不定积分解题方法总结

摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。

关键词：不定积分；总结；解题方法

不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。

1.利用基本公式。（这就不多说了~）

2.第一类换元法。（凑微分）

设f(μ)具有原函数F(μ)。则

其中可微。

用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2：

例1：

【解】

例2：

【解】

3.第二类换元法：

设是单调、可导的函数，并且具有原函数，则有换元公式

第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种：

  （7）当根号内出现单项式或多项式时一般用代去根号。

 但当根号内出现高次幂时可能保留根号，

（7）当根号内出现单项式或多项式时一般用代去根号。

 但当根号内出现高次幂时可能保留根号，

4.分部积分法.

公式：

分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。具体选取时，通常基于以下两点考虑：

（1）降低多项式部分的系数

（2）简化被积函数的类型

举两个例子吧~！

例3：

【解】观察被积函数，选取变换,则

例4：

【解】

上面的例3，降低了多项式系数；例4，简化了被积函数的类型。

有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。

在中，的选取有下面简单的规律：

将以上规律化成一个图就是：

 

但是，当时，是无法求解的。

对于（3）情况，有两个通用公式：

（分部积分法用处多多~在本册杂志的《涉及lnx的不定积分》中，常可以看到分部积分）

5 不定积分中三角函数的处理

1.分子分母上下同时加、减、乘、除某三角函数。

被积函数上下同乘变形为

 

令，则为

2.只有三角函数时尽量寻找三角函数之间的关系，注意的使用。

    三角函数之间都存在着转换关系。被积函数的形式越简单可能题目会越难，适当的使用三角函数之间的转换可以使解题的思路变得清晰。

3. 函数的降次

①形如积分（m，n为非负整数）

   当m为奇数时，可令，于是

  ，

   转化为多项式的积分

   当n为奇数时，可令，于是

  ，

   同样转化为多项式的积分。

   当m，n均为偶数时，可反复利用下列三角公式：

  

   不断降低被积函数的幂次，直至化为前两种情形之一为止。

② 形如和的积分（n为正整数）

   令，则，，从而

  

   已转化成有理函数的积分。

   类似地，可通过代换转为成有理函数的积分。

③形如和的积分（n为正整数）

  当n为偶数时，若令，则，于是

 

  已转化成多项式的积分。

  类似地，可通过代换转化成有理函数的积分。

  当n为奇数时，利用分部积分法来求即可。

4.当有x与三角函数相乘或除时一般使用分部积分法。

5.几种特殊类型函数的积分。

（1）有理函数的积分

有理函数先化为多项式和真分式之和，再把分解为若干个部分分式之和。（对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现时，记得用递推公式：）

1.有理真分式化为部分分式之和求解

①简单的有理真分式的拆分

 

②注意分子和分母在形式上的联系

 

  此类题目一般还有另外一种题型：

 

2.注意分母（分子）有理化的使用

例5：

【解】

故不定积分求得。

（2）三角函数有理式的积分

万能公式：

的积分，但由于计算较烦，应尽量避免。

对于只含有tanx（或cotx）的分式，必化成。再用待定系数 来做。（注：没举例题并不代表不重要~）

（3）简单无理函数的积分

一般用第二类换元法中的那些变换形式。

像一些简单的，应灵活运用。如：同时出现时，可令；同时出现时，可令；同时出现时，可令x=sint；同时出现时，可令x=cost等等。

  （4）善于利用，因为其求导后不变。

    这道题目中首先会注意到，因为其形式比较复杂。但是可以发现其求导后为与分母差，另外因为求导后不变，所以容易想到分子分母同乘以。

（5）某些题正的不行倒着来

    这道题换元的思路比较奇特，一般我们会直接使用，然而这样的换元方法是解不出本题的。我概括此类题的方法为“正的不行倒着来”，当这类一般的换元法行不通时尝试下。这种思路类似于证明题中的反证法。

（6）注意复杂部分求导后的导数

注意到:

本题把被积函数拆为三部分：，的分子为分母的导数，的值为1，的分子为分母因式分解后的一部分。此类题目出现的次数不多，一般在竞赛中出现。

（7）对于型积分，考虑的符号来确定取不同的变换。

  如果，设方程两个实根为，令

                   ，

可使上述积分有理化。

如果，则方程没有实根，令

                   ，

可使上述积分有理化。此中情况下，还可以设

                   ，

至于采用哪种替换，具体问题具体分析。

第二篇：20xx考研不定积分经典例题

例1．計算

解法1

   

而  所以

解法2

解法3

  

  

由拼接法可有

例2.求

解 将被积函数化为简单的部分分式

两边同乘以，约去的因子后令得

两边同乘以，对求导，再令，施以上运算后，右端得A,而左端为

在分解式（*）中令得所以分解式（*）两边同乘以，再令得故有

例3. 求

解 令 再用部分分式，則

两边乘以再令得两边乘以再令得两边乘以再令得令

例4 

        

例5.求

解 令 则

例6

例7 

例8

 

例9．

例10．

例 11

 

例12． 求 其中

解 由配方得

 ，令则有原式

例13．求

解

解上面的联立方程可得出

例14． 计算

例15．

例16． 求  

解 令

例17．设有一个原函数求

解 用分部积分法有

代入（*）有

 ，

即

例18．求

解 被积函数的分子是的线性组合，故有

于是

例19．求

解 

例20．

例21．

例22．

例23．

例24．

例25．

例26．

例27．

例28．

例29.

