立体几何

立体几何在高考中占据重要的地位，通过近几年的高考情况分析，考察的重点及难点稳定，高考始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的性质和判定作为考察重点。在难度上也始终以中等偏难为主，在新课标教材中将立体几何要求进行了降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，是知识深化和拓展的重点，因而在这部分知识点上命题，将是重中之重。高考对立体几何的考查侧重以下几个方面： 1．从命题形式来看，涉及立体几何内容的命题形式最为多变 . 除保留传统的“四选一”的选择题型外，还尝试开发了“多选填空”、“完型填空”、“构造填空”等题型，并且这种命题形式正在不断完善和翻新；解答题则设计成几个小问题，此类考题往往以多面体为依托，第一小问考查线线、线面、面面的位置关系，后面几问考查空间角、空间距离、面积、体积等度量关系，其解题思路也都是“作——证——求”，强调作图、证明和计算相结合。2．从内容上来看，主要是：①考查直线和平面的各种位置关系的判定和性质，这类试题一般难度不大，多为选择题和填空题；②计算角的问题，试题中常见的是异面直线所成的角，直线与平面所成的角，平面与平面所成的二面角，这类试题有一定的难度和需要一定的解题技巧，通常要把它们转化为相交直线所成的角；③求距离，试题中常见的是点与点之间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离，直线与直线的距离，直线到平面的距离，要特别注意解决此类问题的转化方法；④简单的几何体的侧面积和表面积问题，解此类问题除特殊几何体的现成的公式外，还可将侧面展开，转化为求平面图形的面积问题；⑤体积问题，要注意解题技巧，如等积变换、割补思想的应用。⑥三视图，辨认空间几何体的三视图，三视图与表面积、体积内容相结合。3．从能力上来看，着重考查空间想象能力，即空间形体的观察分析和抽象的能力，要求是“四会”：①会画图——根据题设条件画出适合题意的图形或画出自己想作的辅助线(面)，作出的图形要直观、虚实分明；②会识图——根据题目给出的图形，想象出立体的形状和有关线面的位置关系；③会析图——对图形进行必要的分解、组合；④会用图——对图形或其某部分进行平移、翻折、旋转、展开或实行割补术；考查逻辑思维能力、运算能力和探索能力。

考点一、空间几何体的结构、三视图、直观图

了解柱、锥、台、球体及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中的简单物体的结构。能画出简单空间几何体的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图。能用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间几何体的三视图与直观图。了解空间几何体的不同表示形式。会画某建筑物的视图与直观图。

空间几何体的结构与视图主要培养观察能力、归纳能力和空间想象能力，能通过观察几何体的模型和实物，总结出柱、锥、台、球等几何体的结构特征；能识别三视图所表示的空间几何体，会用材料制作模型，培养动手能力。

1将正三棱柱截去三个角（如图1所示A，B，C分别是△GHI三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）

A G 侧视 D

F 图1 E F 图2 B E A． B． B E D E C

． D．

解：在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A

点评：本题主要考查三视图中的左视图，要有一定的空间想象能力。

2、由大小相同的正方体木块堆成的几何体的三视图如图所示，则该几何体中正方体木块的个数是 ．

正视图 左视图

俯视图 解：以俯视图为主，因为主视图左边有两层，表示俯视图中左边最多有两个木块，再看左

视图，可得木块数如右图所示，因此这个几何体的正方体木块数的个数为5个。 1

点评：从三视图到确定几何体，应根据主视图和俯视图情况分析，再结合左视图的情况定出几何体，最后便可得出这个立体体组合的小正方体个数。

考点二、空间几何体的表面积和体积

理解柱、锥、台的侧面积、表面积、体积的计算方法，了解它们的侧面展开图，及其对计算侧面积的作用，会根据条件计算表面积和体积。理解球的表面积和体积的计算方法。

把握平面图形与立体图形间的相互转化方法，并能综合运用立体几何中所学知识解决有关问题。

1、右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）

A．9π B．10π

C．11π D．12π

选D。点评：本小题主要考查三视图与几何体的表面积。既识别简单几何体的结构特征，又要掌握基本几何体的表面积的俯视图

正(主)视图 侧(左)视图

方法。

2、用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为?，则球的体积为（ ） A. 要能计算32?8?82? B. C. 82 D. 333

