线性代数

①A?B?B?A

②?A?B??C?A??B?C?

③c?A?B??cA?cB ?c?d?A?cA?dA ④c?dA???cd?A

⑤cA?0?c?0或A?0。 AT??T?A

T ?A?B??AT?BT

?cA?T

T?cAT。 ?? ?AB??BTAT

??n?n?1??21??Cn2?n?n?1? 2

D?a21A21?a22A22???a2nA2n T转置值不变A?A 逆值变A?1?1 A

?cnA

,?1??2,??,?1,??,?2,? A???1,?2,?3?，3阶矩阵

B???1,?2,?3?

A?B?A?B

A?B???1??1,?2??2,?3??3?

A?B?1??1,?2??2,?3??3 A?A0??AB 0B?B

E?i,j?c??1

有关乘法的基本运算

Cij?ai1b1j?ai2b2j???ainbnj

线性性质 ?A1?A2?B?A1B?A2B，

A?B1?B2??AB1?AB2

?cA?B?c?AB??A?cB?

结合律 ?AB?C?A?BC?

?AB??BTAT T

?AB

AA?A

Akklk?l ??l?Akl

k ?AB??AkBk不一定成立！

AE?A，EA?A

A?kE??kA，?kE?A?kA

AB?E?BA?E

与数的乘法的不同之处:?AB??AkBk不一定成立！ k

无交换律 因式分解障碍是交换性

一个矩阵A的每个多项式可以因式分解，例如 A?2A?3E??A?3E??A?E? 2

无消去律（矩阵和矩阵相乘）

当AB?0时??A?0或B?0

由A?0和AB?0??B?0

由A?0时AB?AC??B?C（无左消去律）

特别的 设A可逆，则A有消去律。

左消去律：AB?AC?B?C。

右消去律：BA?CA?B?C。

如果A列满秩，则A有左消去律，即

①AB?0?B?0

②AB?AC?B?C

可逆矩阵的性质

i）当A可逆时， A也可逆，且AT

T

??

?1

?A?1。 ?A?1。

?1

??

T

A也可逆，且Ak

k

??

?1

??

k

数c?0，cA也可逆，?cA?

?

1?1

A。 c

?1

ii）A，B是两个n阶可逆矩阵?AB也可逆，且?AB?

?B?1A?1。

推论：设A，B是两个n阶矩阵，则AB?E?BA?E 命题：初等矩阵都可逆，且 ?E?i,j??

?1

?E?i,j? ??1???E??i?c???

????

?E?i?c???

?1

?E?i,j?c????1?E?i,j??c??

命题：准对角矩阵

A11

A?

000

000

A2200?0

0?1

可逆?每个Aii都可逆，记A?00Akk0

?1

A110

0?1A2200

0000

?0

?1

0Akk

伴随矩阵的基本性质： AA*?A*A?AE 当A可逆时， A

A*?E

（求逆矩阵的伴随矩阵法）

A??1

?A*?A?1A?1??

????

?

1

?

A?? A??

伴随矩阵的其他性质

A*?A

?1

②AT*??A*?, T??

④?AB?*?B*A*,

⑤Ak*??A*?， k??

?a?b? n?2时， ?A*?*?A A*????cd?? ??关于矩阵右上肩记号：T，k，?1，*

i) 任何两个的次序可交换，

如AT*??A*?， T??

?1

T ?A*???A?1?*等 ?1 ii) ?AB??B

TAT, ?AB?

?AB?*?B*A* ?B?1A?1，

线性表示

0??1,?2,?,?s

?i??1,?2,?,?s

???1,?2,?,?s?x1?1?x2?2???xs?s??有解 ???1,?2,?,?s?x??有解x??x1,?,xs? Ax??有解，即?可用A的列向量组表示 AB?C??r1,r2,?,rs?，A???1,?2,?,?n?， 则r1,r2,?,rs??1,?2,?,?n。 ?T?

