考研数学讲座(17)论证不能凭感觉
一元微分学概念众多,非常讲究条件。讨论问题时,要努力从概念出发,积极运用规范的算法与烂熟的基本素材。绝不能凭感觉凭想象就下结论。
1. x趋于∞时,求极限 lim xsin(2x∕(x平方+1) ,你敢不敢作等价无穷小替换?
分析 只凭感觉,多半不敢。依据定义与规则,能换就换。
x 趋于∞时,α = 2x∕(x平方+1)是无穷小,sinα 是无穷小,
sinα(x) ~ α(x)且 sinα 处于“因式”地位。可以换。
等价无穷小替换后,有理分式求极限,是“化零项法”处理的标准∞∕∞型,答案为 2
2.设f(x)可导,若f(x)是奇(偶)函数(周期函数,单调函数,有界函数),它的导函数fˊ(x)有什么样的奇偶性(周期性,单调性,有界性) ?
分析 有定义数学式的概念,一定要先写出其定义式。简单一点也行。比如
奇函数 f(-x)= -f(x) 周期为T的函数 f(x+T)= f(x)
等式两端分别求导,得 fˊ(-x) = fˊ(x) fˊ(x+T)= fˊ(x)
(实际上,由复合函数求导法则, (f(-x))ˊ= fˊ(-x) (-x)ˊ= -fˊ(-x))
所以,奇函数的导数是偶函数;偶函数的导数是奇函数。(如果高阶可导,还可以逐阶说下去。)周期函数的导数也是周期函数。很有趣的是,因为 (x)ˊ= 1 ,有的非周期函数,比如y = x + sinx ,的导数却是周期函数。
(潜台词:周期函数的原函数不一定是周期函数。)
单调函数定义中没有等式的概念,可以先在基本初等函数中举例观察。
如y = x单增,yˊ = 1不是单调函数。y = sinx在(0,π/2)单增,yˊ = conx 单减,没有确定的结论。
有界性讨论相对较为困难。如果注意到导数的几何意义是函数图形的切线斜率。即切线倾角的正切。就可以想到,在x趋于x0时,要是导数值无限增大,相应的图形切线就趋向于与x轴垂直。显然,圆周上就有具竖直切线的点。
取 y =√(1-x的平方),它在[0,1]有界,但是 x 趋于 1 时,其导数的绝对值趋于正无穷。
这个反例说明有界函数的导数不一定有界。
(画外音:写出来很吓人啊。 x → 1 时 ,lim f (x) = 0 ,而 lim fˊ(x)= -∞ )
3.连续函数的复合函数一定连续。有间断点的函数的复合函数就一定间断吗?
分析 连续函数的复合,花样更多。原因在于复合函数f(g(x))的定义域,是f(x)的定义域与g(x)值域的交。有“病”的点可能恰好不在“交”内。因而,有间断点的函数的复合函数不一定间断。比如:
取分段函数 g(x)为,x > 0 时 g =1 , x ≤ 0 时 g = -1,0是其间断点。
取 f(u)=√u ,则 f(g(x))= 1 在 x > 0 时有定义且连续。
还有一些原因让“病态点”消失。
如果只图简单,你可以取 f(u)为常函数。以不变应万变。
取 f(u)= u的平方 ,则 f(g(x))= 1 ,显然是个连续函数。
4.设 f (x)可导,若x趋于 +∞ 时 ,lim f (x) = +∞ ,是否必有lim fˊ(x)= +∞
分析 稍为一想,就知为否。 例如 y = x
更复杂但颇为有趣的是 y = ln x ,x 趋于 +∞ 时 ,它是无穷大。但是 yˊ = 1∕x 趋于0 ,这就是对数函数异常缓慢增长的原因。
5.设f(x)可导,若x 趋于+∞时,lim fˊ(x) = +∞ , 是否必有 lim f(x) = +∞
分析 用导数研究函数,这是微积分的正道。首先要体念极限(见指导(3)。):
因为 lim fˊ(x) = +∞,所以当 x 充分大时,不仿设 x > x0 时,总有 fˊ(x)>1
用拉格朗日公式给函数一个新的表达式
f (x)= f (x0)+ fˊ(ξ)(x-x0) , x0 <ξ< x
(潜台词: ξ=ξ(x) 。你有这种描述意识吗?)