选B． 点评：本题考查球的一些相关概念，球的体积公式的运用。

考点三、点、线、面的位置关系

理解空间中点、线、面的位置关系，了解四个公理及其推论；空间两直线的三种位置关系及其判定；异面直线的定义及其所成角的求法。

通过大量图形的观察、实验，实现平面图形到立体图形的飞跃，培养空间想象能力。会用平面的基本性质证明共点、共线、共面的问题。

1、如图1，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分

别是边BC、CD上的点，且CFCG2＝＝，则（ ） CBCD3

（A）EF与GH互相平行

（B）EF与GH异面

（C）EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上

（D）EF与GH的交点M一定在直线AC上

选D。点评：本题主要考查公理2和公理3的应用，证明共线问题。利用四个图公理来证明共点、共线的问题是立体几何中的一个难点。

2、已知正四棱锥S?ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的余弦值为（ ）A．1 3B

． 3C

D．2 3

选C。点评：求异面直线所成的角，一般是平移异面直线中的一条与另一条相交构成三角形，再用三角函数的方法或正、余弦定理求解。

考点四、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质

掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定与性质定理，能用判定定理证明线面平行、面面平行，会用性质定理解决线面平行、面面平行的问题。

通过线面平行、面面平行的证明，培养学生空间观念及及观察、操作、实验、探索、

合情推理的能力。 1、如图，在四棱锥O?ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，?ABC??

4,

BN

2

（Ⅱ）OA?底面ABCD, OA?2,M为OA的中点，N为BC的中点（Ⅰ）证明：直线MN‖平面OCD；

求异面直线AB与MD所成角的大小；（2?） （Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。（） 33

点评：线面平行的证明、异面直线所成的角，点到直线的距离，既可以用综合方法求解，也可以用向量方法求解，后者较简便，但新课标地区文科没学空间向量。

2、一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M、N分别是AB、AC的中点，G是DF上的一动点.（1）求证：GN?AC;（2）当FG=GD时，在棱AD上确定一点P，使得GP//平面FMC,并给出证明

.

点评：证明线面平行，在平面内找一条直线与平面外的直线平行，是证明线面平行的关键。

考点五、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质

掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定与性质定理，能用判定定理证明线线垂直、线面垂直、面面垂直，会用性质定理解决线面垂直、面面垂直的问题。

通过线面垂直、面面垂直的证明，培养学生空间观念及及观察、操作、实验、探索、合情推理的能力。

1、正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点，求证：

（1）D1O//平面A1BC1;（2）D1O⊥平面MAC.

点评：证明线面垂直，关键是在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直，由

线线垂直推出线面垂直，证明线线垂直有时要用勾股定理的逆定理．

2、如图，四棱锥P—ABCD中， PA?平面ABCD，底面ABCD

是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，E为PC中点．

(I) 求证：平面PDC?平面PAD；

(II) 求证：BE//平面PAD． EF//面PAD． 点评：证明面面垂直，先证明线面垂直，要证线面垂直，先证明线线垂直．

C 3、如图，四棱锥S?ABCD的底面是正方形，SA?底面ABCD，E是SC

（1）求证：平面EBD?平面SAC；

4B （2）设SA?4，AB?2，求点A到平面

SBD的距离； S3

点评：求点到面的距离，经常采用等体积法，利用同一个几何体，体积相等，体现

了转化思想．

考点六、空间中的夹角

空间中的各种角包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，要理解各

种角的概念定义和取值范围，其范围依次为(0°，90°]、[0°，90°]和[0°，180°]。

（1）两条异面直线所成的角 BDC

求法：○1先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去 3

求得；○2通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是(0,

的角范围是[0,?]，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角 ?2]，向量所成

（2）直线和平面所成的角

求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。除特殊位置外，主要是指平面的斜线与平面所成的角，根据定义采用“射影转化法”

（3）二面角的度量是通过其平面角来实现的

解决二面角的问题往往是从作出其平面角的图形入手，所以作二面角的平面角就成为解题的关键。通常的作法有：（Ⅰ）定义法；（Ⅱ）利用三垂线定理或逆定理；（Ⅲ）自空间一点作棱垂直的垂面，截二面角得两条射线所成的角，俗称垂面法．此外，当作二面角的平面角有困难时，可用射影面积法解之，cos ? ＝S?，其中SS 为斜面面积，S′为射影面积，? 为斜面与射影面所成的二面角

?A1E. 1如图3，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=4

, AA1?点D是BC的中点，点E在AC上，且DE

?平面ACC1A1; （Ⅰ）证明：平面A1DE

（Ⅱ）求直线AD和平面A1DE

所成角的正弦值 8 .