?1,?2,?,?t??1,?2,?,?s，

则存在矩阵C，使得??1,?2,?,?t????1,?2,?,?s?C

线性表示关系有传递性 当?1,?2,?,?t??1,?2,?,?s?r1,r2,?,rp，

则?1,?2,?,?t?r1,r2,?,rp。 等价关系：如果?1,?2,?,?s与?1,?2,?,?t互相可表示

?1,?2,?,?s???1,?2,?,?t 记作?1,?2,?,?s??1,?2,?,?t。

线性相关

s?1，单个向量?，x??0 ?相关???0

?1,?2相关?a1:b1?a2:b2???an:bn

s?2，?1,?2相关?对应分量成比例

A???1,?2,?,?n?，Ax?0有非零解?A?0 如果s?n，则?1,?2,?,?s一定相关

Ax?0的方程个数n?未知数个数s ②如果?1,?2,?,?s无关，则它的每一个部分组都无关 ③如果?1,?2,?,?s无关，而?1,?2,?,?s,?相关，则???1,?2,?,?s ④当???1,?,?s时，表示方式唯一??1??s无关

（表示方式不唯一??1??s相关）

⑤若?1,?,?t??1,?,?s，并且t?s，则?1,?,?t一定线性相关。 各性质的逆否形式

①如果?1,?2,?,?s无关，则s?n。

②如果?1,?2,?,?s有相关的部分组，则它自己一定也相关。

③如果?1??s无关，而????1,?,?s，则?1,?,?s?无关。 ⑤如果?1??t??1??s，?1??t无关，则t?s。 推论：若两个无关向量组?1??s与?1??t等价，则s?t。 极大无关组

一个线性无关部分组?I?，若#?I?等于秩?1,?2,?4,?6??I?，?I?就一定是极大无关组 ①?1,?2,?,?s无关?? ??1,?2,?,?s??s ②???1,?2,?,?s? ? ??1,?2,?,?s,???? ??1,?,?s? 另一种说法： 取?1,?2,?,?s的一个极大无关组?I? ?I?也是?1,?2,?,?s,?的极大无关组??I?,?相关。 矩阵的秩的简单性质

0?r?A??mi?nm,n?

r?A??0?A?0

A行满秩：r?A??m

A列满秩：r?A??n

n阶矩阵A满秩：r?A??n

A满秩?A的行（列）向量组线性无关 ?A?0

?A可逆

?Ax?0只有零解，Ax??唯一解。 矩阵在运算中秩的变化

初等变换保持矩阵的秩

①rA???r?A? T

②c?0时，r?cA??r?A?

③r?A?B??r?A??r?B?

④r?AB??min?r?A?,r?B??

⑤A可逆时，r?AB??r?B?

弱化条件：如果A列满秩，则??AB????B?

⑥若AB?0，则r?A??r?B??n（A的列数，B的行数） ⑦A列满秩时r?AB??r?B?

B行满秩时r?AB??r?A?

⑧r?AB??n?r?A??r?B?

解的性质

1．Ax?0的解的性质。

如果?1,?2,?,?e是一组解，则它们的任意线性组合

c1?1?c2?2???ce?e一定也是解。

?i,A?i?0?A?c1?1?c2?2???ce?e??0 2．Ax?????0?

①如果?1,?2,?,?e是Ax??的一组解，则 c1?1?c2?2???ce?e也是Ax??的解?c1?c2???ce?1 c1?1?c2?2???ce?e是Ax?0的解?c1?c2???ce?0

A?i????i

A?c1?1?c2?2???ce?e??c1A?1?c2A?2???ceA?e ??c1?c2???ce?? 特别的： 当?1,?2是Ax??的两个解时，?1??2是Ax?0的解 ②如果?0是Ax??的解，则n维向量?也是Ax??的解??解的情况判别

方程：Ax??，即x1?1?x2?2???xn?n??

???1,?2,?,?n ??0是Ax?0的解。

???A|?????A?????1,?2,?,?n,??????1,?2,?,?n?

??A|?????A?

??A|?????A??n

??A|?????A??n

方程个数m：

??A|???m,??A??m

①当??A??m时，??A|???m，有解

②当m?n时，??A??n，不会是唯一解

对于齐次线性方程组Ax?0，

只有零解???A??n（即A列满秩）

（有非零解???A??n）

特征值特征向量

两种特殊情形：

（1）A是上（下）三角矩阵，对角矩阵时，特征值即对角线上的元素。

?? 1?A? ?0

?0?

xE?A?*? 20*???? ? 3???*x?? 2

0?*????x?? 1??x?? 2??x?? 3?

x?? 3x?? 100

（2）r?A??1时：A的特征值为0,0,?,0,tr?A?

特征值的性质

命题：n阶矩阵A的特征值?的重数?n?r?? E?A?

命题：设A的特征值为? 1,? 2,?,? n，则

命题：设?是A的特征向量，特征值为?，即A????，则 ①对于A的每个多项式f?A?，f?A???f?x??

②当A可逆时，A???11

??，A*??|A|

??

命题：设A的特征值为? 1,? 2,?,? n，则

①f?A?的特征值为f?? 1?,f?? 2?,?,f?? n?

