立．

根据（ⅰ）和（ⅱ）知，．

4、解析：（Ⅰ）证明：,,当时，

故函数在区间是增函数；

（Ⅱ）证明：（数学归纳法证明）（ⅰ）当时，，

由函数在区间是增函数，且函数在处连续，则在区间是增函数，，即成立；

（ⅱ）假设当时，成立，即

那么当时，由在区间是增函数，得

.而，则，

，也就是说当时，也成立；

根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数，恒成立.

 （Ⅲ）证明：由．可得

1， 若存在某满足，则由⑵知：

2， 若对任意都有，则

，即成立.

5、解：（Ⅰ）依题意，，即，由此得．

因此，所求通项公式为 ，．①…………………………6分

（Ⅱ）由①知，，于是，当时，

，

，

当时，．

又．综上，所求的的取值范围是．…………………………12分

6、分析：（I）由已知有

  利用累差迭加即可求出数列的通项公式: ()

（II）由（I）知,=

而,又是一个典型的错位相减法模型，

易得 =

7、解：（I）由及，有

由，．．．① 　则当时，有．．．．．②

②－①得

又，是首项，公比为２的等比数列．

（II）由（I）可得，

数列是首项为，公差为的等比数列．， 

8、(本小题主要考查导数及其应用、数列、不等式等知识,  考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)

 (1)解:∵对任意N都有,,

     ∴.∴,即.         …2分

     ∴数列是首项为,公差为1的等差数列.

     ∵,  且,  ∴  ∴.      …4分

     ∴ ,  .                        …6分

(2)证明: ∵,  ,   ∴.

 ∴所证不等式,

 即.                        

① 先证右边不等式: .

令,  则.

当时, ,  所以函数在上单调递减.

∴当时,,  即.              …8分

分别取.

得.

即.

也即.即.

② 再证左边不等式: .

令,  则.

当时, , 所以函数在上单调递增.

∴当时,,  即.               …12分

分别取.

得.

即.

也即.   即.

∴.             …14分

第二篇：等比数列知识点总结及题型归纳

等比数列知识点总结及题型归纳

1、等比数列的定义：，称为公比

2、通项公式：

，首项：；公比：

推广：

3、等比中项：

（1）如果成等比数列，那么叫做与的等差中项，即：或

注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（

（2）数列是等比数列

4、等比数列的前项和公式：

（1）当时，

（2）当时，

（为常数）

5、等比数列的判定方法：

（1）用定义：对任意的，都有为等比数列

（2）等比中项：为等比数列

（3）通项公式：为等比数列

6、等比数列的证明方法：

依据定义：若或为等比数列

7、等比数列的性质：

（2）对任何，在等比数列中，有。

（3）若，则。特别的，当时，得         注：

（4）数列，为等比数列，则数列，，，，（为非零常数）均为等比数列。

（5）数列为等比数列，每隔项取出一项仍为等比数列

（6）如果是各项均为正数的等比数列，则数列是等差数列

（7）若为等比数列，则数列，，，成等比数列

（8）若为等比数列，则数列，，成等比数列

（9）①当时， 

②当时，

③当时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）；

④当时,该数列为摆动数列.

（10）在等比数列中，当项数为时，

二、 考点分析

考点一：等比数列定义的应用

1、数列满足，，则_________．

2、在数列中，若，，则该数列的通项______________．

考点二：等比中项的应用

1、已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则（     ）

A．                 B．                  C．              D．

2、若、、成等比数列，则函数的图象与轴交点的个数为（    ）

A．               B．                   C．            D．不确定

3、已知数列为等比数列，，，求的通项公式．

考点三：等比数列及其前n项和的基本运算

1、若公比为的等比数列的首项为，末项为，则这个数列的项数是（    ）

A．                 B．                  C．                 D．

2、已知等比数列中，，，则该数列的通项_________________．

3、若为等比数列，且，则公比________．

4、设，，，成等比数列，其公比为，则的值为（    ）

A．            B．                C．                D．

考点四：等比数列及其前n项和性质的应用

1、在等比数列中，如果，，那么为（    ）

A．                 B．                 C．                D．

2、如果，，，，成等比数列，那么（    ）

A．，                 B．，

C．，                   D．，

3、在等比数列中，，，则等于（    ）

A．             B．         C．            D．

4、在等比数列中，，，则等于（    ）

A．               B．               C．               D．

5、在等比数列中，和是二次方程的两个根，则的值为（   ）

A．             B．            C．          D．

6、若是等比数列，且，若，那么的值等于          

考点五：公式的应用

1．等比数列前n项和S_n=2ⁿ-1，则前n项的平方和为(    )

A.(2ⁿ-1)²              B.(2ⁿ-1)²              C.4ⁿ-1              D.(4ⁿ-1)

2. 设等比数列{a_n}的前n项和为S_n=3ⁿ+r，那么r的值为______________.

3．设数列{a_n}的前n项和为S_n且S₁=3，若对任意的n∈N^*都有S_n=2a_n-3n.

(1)求数列{a_n}的首项及递推关系式a_n+1=f(a_n);

(2)求{a_n}的通项公式;

(3)求数列{a_n}的前n项和S_n.