点评：本题主要考查几何体的概念、线面夹角、两平面垂直等。能力方面主要考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力

2如图，在三棱锥P?ABC中，PA?底面

ABC,PA?AB,?ABC?60?,?BCA?90?，

点D，E分别在棱PB,PC上，且DE//BC

（Ⅰ）求证：BC?平面PAC；

（Ⅱ）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的大小；

（Ⅲ）是否存在点E使得二面角A?DE?P为直二面角？并说明理由.

考点七、空间中的距离

空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离．因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的

求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。求法：○1“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。○2等体积法。

1． 如图，在五面体ABCDEF中，FA ?平面ABCD, AD//BC//FE，AB?AD，M为EC

的中点，AF=AB=BC=FE=1AD(I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小； 2

(II) 证明平面AMD?平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值。

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第二篇：初中几何问题知识总结

初中几何问题知识总结

一、线与角
1．两点之间，线段最短。

2．经过两点有一条直线，并且只有一条直线。
3. 等角的补角相等，等角的余角相等。
4．对顶角相等
5. 经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。
6. （1）经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
   （2）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行.
7． 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
8. 平行线的判定：
（1）同位角相等，两直线平行；
（2）内错角相等，两直线平行；
（3）同旁内角互补，两直线平行；
（4）垂直于同一条直线的两条的直线互相平行.
9. 平行线的特征：
（1）两直线平行，同位角相等。
（2）两直线平行，内错角相等。
（3）两直线平行，同旁内角互补。
10. 角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
角平分线的判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
11. 线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.
线段垂直平分线的判定：到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
二、三角形、多边形
12. 三角形中的有关公理、定理：
（1）三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；③三角形的外角和等于360°.
（2）三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.
（3）三角形的任何两边的和大于第三边
（4）三角形中位线定理: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
13． 多边形中的有关公理、定理：
（1）多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（ n－2）×180°.
（2）多边形的外角和定理：任意多边形的外角和都为360°.
14.（1）如果图形关于某一直线对称，那么连结对应点的线段被对称轴垂直平分.
   （2）轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
15. 等腰三角形中的有关公理、定理：
（1）等腰三角形的两个底角相等．（简写成“等边对等角”）
（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简写成“等角对等边”）
（3）等腰三角形的“三线合一”定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”．
（4）等边三角形的各个内角都相等，并且每一个内角都等于60°．
（5）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（6）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
16. 直角三角形的有关公理、定理：
（1）直角三角形的两个锐角互余；
（2）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
（3）勾股定理逆定理：如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形.
（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
（5）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
三、特殊四边形
17. 平行四边形的性质：
（1）平行四边形的对边平行且相等；
（2）平行四边形的对角相等；
（3）平行四边形的对角线互相平分.
18. 平行四边形的判定:
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形.
19. 矩形的性质：
（1）矩形的四个角都是直角；
（2）矩形的对角线相等且互相平分.
20. 矩形的判定：
（1）有三个角是直角的四边形是矩形.
（2）有一个角是直角的平行四边形是矩形。
（3）对角线相等的平行四边形是矩形。

21. 菱形的性质：

（1）菱形的四条边都相等；
（2）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.
22. 菱形的判定：四条边相等的四边形是菱形.
（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形。
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
23. 正方形的性质：
（1）正方形的四个角都是直角；
（2）正方形的四条边都相等；
（3）正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角.
24. 正方形的判定：
（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）有一组邻边相等的矩形是正方形.
25. 等腰梯形的判定：
（1）同一条底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形；
（2）两条对角线相等的梯形是等腰梯形.
26. 等腰梯形的性质：
（1）等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等；
（2）等腰梯形的两条对角线相等.
27. 梯形的中位线平行于梯形的两底边，并且等于两底和的一半.
四、相似形与全等形
28. 相似多边形的性质：
（1）相似多边形的对应边的比相等；
（2）相似多边形的对应角相等；
（3）相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
29． 相似三角形的判定：
（1）如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似；
（2）如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似；
（3）如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.
（4）平行于三角形的一边的直线和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似。
30. 全等多边形的对应边、对应角分别相等.
31. 全等三角形的判定：
（1）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等（S.S.S.）.
（2）如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等．（S.A.S.）
（3）如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等(A.S.A.).
（4）有两个角及其中一个角的对边分别对应相等的两个三角形全等（A.A.S.）
（5）如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等.（H.L.）
五、圆
32．（1）圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。
（2）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（4）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
33.（1）半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）；
（2）90°的圆周角所对的弦是圆的直径.
34. 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半； 相等的圆周角所对的弧相等．
35. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
36. 切线的判定（1）经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的性质（2）圆的切线垂直于过切点的半径。
37. 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.