②A可逆时，A的特征值为?1111 ,,?,? 1? 2? n A*的特征值为|A||A||A| ,,?,? 1? 2? n ③A的特征值也是? 1,? 2,?,? n

特征值的应用

①求行列式|A|?? 1,? 2,?,? n

②判别可逆性

T A?? E可逆??不是A的特征值。

当f?A??0时，如果f?c??0，则A?cE可逆

若?是A的特征值，则f???是f?A?的特征值?f????0。 f?c??0?c不是A的特征值?AcE可逆。

n阶矩阵的相似关系

当AU?UA时，B?A，而AU?UA时，B?A。 相似关系有i）对称性：A~B?B~A

U?1AU?B，则A?UBU?1

ii）有传递性：A~B，B~C，则A~C

U?1AU?B，V?1BV?C，则

?1 ?UV?A?UV??V?1U?1AUV?V?1BV?C

命题 当A~B时，A和B有许多相同的性质

①?B

②??A????B?

③A，B的特征多项式相同，从而特征值完全一致。

?是A的属于?的特征向量?U?1?是B的属于?的特征 A与B的特征向量的关系：

向量。

A?????BU?1???U?1?

? ? ????

U?1A???U?1??U?1AUU?1???U?1?

正定二次型与正定矩阵性质与判别

可逆线性变换替换保持正定性 ??

f?x1,x2,?,xn?变为g?y1,y2,?,yn?，则它们同时正定或同时不正定 A~?B，则A，B同时正定，同时不正定。

T 例如B?CAC。如果A正定，则对每个x?0

xTBx?xTCTACx??Cx?ACx?0 T

（C可逆，x?0，?Cx?0！） 关于正定的性质

A正定?A~?E

?存在实可逆矩阵C，A?CC。

?A的正惯性指数?n。

?A的特征值全大于0。

?A的每个顺序主子式全大于0。

判断A正定的三种方法：

①顺序主子式法。

②特征值法。

③定义法。 T

第二篇：线性代数公式总结大全

线性代数公式

1、行列式

1.         行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式；

2.         代数余子式的性质：

①、和的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；

③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为；

3.         代数余子式和余子式的关系：

4.         设行列式：

将上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，则；

将顺时针或逆时针旋转，所得行列式为，则；

将主对角线翻转后（转置），所得行列式为，则；

将主副角线翻转后，所得行列式为，则；

5.         行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

②、副对角行列式：副对角元素的乘积；

③、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；

④、和：副对角元素的乘积；

⑤、拉普拉斯展开式：、

⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；

⑦、特征值；

6.         对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；

7.         证明的方法：

①、；

②、反证法；

③、构造齐次方程组，证明其有非零解；

④、利用秩，证明；

⑤、证明0是其特征值；

2、矩阵

8.         是阶可逆矩阵：

（是非奇异矩阵）；

（是满秩矩阵）

的行（列）向量组线性无关；

齐次方程组有非零解；

，总有唯一解；

与等价；

可表示成若干个初等矩阵的乘积；

的特征值全不为0；

是正定矩阵；

的行（列）向量组是的一组基；

是中某两组基的过渡矩阵；

9.         对于阶矩阵： 无条件恒成立；

10.    

