摘 要
运筹学是一门以人机系统组织、管理为对象，应用数学计算机等工具，来研究各类优先资源的合理规划使用并提供优化决策方案的科学。通过对数据的调查、收集与统计分析，以及具体模型的建立。收集和统计上述拟定模型所需要的各种基础数据，并最终将数据整理形成分析和解决问题的具体模型。
此题研究的主要内容是根据单位金属罐产品所需加工时间、利润及可利用工时和使金属罐铸造厂生产计划达到最优化进行合理规划。目的是依据各种金属罐所需的加工时间和可利用工时的使用情况，规划各种金属罐的最优利润，及最优生产计划。
根据提出的问题，建立相应的模型，运用运筹学计算软件（主要是指Lindo软件）求解所建立的运筹学模型。
结合模型的特点，对模型的求解进行了讨论和分析：如果增加一种金属罐的生产，相应的产品总利润是否能得到提高；讨论金属罐在流程中各个阶段所需的加工时间范围，对生产计划进行重新调整，使总利润达到最优；市场上B型金属罐是有需求的，但由于该型金属罐不产生经济效益，所以在原先的最优生产计划中，不允许生产B型金属罐，要使B型金属罐产生效益，那么生产B型金属罐的利润就要提高。
将模型应用于案例的背景问题，得出相应的最优决策方案，就可以对问题一一进行解答。
关键词：统计分析，线性规划，灵敏度分析，最优决策
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目 录
1问题的提出 ....................................................... 3
2生产主要过程 ..................................................... 3
3数学模型的建立 ................................................... 3
3.1基础数据的确定 .............................................. 3
3.2变量的设定 .................................................. 4
3.3目标函数的建立 .............................................. 4
3.4限制条件的确定 .............................................. 4
3.5模型的求解 .................................................. 5 4计算结果的简单分析 .............................. 错误！未定义书签。
5生产计划的优化后分析（灵敏度分析） ............................... 6
5.1评价新的生产过程 ............................................ 6
5.2 B型金属罐投产的条件研究 .................................... 7
5.3关于可利用工时的优化分析 .................................... 9 6结论及建议 ...................................... 错误！未定义书签。 参考文献 .......................................... 错误！未定义书签。 附录
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1问题的提出
北方某金属罐铸造厂生产计划的优化分析
北方某金属罐铸造厂历史悠久，一直是制造各类金属罐的专业厂家。其主要产品有4中，遵照厂家的意见，分别用代号A、B、C、D表示，产品销售情况良好，市场对这4种产品的需求量很大，而且预测结果表明，需求还有进一步扩大的趋势，但有些客户希望能有更多的不同功能的新产品问世，至少对原产品在现有基础上加以改进以满足某些特殊需要。这就面临着进一步扩大在生产，努力开发适销对路新产品的问题。
已经做的一些基础工作是：对引进新的制罐技术和生产线有关资料和信息的调查和整理；对目前生产计划情况的成本核算及分析等等。
但对如何调整当前的生产计划？是否下决心引进新技术和生产线？开发出来的新产品何时投入批量生产和正式投产最为有利？等一系列问题尚缺乏科学的、定量的决策依据。而厂里目前最关心的是资源问题，主要是各种加工设备的生产能力情况。关于生产计划的优化后分析就是在这样的背景下提出来的。为了研究这个问题，首先必需将现有的4种主要产品生产的简单过程及生产计划的有关资料熟悉一下。
2生产主要过程
生产A、B、C、D4种金属罐主要经过4个阶段：第1阶段是冲压：金属板经冲压机冲压，制造成金属罐所需要的零件；第2阶段是成形：在该车间里把零件制成符合规格的形状；第3阶段是装配：在装配车间，各种成形的零件按技术要求焊接在一起成为完整的金属罐；最后阶段是喷漆：装配好的金属罐送到喷漆车间被喷上防火的瓷漆装饰外表。
3数学模型的建立
3.1基础数据的确定
根据工艺要求及成本核算单位产品所需的加工时间、利润以及可供使用的总工时如表1-1所示。
表1-1 单位产品所需加工时间、利润及可利用工时表
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成形中心、装配中心、喷漆中心分属各车间，除承担本厂生产任务外，还承担着科研实验，新产品开发试制等项工作，因此这些生产中心每天可利用的总计时间分别不超过2400min、2000min和3000min。
3.2变量的设定
现设置上述问题的决策变量如下：
x1为A型金属罐的日产量；
x2为B型金属罐的日产量；
x3为C型金属罐的日产量；
x4为D型金属罐的日产量。
3.3目标函数的建立
将目标函数取为每天的产品总利润，就可得出关于日产品计划的线性规划模型：
极大化 Z=9x1+6x2+11x3+8x4
3.4限制条件的确定
约束条件：
（1）x1+x2+x3+x4<=480
（2）4x1+8x2+2x3+5x4<=2400
（3）4x1+2x2+5x3+5x4<=2000
（4）6x1+4x2+8x3+4x4<=3000
