知识点总结

1．导数的概念

（1）增量=f(x+)－f(x)

（2）平均变化率=

（3）如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作或。即==。

2．导数的几何意义

函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线在点p（x，f（x））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率是。

相应地，切线方程为。

3．几种常见函数的导数:

①  ②   ③;   ④;

⑤⑥;   ⑦;   ⑧.

4．两个函数的和、差、积的求导法则

法则1：两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，

即： (

法则2：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个

函数乘以第二个函数的导数，即：

若C为常数，即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：

法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积再除以分母的平方：^’=（v0）。

形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。

5．单调区间

一般地，设函数在某个区间可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数；如果在某区间内恒有，则为常数；

6．极点与极值

曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；

（1） 极大值： 一般地，设函数f(x)在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有f(x)＜f()，就说f()是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f()，是极大值点
（2）极小值：一般地，设函数f(x)在附近有定义，如果对附近的所有的点，都有f(x)＞f().就说f()是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x)，是极小值点

7．最值

一般地，在区间[a，b]上连续的函数f在[a，b]上必有最大值与最小值。

①求函数?在(a，b)内的极值；

②求函数?在区间端点的值?(a)、?(b)；

③将函数?的各极值与?(a)、?(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。

例题讲解

1．导数的概念

例1：（1）已知函数在处的导数为则

（2）若则                .

习题：（1）已知函数在区间(a,b)内可导,且,则的值为       

（2）若函数在区间内可导，且则 的值为       

例2：已知函数，其中，若且，试证：．

习题：如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，_________．

2．利用导数研究函数的图像

例3：设＜b，函数的图像可能是 （   ）

习题：函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(　　)

A．1个               B．2个          C．3个               D．4个

3．利用公式求导

例4：（1）函数的导数为_________________

（2）函数的导数为_________________

习题：下列函数中，在x=0处的导数不等于零的是（    ）

A．             B．         C．y=ln（1－x²）        D．

4．利用导数的几何意义研究曲线的切线问题

例5：（1）若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于（   ） 

A．或         B．或         C．或          D．或7

（2）设为曲线：上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为（    ）

A．             B．            C．          D．

例6：已知抛物线通过点（1,1）且在点(2,-1)处与直线相切.

(1)求a,b,c的值;  (2)求过原点且与抛物线相切的直线方程.

习题：（1）函数 处的切线方程是_____________________

（2）曲线在点处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________；

习题：已知的图象经过点，且在处的切线方程，求f(x)的解析式。

习题：已知直线为曲线在点（1，0）处的切线，为该曲线的另一条切线，且，求直线的方程。

习题：已知曲线 求经过点P(1,2)的曲线C的切线方程

5．利用导数解决函数的单调性问题

例7：已知函数，．

（Ⅰ）讨论函数的单调区间；（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．

习题：若函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，求实数的取值范围．

6．导数与极值、最值

例8：（1）函数y＝1＋3x－x³有(　　)

A．极小值－2，极大值2     B．极小值－2，极大值3

C．极小值－1，极大值1     D．极小值－1，极大值3

（2）设x₀为f(x)的极值点，则下列说法正确的是(　　)

A．必有    B．不存在    C．＝0或不存在     D．存在但可能不为0

（3）函数f(x)＝x＋的极值情况是(　　)

A．当x＝1时，极小值为2，但无极大值     B．当x＝－1时，极大值为－2，但无极小值

C．当x＝－1时，极小值为－2；当x＝1时，极大值为2

D．当x＝－1时，极大值为－2；当x＝1时，极小值为2

（4）函数上的最小值是                   .