11.     矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；

12.     关于分块矩阵的重要结论，其中均、可逆：

若，则：

Ⅰ、；

Ⅱ、；

②、；（主对角分块）

③、；（副对角分块）

④、；（拉普拉斯）

⑤、；（拉普拉斯）

3、矩阵的初等变换与线性方程组

13.     一个矩阵，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：；

等价类：所有与等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；

对于同型矩阵、，若；

14.     行最简形矩阵：

①、只能通过初等行变换获得；

②、每行首个非0元素必须为1；

③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；

15.     初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）

①、  若，则可逆，且；

②、对矩阵做初等行变化，当变为时，就变成，即：；

③、求解线形方程组：对于个未知数个方程，如果，则可逆，且；

16.     初等矩阵和对角矩阵的概念：

①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；

②、，左乘矩阵，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素；

③、对调两行或两列，符号，且，例如：；

④、倍乘某行或某列，符号，且，例如：；

⑤、倍加某行或某列，符号,且，如：；

17.     矩阵秩的基本性质：

①、；

②、；

③、若，则；

④、若、可逆，则；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）

⑤、；（※）

⑥、；（※）

⑦、；（※）

⑧、如果是矩阵，是矩阵，且，则：（※）

       Ⅰ、的列向量全部是齐次方程组解（转置运算后的结论）；

       Ⅱ、

⑨、若、均为阶方阵，则；

18.     三种特殊矩阵的方幂：

①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；

②、型如的矩阵：利用二项展开式；

       二项展开式：；

       注：Ⅰ、展开后有项；

Ⅱ、

Ⅲ、组合的性质：；

③、利用特征值和相似对角化：

19.     伴随矩阵：

①、伴随矩阵的秩：；

②、伴随矩阵的特征值：；

③、、

20.     关于矩阵秩的描述：

①、，中有阶子式不为0，阶子式全部为0；（两句话）

②、，中有阶子式全部为0；

③、，中有阶子式不全为0；

21.  线性方程组：，其中为矩阵，则：

①、与方程的个数相同，即方程组有个方程；

②、与方程组得未知数个数相同，方程组为元方程；

22.     线性方程组的求解：

①、对增广矩阵进行初等行变换（只能使用初等行变换）；

②、齐次解为对应齐次方程组的解；

③、特解：自由变量赋初值后求得；

23.     由个未知数个方程的方程组构成元线性方程：

①、；

②、（向量方程，为矩阵，个方程，个未知数）

③、（全部按列分块，其中）；

④、（线性表出）

⑤、有解的充要条件：（为未知数的个数或维数）

4、向量组的线性相关性

24.     个维列向量所组成的向量组：构成矩阵；

个维行向量所组成的向量组：构成矩阵；

含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；

25.     ①、向量组的线性相关、无关    有、无非零解；（齐次线性方程组）

②、向量的线性表出          是否有解；（线性方程组）

③、向量组的相互线性表示    是否有解；（矩阵方程）

26.     矩阵与行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组和同解；(例14)

27.     ；(例15)

28.     维向量线性相关的几何意义：

①、线性相关          ；

②、线性相关       坐标成比例或共线（平行）；

③、线性相关  共面；

29.     线性相关与无关的两套定理：

若线性相关，则必线性相关；

若线性无关，则必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）

若维向量组的每个向量上添上个分量，构成维向量组：

若线性无关，则也线性无关；反之若线性相关，则也线性相关；（向量组的维数加加减减）

简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；

30.     向量组（个数为）能由向量组（个数为）线性表示，且线性无关，则(二版定理7)；

向量组能由向量组线性表示，则；（定理3）

向量组能由向量组线性表示

有解；

              （定理2）

       向量组能由向量组等价（定理2推论）

31.     方阵可逆存在有限个初等矩阵，使；

①、矩阵行等价：（左乘，可逆）与同解

②、矩阵列等价：（右乘，可逆）；

③、矩阵等价：（、可逆）；

32.     对于矩阵与：

①、若与行等价，则与的行秩相等；

②、若与行等价，则与同解，且与的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；

③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；

④、矩阵的行秩等于列秩；

33.     若，则：

①、的列向量组能由的列向量组线性表示，为系数矩阵；

②、的行向量组能由的行向量组线性表示，为系数矩阵；（转置）

34.     齐次方程组的解一定是的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；

①、 只有零解只有零解；

②、   有非零解一定存在非零解；

35.     设向量组可由向量组线性表示为：（题19结论）

（）

       其中为，且线性无关，则组线性无关；（与的列向量组具有相同线性相关性）

（必要性：；充分性：反证法）

       注：当时，为方阵，可当作定理使用；

36.     ①、对矩阵，存在，   、的列向量线性无关；（）

②、对矩阵，存在，     、的行向量线性无关；

37.  线性相关

存在一组不全为0的数，使得成立；（定义）

有非零解，即有非零解；

，系数矩阵的秩小于未知数的个数；

38.     设的矩阵的秩为，则元齐次线性方程组的解集的秩为：；

39.     若为的一个解，为的一个基础解系，则线性无关；（题33结论）

5、相似矩阵和二次型

40.     正交矩阵或（定义），性质：

①、的列向量都是单位向量，且两两正交，即；

②、若为正交矩阵，则也为正交阵，且；

③、若、正交阵，则也是正交阵；

       注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；

41.     施密特正交化：

；

      

       ;

42.     对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；

对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；

43.     ①、与等价   经过初等变换得到；

，、可逆；

，、同型；

②、与合同   ，其中可逆；

                            与有相同的正、负惯性指数；

③、与相似   ；

44.     相似一定合同、合同未必相似；

若为正交矩阵，则，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；

45.     为对称阵，则为二次型矩阵；

46.     元二次型为正定：

的正惯性指数为；

与合同，即存在可逆矩阵，使；

的所有特征值均为正数；

       的各阶顺序主子式均大于0；

       ；(必要条件)