定积分讲义总结

内容一　定积分概念

一般地，设函数在区间上连续，用分点

将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上取一点，作和式：

如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分。记为：     

其中成为被积函数，叫做积分变量，为积分区间，积分上限，积分下限。

说明：（1）定积分是一个常数，即无限趋近的常数（时）称为，而不是．

     （2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：等分区间；②近似代替：取点；③求和：；④取极限：

例1．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力（为常数，是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长所作的功．

分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解．

解： 将物体用常力沿力的方向移动距离，则所作的功为．

1．分割

在区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间：

             ，，…，  

记第个区间为，其长度为

把在分段，，…，上所作的功分别记作：，，…，

（2）近似代替

有条件知： 

（3）求和

=

从而得到的近似值

（4）取极限

所以得到弹簧从平衡位置拉长所作的功为：

内容二　定积分的几何意义

 从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分

的几何意义。

   

说明：一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、函数的图形以及直线之间各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积去负号。

分析：一般的，设被积函数，若在上可取负值。

考察和式

不妨设

    于是和式即为

    阴影的面积—阴影的面积（即轴上方面积减轴下方的面积）

例2．计算定积分

分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为。

即：

内容三　定积分的性质

性质1  

性质2   （其中k是不为0的常数） （定积分的线性性质）

性质3  （定积分的线性性质）

    性质4    （定积分对积分区间的可加性）

    说明：①推广：

          ②推广:

          

内容四　微积分基本定理

    一般地，如果函数是上的连续函数，并且，那么

这个结论叫做微积分基本定理。

   

基本积分公式：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）

例3 求

解 因为=

即 有一个原函数为，所以

=

内容五　定积分的简单应用

. 1、 曲边图形面积：；

 2、 变速运动路程；

 3、 变力做功

例4．求抛物线y² = x与x – 2y – 3 = 0所围成的图形的面积．

解：如图：由得A（1，– 1），B（9，3）．

   选择x作积分变量，则所求面积为

   =

   =．

第二篇：定积分微积分练习题总结

定积分、微积分练习：

1. （20##年广东北江中学高三第二次月考）=         

2. (20##学年广东北江中学高三高三年级第一次统测试题)        ．

3．若a＝x2dx，b＝x3dx，c＝sinxdx，则a、b、c的大小关系是(　　)

A．a＜c＜b                 B．a＜b＜c

C．c＜b＜a                 D．c＜a＜b

4．已知a∈[0，]，则当(cosx－sinx)dx取最大值时，a＝________.

5．(2x－1)dx＝－8，则a＝________.

6.已知函数f(x)＝3x2＋2x＋1，若f(x)dx＝2f(a)成立，则a＝________.

7．如果f(x)dx＝1，f(x)dx＝－1，则f(x)dx＝________.

8．设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则

f(－x)dx的值等于(　　)

A.                         B.

C.                         D.

9．若等比数列{an}的首项为，且a4＝ (1＋2x)dx，则公比等于________．

10. =                     

11.已知f(x)为偶函数且f(x)dx＝8，则f(x)dx等于                      (　　)

A．0       B．4       C．8        D．16

12.已知f(x)为奇函数且f(x)dx＝8，则f(x)dx等于                      (　　)

A．0       B．4       C．8        D．16

15. .设 则=（    ）

A.              B.              C.                     D.不存在

16. 已知,当=       时,  成立

17．函数y＝(cost＋t2＋2)dt(x＞0)(　　)

A．是奇函数           B．是偶函数

C．非奇非偶函数       D．以上都不正确

18.(2010·烟台模拟)若y＝(sint＋costsint)dt，则y的最大值是               (　　)

A．1　     B．2         C．－        D．0

18．设f(x)＝|x2－a2|dx.

(1)当0≤a≤1与a＞1时，分别求f(a)；

(2)当a≥0时，求f(a)的最小值．

求解析式

19．已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，f(x)dx＝－2.

(1)求f(x)的解析式；

(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值．

20．(2010·温州模拟)若f(x)是一次函数，且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝，那么dx的值是________．

曲线面积问题：

　　利用定积分求平面图形面积的步骤：
　　（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；
　　（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；
　　（3）写出定积分表达式；
　　（4）求出平面图形的面积.

21. 求在上，由轴及正弦曲线围成的图形的面积.

22．(原创题)用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是(　　)

A．f(x)dx

B．|f(x)dx|

C．f(x)dx＋f(x)dx

D．f(x)dx－f(x)dx

 

 

23．如图，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合

图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是     (　　)

A．1      B.      C.        D．2

24.如图，阴影部分的面积是                                                     （   ）

       A．                  B．

       C．                    D．

25.如图，求由两条曲线，及直线y= -1所围成图形的面积．

26．由直线x＝，x＝2，曲线y＝及x轴所围成图形的面积为(　　)

A.                 B.

C.ln2                D．2ln2

27．函数f(x)＝的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为(　　)

A.                         B．1

C．2                       D.

28．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x－2.

(1)求y＝f(x)的表达式；

(2)求y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积．

29．如图，设点P从原点沿曲线y＝x2向点A(2,4)移动，

记直线OP、曲线y＝x2及直线x＝2所围成的面积

分别记为S1，S2，若S1＝S2，则点P的坐标为________．

30. 求曲线，及所围成的平面图形的面积.

31. 求由抛物线与直线及所围成图形的面积.

32. 设y=f（x）是二次函数,方程f（x）=0有两个相等的实根，且

f′（x）=2x+2.

（1）求y=f（x）的表达式；

（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.

（2）若直线x=－t（0＜t＜1＝把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值.

33. 抛物线y=ax2＋bx在第一象限内与直线x＋y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．求使S达到最大值的a、b值，并求Smax．

利用定积分解决物理问题
　　①变速直线运动的路程
　　　作变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数在时间区间上的定积
　　　分，即.
　　②变力作功
　　　物体在变力的作用下做直线运动，并且物体沿着与相同的方向从移动到
　　　，那么变力所作的功.
 

34．一物体的下落速度为v(t)＝9.8t＋6.5(单位：米/秒)，则下落后第二个4秒内经过的路程是(　　)

A．249米             B．261.2米

C．310.3米            D．450米

35.一质点运动时速度与时间的关系为v(t)＝t2－t＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]的位移为                                                 (　　)

A.　　　　　B.        C.           D.

36．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，则该汽车在这一分钟内行驶的路程为_    ___米     

                                                          

37. 汽车每小时54公里的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等减速度3米/秒刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少公里？

38．若1 N的力能使弹簧伸长1 cm，现在要使弹簧伸长10 cm，则需要花费的功为(　　)

A．0.05 J     B．0.5 J     C．0.25 J      D．1 J