x1>=0
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x2>=0
x3>=0
x4>=0
3.5模型的求解
利用线性规划计算软件Lindo进行求解，结果如下：
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 4450.000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 400.000000 0.000000
X2 0.000000 0.500000
X3 70.000000 0.000000
X4 10.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 2.500000
3) 610.000000 0.000000
4) 0.000000 0.500000
5) 0.000000 0.750000
NO. ITERATIONS= 3
计算所得的最优解为：
x1=400，x2=0，x3=70，x4=10
目标函数最优值为：Z=4450。
这就是说，为了使日产品总利润最大，每天的生产计划应如下安排：生产A型金属罐400个，C型金属罐70个，D型金属罐10个而不生产B型金属罐。这样日产品总利润可达4450元。
4计算结果的简单分析
1.计算结果表中有4个松弛变量，其中s1=s3=s4=0，s2=610。这说明冲压、
装配和喷漆3个工序可利用的加工时间全部用完，唯有成形工序还剩余610min 第 5 页
时间闲置而未被利用。
2.分析相应的机会成本，即原线性规划的对偶最优解可知：冲压时间的机会费用是2.5元，装配时间的机会费用是0.5元，喷漆时间的机会费用是0.75元，其经济意义是上述3种时间资源每减少（或增加）1min，分别会使总利润下降（或增加）2.5元、0.5元和0.75元。而成形时间的机会费用为0，即无论时间增减，对总利润均不产生影响。这与成形工序有闲置的610未被利用的事实是一致的。另外还可以看出冲压时间的机会费用最高为2.5元，这就意味着冲压工序是当前生产的关键所在，设法增加冲压可利用时间将使产品总利润得到较大的提高。
5生产计划的优化后分析（灵敏度分析）
5.1评价新的生产过程
为了满足市场需求，不断开发新产品，该厂计划引进1种新型金属罐技术，生产E型金属罐。根据设计、计算得知生产1个E型金属罐需要1min冲压时间，2min成形时间，6min装配时间，12min喷漆时间，单位产品利润为13元。在试制及制定生产计划之前，需要研究其投产效果，以便作出是否投产这一决策。
讨论的目的是，增加一个新产品时对原生产计划有无影响？相应的产品总利润是否能得到提高。
不妨设x5为E型金属罐的产量，数学模型为：
Z=9x1+6x2+11x3+8x4+13x5
ST
x1+x2+x3+x4+x5<=480
4x1+8x2+2x3+5x4+2x5<=2400
4x1+2x2+5x3+5x4+6x5<=2000
6x1+4x2+8x3+4x4+12x5<=3000
利用Lindo计算求解，结果如下：
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 4450.000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 400.000000 0.000000
X2 0.000000 0.500000
X3 70.000000 0.000000
X4 10.000000 0.000000
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X5 0.000000 1.500000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 2.500000
3) 610.000000 0.000000
4) 0.000000 0.500000
5) 0.000000 0.750000
NO. ITERATIONS= 3
这表明，E型金属罐如果安排生产，每生产1件就会使总利润降低1.5元（即
x5的机会成本）。换言之，E型金属罐的投产将无利可图。
因此，在作决策——E型金属罐是否投产之前，就需要慎重考虑，至少在目
前生产E型金属罐对铸造厂在经济效益上没有好处。
5.2 B型金属罐投产的条件研究
在原先的最优生产计划中，不允许生产B型金属罐（x2=0），但当前市场上
B型金属罐是有需求的，从灵敏度分析的角度讨论，生产B型金属罐使铸造厂得益的途径主要有2个，一是提高B型金属罐的价格（增大c2），二是压缩E型金
属罐生产耗用的时间资源（降低成本），下面对第一种方法做进一步讨论。 为清楚起见，不妨列出线性规划最优解的单纯形表：
THE TABLEAU
ROW (BASIS) X1 X2 X3 X4 SLK 2 SLK 3
1 ART 0.000 0.500 0.000 0.000 2.500 0.000
2 X1 1.000 3.000 0.000 0.000
5.000 0.000
3 SLK 3 0.000 1.500 0.000 0.000 -10.500 1.000
4 X4 0.000 -0.500 0.000 1.000
-0.500 0.000
5 X3 0.000 -1.500 1.000 0.000
-3.500 0.000
ROW SLK 4 SLK 5
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1 0.500 0.750 4450.000
2 -1.000 0.000 400.000
3 0.500 0.750 610.000
4 0.500 -0.250 10.000
5 0.500 0.250 70.000
灵敏度分析：
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE
X1 9.000000 0.500000 0.166667 X2 6.000000 0.500000 INFINITY X3 11.000000 0.333333 1.000000 X4 8.000000 1.000000 1.000000
