f（x）= f（0）+ f ′(0) x +（f ″(0) /2）x²+（f ′ ″(0 ) / 3！）x³ + ……
这个幂级数的和函数是否就是f（x）呢？不一定！
（画外音：太诡异了，f（x）产生了泰勒系数列，由此泰勒系数列生成一个幂级数 ，它的和函数却不一定是f（x）。就象鸡下的蛋，蛋孵出的却不一定是鸡。）
关键在余项。当且仅当 n → ∞ 时，泰勒公式尾项的极限为 0 ，f（x）一定是它的泰勒系数列生成的幂级数的和函数。称为 f（x）的泰勒展开式。
验证这个条件是否成立，往往十分困难。故通常利用五个常用函数的泰勒展开式，依靠唯一性定理，用间接法求某些别的函数的泰勒展开式。
美国的学生特别轻松，他们的大学数学教材很有创意，早在极限部分就要求他们,当成定义记住指数函数与正弦函数的泰勒展开式。
exp（x）= 1 + x + x²/2！+ x³/3！+ …… －∞＜x＜∞
sin x = x － x³/3！ + …… －∞＜x＜∞
（逐项求导， cos x = 1－ x²/2！+ …… －∞＜x＜∞ ）
此外还有 ln（1+x）= x － x²/2 + x³/3 + …… －1＜x＜ 1
（1+x）的μ次方 = 1 + μ x +（μ (μ－1) / 2！）x²+（μ(μ－1)(μ－2) / 3！）x³+ ……
1/ (1－x) = 1 + x² + x³ + …… －1＜x＜ 1，上同
泰勒公式基本应用（1）—— 等价无穷小相减产生高阶无穷小。
关键在于低阶项相互抵消。应用泰勒公式直接有 ，x → 0 时，
exp（x）－ 1 ~ x ， exp(x)－1－x ~ x² / 2
sin x ~ x ， sin x － x ~ － x³ / 3！ ， cos x －1 ~ － x²/2
ln（1+x）~ x ， ln (1+x)－x ~ －x²/2
（1+x）的μ次方－ 1 ~ μ x
例87 已知x→ 1时，lim(√(x³+3) －A－B(x －1)－(x －1) ² )/(x －1) ² = 0 ，试确定常数，A，B，C
分析 已知表明 x → 1 时，分子是较分母高阶的无穷小。
题面已暗示，应将函数y =√(x³+3)在点 x = 1 表示为带皮阿诺余项的泰勒公式，且必有
常数项 = A 一次项系数 = B 二次项系数 = C
这些低阶项相互抵消，分子才能成为高于二次方级的无穷小。
于是 A = y(1) = 2 ，B = y′(1) = 3/4 ， C = y″(1) / 2 = 39/64
（画外音：有的人一遇上这类题就想用洛必达法则，这在逻辑上是错的。不懂得无穷小的变化机理。
如果只有两个参数，可看讲座（9）。）
泰勒公式基本应用（2）—— 带皮阿诺余项的泰勒公式用于求极限
例88 若 x→ 0 时 ，极限 lim ( sin6 x+ f（x）)/ x³ = 0 ，则
x→ 0 时，极限 l im ( 6 + f（x）)/ x² = ?
分析 分子有两项。决不能把 sin6 x 换为 6x ，
（潜台词：sin6 x不是分子的因式，是分子的一项。）
这时正好用“带皮阿诺余项的一阶泰勒公式”， sin 6x = 6 x － （ 6x）³/3！+ ο（|Δx| ³）
代入已知极限，移项得 lim ( 6 + f（x）)/ x² = 36
例89 设函数 f (x) 在 x = 0 的某邻域内有连续的二阶导数，且 f (0)≠0 ，f ′(0)≠0, 记
F(h) = λ1 f (h) + λ2 f (2h) + λ3f (3h) 一 f (0)，
试证，存在唯一的实数组 λ1，λ2，λ3 ，使 h → 0 时，F(h) 是比 h ² 高阶的无穷小。
分析 讨论极限问题，有高阶导数信息，先写带皮亚诺余项的泰勒公式
f（x）= f（0）+ f ′(0)x + （f ″(0) /2）x²+ ο（|x| ²）
这是函数f（x）的一个新的（微局部的）表达式，当然可以表示f (h) ， f (2h)， f (3h)
f (h) = f（0）+ f ′(0) h + （f ″(0) /2）h ²+ ο（| h | ²）
f (2h) = f（0）+ f ′(0)2 h + （f ″(0) /2）（2h）²+ ο（| h | ²）
f (3h) = f（0）+ f ′(0)3 h + （f ″(0) /2）（3h）²+ ο（| h | ²）
（潜台词：常数因子不影响尾项。）
将各式代入F(h),整理得
F(h) = ( λ1+λ2+λ3一1) f（0）+ ( λ1+2λ2 + 3λ3) f ′(0) h + ( λ1+ 4λ2 + 9λ3) f ″(0) h ²/2 + ο（| h | ²）
要让 h → 0 时，F(h) 是比 h ²高阶的无穷小。，只需令上式中的常数项及 h 和 h ²项的系数全为 0 ，这就得到未知量 λ1，λ2，λ3 的一个齐次线性方程组，它的系数行列式是三阶的范德蒙行列式，其值不为 0 ，故可以相应算得唯一的一组 λ1，λ2，和 λ3
泰勒公式基本应用（3）——带拉格郎日尾项的泰勒公式用于一般讨论
例90 —— 凸函数不等式
如果函数 f (x) 二阶可导且二阶导数定号，（称为凸函数），则应用泰勒公式可以得到不等式
f (x)≥ f（x0）+ f ′(x0)(x－x0) （或≤）
实际上 f（x）= f（x0 ）+ f ′(x0)(x－x0)+ (f ″(ξ) /2 ) (x－x0)² ，ξ 在 x 与 x0之间
设 f ″(x)＞ 0 ，自然有(f ″(ξ) /2 ) (x－x0)² ＞ 0 ，舍掉此项就得到不等式。
*例91 函数 f (x) 在 [－1，1] 上有连续的三阶导数，且 f (－1) = 0 ，f (1) =1，f ′(0) = 0，试证明在区间 内至少有一点 ξ ，使得 f ″′(ξ) = 3
分析 选中心点 x0 = 0，在区间内讨论，写出带拉格郎日尾项的泰勒公式
f（x）= f（0）+（f ″(0) /2）x²+（f ′ ″(η ) / 3！）x³ , η在0与x之间
既然这是f (x) 的又一个表达式，当然可以代入x = －1 , 1 ，它们分别相应有ξ 1，ξ 2
0 = f（－1）= f（0）+（f ″(0) /2）(－1)²+（f ′ ″(ξ1 ) / 3！）(－1)³ , －1＜ξ 1＜0
1 = f（1）= f（0）+（f ″(0) /2）1² +（f ′ ″(ξ 2) / 3！）1³ , 0 ＜ξ 2 ＜ 1