不定积分
一、原函数
定义1 如果对任一,都有
或
则称为在区间I 上的原函数。
例如:,即是的原函数。
,即是的原函数。
原函数存在定理:如果函数在区间I 上连续,则在区间I 上一定有原函数,即存在区间I 上的可导函数,使得对任一,有。
注1:如果有一个原函数,则就有无穷多个原函数。
设是的原函数,则,即也为的原函数,其中为任意常数。
注2:如果与都为在区间I 上的原函数,则与之差为常数,即(C为常数)
注3:如果为在区间I 上的一个原函数,则(为任意常数)可表达的任意一个原函数。
二、不定积分
定义2 在区间I上,的带有任意常数项的原函数,成为在区间I上的不定积分,记为。
如果为的一个原函数,则
,(为任意常数)
三、不定积分的几何意义
不定积分的几何意义如图5—1所示:
图 5—1
设是的一个原函数,则在平面上表示一条曲线,称它为的一条积分曲线.于是的不定积分表示一族积分曲线,它们是由的某一条积分曲线沿着轴方向作任意平行移动而产生的所有积分曲线组成的.显然,族中的每一条积分曲线在具有同一横坐标的点处有互相平行的切线,其斜率都等于.
…… …… 余下全文