由利润系数的灵敏度分析表可知保持最优解不变的各种产品单产利润允许变化的范围是：
8.8333=<c1=<9.5，-∞=<c2=<6.5，10=<c3=<11.333,7=<c4=<9
即如果B型金属罐的单产利润在此范围内，最优解就不会发生变化，B型金属罐就不会生产，只要B型金属罐的利润大于6.5元，约束条件就被破坏，最优解必将发生变化，那么B型金属罐的生产就将产生经济效益。
若c2=7，数学模型为：
maxZ=9x1+7x2+11x3+8x4
x1+x2+x3+x4<=480
4x1+8x2+2x3+5x4<=2400
4x1+2x2+5x3+5x4<=2000
6x1+4x2+8x3+4x4<=3000
利用Lindo计算结果如下：
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 4516.667
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 0.000000 0.166667
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X2 133.333328 0.000000
X3 270.000000 0.000000
X4 76.666664 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 3.333333
3) 410.000000 0.000000
4) 0.000000 0.333333
5) 0.000000 0.750000
NO. ITERATIONS= 1
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 9.000000 0.166667 INFINITY X2 7.000000 1.000000 0.500001 X3 11.000000 3.333333 0.333334 X4 8.000000 3.000000 1.000000
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 480.000000 31.538462 80.000000 3 2400.000000 INFINITY 410.000000 4 2000.000000 399.999969 229.999985 5 3000.000000 306.666656 546.666687
5.3关于可利用工时的优化分析
可利用工时在线性规划模型中表现为约束条件的右端系数。
对右端系数进行灵敏度分析能提供使当前最优生产计划结构保持不变的右端系数的变化范围，其计算结果如下：
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RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE
2 480.000000 20.000000 80.000000
3 2400.000000 INFINITY 610.000000
4 2000.000000 400.000000 20.000000
5 3000.000000 40.000000 280.000000
计算结果表明，可利用的冲压时间目前为480min，倘若该数值有变化，只要不小于400min、不大于500min，那么当前的产品生产品种可以不变，类似地，成形时间允许取值范围为[1790，∞），装配时间允许取值范围为[1980,2400]，喷漆时间的允许取值范围为[2720,3040]。
成形加工时间目前是有闲置的，计算结果更清楚地说明，再扩大成形加工的生产能力是徒劳无益的，因为该约束的取值范围为：[1790，∞)，但若该加工时间缩减到1790min以下，则情况就要起变化，这时必须对生产计划重新进行调整，否则总利润就会下降且由于加工时间不够用导致生产受阻。当然这时成形资源的机会成本也就不再会是零了。
6结论及建议
综合上面的讨论，可以得出有关的结论，据此提出相应的建议如下：
1.原始最优生产计划中是考虑到现有的工时约束，为追求产品总利润最大的目标而设计的，倘若不考虑品种是否齐全及B型金属罐的市场需求，则该生产计划是可行的，可使该厂的日产总利润达4450元。品种方面只需要安排生产A型金属罐400个，C型金属罐70个，D型金属罐10个即可。
2.考虑到市场需求及该厂现有产品品种，B型金属罐必须生产的话，那么就要设法改进B型金属罐的生产工艺及条件，主要是努力开发其新的功能，对产品进行深加工，促使其利润增值，从而使单产利润达到6.5以上。
3.新开发的E型金属罐目前投产条件尚不成熟，匆忙上马将立即导致全厂总利润的下降。故还应做深入的研究与实验，设法提高产品利润、降低成本，再考虑批量生产或正式投产的问题。
4.优化后分析不是做一次就能一劳永逸的，必须根据实际情况适时地调整生产计划。当闲置资源情况及利润系数发生变动时，把握时机不断地进行灵敏度分析，根据分析结果安排、调整产品品种和生产过程，这样才能保证始终对生产、需求情况了如指掌，生产调度胸有成竹。
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参考文献
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［3］徐玖平, 胡知能, 王緌. 运筹学(第二版). 北京: 科学出版社, 2004 ［4］胡运权. 运筹学基础及应用. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社, 1998 ［5］陈汝栋，于延荣. 数学模型与数学建模(第2版).国防工业出版社，2009 ［6］刘建永.运筹学算法与编程实践：Delphi实现.清华大学出版社，2004 ［7］谢金星，薛毅.建优化建模LINDO/LINGO软件.清华大学出版社，2005
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