     

例30.

例31

 

例32.

    

 

例33.

 

例34．

例35．

例36．

例37

 

例38．

例39．

例40．

例41．

例42．

例43．

例44． （令）

例45．（先约分，分子加一减一）

例46．

例47．

例48．

       

例49．

例50．

例51．

（分项分部积分）

例52．求

例53．求

解 令

利用原函数的连续性，有

从而解出

例54、计算下列积分：

（1）

（2）

（3）

分析 对于（1）, （2）利用基本积分公式和积分运算性质进行积分, 注意在计算时, 对被积函数要进行适当的变形；对于（3）, 注意到被积函数带有绝对值符号, 而在积分时, 绝对值符号是一定要打开的, 且在积分区间上有

利用定积分的区间可加性和N-L进行计算.

解（1）将被积函数变形为

=

                =.

（2）将被积函数变形为

再利用积分公式和积分运算性质得

                  =

(3)

            

          .     

说明：本例在求积分的方法直接积分法. 这种方法适用与那些只用到基本积分公式和积分运算性质, 或者对被积函数进行适当变形就 可以运用积分公式求积分的题目. 在解题中应该注意：

1．熟悉基本积分公式；

2．在解题中经常要对被积函数进行适当的的变形（例如（1）中将二项和的平方展开；（2）中将乘到括号里边去；（3）中将绝对值打开）, 变形的目的是使被积函数为积分基本公式中的函数或它们的线性组合. 这些方法和技巧的掌握是基于平时的练习；

3．如果连续试探几次, 进行不同的变形后仍无法达到目的, 则应考虑其它积分方法求解.

例55、 计算下列积分：

（1）；   

（2）

（3）

（4）

分析 注意到这几个被积函数都是复合函数, 对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法（第一换元积分法）, 在计算中要明确被积函数中的中间变量, 设法将对求积分转化为对求积分. 对于定积分的凑微分的题目要注意：换元积分法的特点, 即“换元变限”.

（1）将被积函数看成, 其中, 且, 于是, , 这时对于变量可以利用公式求积分.

（2）将被积函数看成, 其中, 且, 于是, 这样对于变量可以利用积分公式求积分.

（3）将被积函数看成, 其中, 且, 于是, 这样对于变量可以利用积分公式求积分.

（4）将被积函数分解成即分成两个函数积分的和, 第一个积分可以由N-L公式直接得到, 第二个积分中被积函数视为, 其中,

解 （1）=     

                   =

    （2）          （）

                      =     

（3）[方法1]换元换限.

令, 则, 且当时, , 时, , 于是有

[方法2] 只凑微分不换元, 不换积分限.

             

                      

(4) 因为=

对于积分

对于积分用凑微分法,

[方法1] 令, 则, 且当时, , 时, , 于是有

[方法2] 只凑微分不换元, 不换积分限.

故

例6 计算下列积分：

（1）；   

（2）；

（3） 

分析 注意到这些积分都不能用换元积分法, 所以要考虑分部积分,对于分部积分法适用的函数及的选择可以参照表3-1, 具体步骤是：

1．凑微分, 从被积函数中选择恰当的部分作为, 即, 使积分变为；

2．代公式, , 计算出

3．计算积分.

在定积分的分部积分公式是, 它与不定积分的区别在于每一项都带有积分上、下限. 注意公式中是一个常数, 在计算中应随时确定下来, 在计算（3）小题时应设法先去掉被积函数的绝对值符号, 这时需要根据绝对值的性质适当的利用定积分对区间的可加性质.

解 （1）设, 则, 由分部积分公式有

                  

(2)  设, 则, 由定积分分部积分公式有

（3）因为,

利用积分区间的可加性得到

其中第一个积分为

                       

第二个积分为,

最后结果为.

例56、计算下列无穷限积分：

（1）；   

（2）；

（3）

分析 对于无穷限积分的求解步骤为：

   （1）求常义定积分；

   （2）计算极限

极限存在则收敛（或可积）否则发散. 收敛时积分值等于极限值.

解 （1）

                     =

                    

（2）

              

(3)

说明此无穷积分发散.

注意：正如3.4中提到的, 上述无穷限积分的计算过程也可以写成下面的形式

（1） 

（2）

（3）.