七大积分总结
一. 定积分
1. 定积分的定义:设函数f(x)在[a,b]上有界,在区间[a,b]中任意插入n-1个分点:a=x0<x1<x2<……<xi-1<xi<xi+1<……<xn-1<xn=b,
把区间[a,b]分成n个小区间:[x0,x1]……[xi-1,xi]……[xn-1,xn],
记△xi=xi-xi-1(i=1,2,3,……,n)为第i个小区间的长度,在每个小区间上[xi-1,xi]上任取一点ξi(xi-1≤ξi≤i),作乘积:
f(ξi)△xi(i=1,2,3,……,n),并作合式:
记λ=max{△x1, △x2, △x3……, △xn},若不论对[a,b]怎样分法,也不论在小区间[xi-1,xi]上点ξi怎样取法,只要当λ→0时,S的极限I总存在,这时我们称I为函数f(x)在区间[a,b]上定积分(简称积分),记做:
其中f(x)称为被积函数,f(x)dx称为被积表达式,x称为积分变量,a称为积分下限,b称为积分上限,[a,b]称为积分区间,
称为积分和。
如果f(x)在[a,b]上的定积分存在,则称f(x)在[a,b]上可积。
关于定积分的定义,作以下几点说明:
(1)积分值仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量的字母记法无关,即。
(2)定义中区间的分法与ξi的取法是任意的。
(3)定义中涉及的极限过程中要求λ→0,表示对区间[a,b]无限细分的过程,随λ→0必有n→∞,反之n→∞并不能保证λ→0,定积分的实质是求某种特殊合式的极限:
…… …… 余下全文