（5）下列函数中，x＝0是极值点的是(　　)

A．y＝－x³                  B．y＝cos²x          C．y＝tanx－x                     D．y＝

例9：已知函数（），其中．若函数仅在处有极值，求的取值范围．

习题：（1）已知函数y＝x－ln(1＋x²)，则函数y的极值情况是(　　)

A．有极小值     B．有极大值     C．既有极大值又有极小值     D．无极值

（2）已知函数f(x)＝x³－px²－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则函数f(x)的极值是(　　)

A．极大值为，极小值为0         B．极大值为0，极小值为

C．极大值为0，极小值为－       D．极大值为－，极小值为0

（3）函数y＝的极大值为______，极小值为______．

（4）已知函数有极大值和极小值，则a的取值范围是（    ）

       A．    B．    C．      D．

习题：设函数f(x)＝x³＋bx²＋cx＋d(a>0)，且方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1,4.

(1)当a＝3且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式；

(2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围．

7．利用导数解决实际问题

例10：如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？

习题：用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

8.综合问题

例11：已知，求证：.

例12：设在上是单调函数.

（1）求实数的取值范围；（2）设≥1，≥1，且，求证：

例13：已知是函数的一个极值点，其中，

（1）求与的关系式；         （2）求的单调区间；

（3）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围.

习题：已知函数（为自然对数的底数）

（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）设不等式的解集为P，且，求实数a的取值范围；

习题：已知

   （1）当a=1时，求的单调区间；

   （2）是否存在实数a，使的极大值为3？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由.

习题：已知函数的图像与函数的图象相切，记

   （1）求实数b的值及函数F（x）的极值；

   （2）若关于x的方程F（x）=k恰有三个不等的实数根，求实数k的取值范围。

第二篇：高二数学 一轮复习 函数与导数(一)

高二数学一轮复习---函数与导数<一>

一、选择题

1、已知全集U={0、1、2、3、4、5、6、7、8、9}，集合A={0、1、3、5、8}，集合B={2、4、5、6、8}，则（）∩（）（   ）

A、{5、8}    B、{7、9}    C、{0、1、3}   D、{2、4、6}

2、设映射是实数集M到实数集P的映射，若对于实数，t在M中不存在原象，则t的取值范围是（   ）

A、[1，+    B、（1，+        C、（-，1）        D、（-，

3、已知命题P：，，则是（   ）

A、

B、

C、，

D、，

4、若条件，，则是的（   ）

A、充分不必要条件    B、必要不充分条件   C、充要条件    D、既不充分也不不要

5、函数的单调递减区间是（   ）

A、（-，-1）     B、（-，-2） C、（2，+    D、（5，+

6、令为方程的解，则属于区间（   ）

A、（0 ，1）    B、（1 ，2）    C、（2 ，3）    D、（3 ，4）

7、     是上的增函数，那么的取值范围是（   ）

A、（1，+     B、（-，3）    C、[，+    D、（1 , 3）

8、在 这四个函数中，当时，使 恒成立的函数的个数（   ）

A、0     B、 1      C、2      D、3

9、函数在[0，]上的最大值点（   ）

A、0      B、     C、      D、

10、若，且，那么下列不等式正确的是（   ）

A、   B、   C、   D、

11、由曲线所围成的平面图形的面积为（   ）

A、   B、   C、   D、

12、已知定义域为的函数满足，则单调递增，若，且，则与0大小（   ）

A、                        B、               C、                                      D、

高二数学一轮复习---函数与导数<二>

二、填空题

13、设表示和中较小者，则函数最大值为_______

14、设，若定义在区间内的函数是奇函数，则的取值范围为________

15、设函数     则关于方程恰有5个不同实数解，则等于_________

16、已知都是定义在上的函数，， ，，，在有穷数列中取前项相加，则项和大于的概率为__________

17、函数定义域，定义域，

（1）、求   （2）、，求的范围

18、已知函数，（1）、定义域,求范围 （2）、值域，求的范围

19、已知，在和时取得极值，①、求、及单调区间   ②、若对，不等式恒成立，求的范围

20、已知：在处取得极值，①、求的解析式 ，②、若过可作曲线的三条切线，求实数的范围