进而就有, x >x0 时, f (x) >f (x0) + 1(x-x0) (画外音:这一步是高级动作。)
因为 f (x0)是个常数,x0是我们选择的定点,所以上式表明,必有 lim f (x) = +∞
6 。 设 f (x)可导,若x 趋于 -∞ 时,lim fˊ(x)=-∞ , 是否必有 lim f (x)= -∞
分析 否。你如果与上述问题5对比,认为情形相仿,结论必有。那就太想当然了。
请你还是老老实实地象5中那样写出推理吧。结论是
若 x 趋于 -∞ 时,lim fˊ(x)= -∞ , 则必有 lim f (x) = +∞
7.设 f (x)可导,若x 趋于+∞时,lim f (x) = c(常数,)是否必有lim f ˊ(x) = 0
分析 否。lim fˊ(x) 有可能不存在。
这是最容易凭感觉想当然的一个题目。我读本科时,最初的想法就是,“lim f(x) = c 表示函数图形有水平渐近线,函数又可导,当然在 x 趋于+∞时,切线就趋于水平了。”
想当然的原因之一是我们见识太少,脑子里的函数都较简单,图形很光滑漂亮。之二则是对于渐近线的初等理解有惯性。
由极限定义的水平渐近线,并不在乎曲线中途是否与其相交。比如,
曲线可以以渐近线为轴震荡,最终造成 lim fˊ(x) 不存在的后果。
对比条件强化 —— 如果 lim fˊ(x) 存在,则必有 lim fˊ(x) = 0
用反证法证明。且不仿设 x 趋于 +∞ 时 lim fˊ(x) = A >0
与前述5中同样,可以选定充分大的正数 x0,使 x>x0 时,总有 fˊ(x)>A/2 ,然后用拉格朗日公式给函数一个新的表达式,导数条件管住ξ,从而有
f (x) >f (x0) + A(x-x0) /2 —→+∞ 矛盾。
8.函数在一点可导,且导数大于0 ,能说函数在这一点单增吗?
分析 不能。函数的单调性是宏观特征,背景是区间。函数在一点可导,且导数大于0,其间所蕴含的信息只能通过可导的定义去挖掘。即先把条件还原成定义算式,即
x 趋于x0 时,lim ( f (x)-f(x0))/ (x-x0)> 0
如果没有别的条件,下一步就试试体念符号。即在x0邻近,分子分母同号。进而在其右侧邻近,分子分母皆为正,f (x) > f(x0) 。但是,我们不知道函数值相互间的大小。
*9 设f (x)可导,若fˊ(a)·fˊ(b) < 0 ,则(a,b)内必有点c ,fˊ(c) = 0
分析 对。尽管可导函数的导函数不一定连续。但是,导函数天然地满足介值定理。这个结论在微积分中叫“达布定理”。
在本篇问题8中,我们讲了“一点导数大于0”的逻辑推理。现在不仿设
fˊ(a) > 0 而 fˊ(b) < 0
分别在a , b两点处写出导数定义式,体念极限符号,(本篇问题8。)可以综合得到结论:
函数的端值 f (a),f (b) 都不是 f (x)在[a,b] 上的最大值。
最大值只能在(a,b)内一点实现,该点处导数为0
好啊,多少意外有趣事,尽在身边素材中。要的是脚踏实地,切忌空想。
考研数学讲座(18)泰勒公式级数连
中值定理是应用函数的导数研究函数变化特点的桥梁。中值定理运用函数在选定的中心点x0的函数值、导数值以及可能的高阶导数值,把函数表示为一个多项式加尾项的形式。再利用已知导函数的性质来处理尾项,对函数做进一步讨论。
中值定理的公式(可微分条件,有限增量公式,泰勒公式)都是描述型的数学公式。 描述型的数学公式并不难学。什么条件下可以用什么样的公式描述,你记住公式,完整地写出来不就行了。公式中的“点ξ”理解为客观存在的点。
在选定的中心点x0,函数的已知信息越丰富,相应的泰勒多项式与函数越贴近。
1.“微分是个新起点” —— 若函数 f(x)在点x0可微,
Δy = f′(x0)Δx +ο(Δx) ;其中,ο(Δx)表示“比Δx高阶的无穷小。”
则函数实际上就有了一个新的(微局部的)表达式:
f(x)= f (x0) + f ′(x0)(x-x0) + ο(Δx) ( ο(Δx) 尾项,比Δx高阶的无穷小)
(潜台词:只有|Δx |充分小,“高阶无穷小”才有意义。)
历史上,这个表达式称为,“带皮阿诺余项的一阶泰勒公式”。
2. 拉格郎日公式—— 若 函数f (x)在闭区间 [a,b] 上连续,在(a,b)内可导,则(a,b)内至少有一点ξ,使得 f (b)-f (a) = f ′(ξ)(b-a)
定理说的是区间,应用时不能太死板。在满足条件的区间内取任意两点,实际上也组成一个(子)区间。比如,在区间内任意选定一点x0,对于区间内任意一点x,(任给一点,相对不变。)也可以有
f (x)-f (x0) = f ′(ξ)(x-x0),ξ 在 x 与 x0之间,
(潜台词:任意一点x,对应着一个客观存在的“点ξ”, ξ=ξ(x) )
即 f(x)= f(x0)+ f ′(ξ)(x-x0) ,ξ 在 x 与 x0之间,
3. 泰勒公式—— 如果函数在点x0 邻近有二阶导数
f(x)= f(x0)+ f ′(x0)(x-x0)+ (f ″(ξ) /2)(x-x0)² ,ξ 在x与x0之间
式中的尾项叫拉格郎日尾项。有时也把 ξ 表示为 x0 +θ(x-x0) ,0<θ<1
一般情况下,我们无法知道 ξ=ξ(x)的结构、连续性等,只能依靠已知导函数的性质来限定尾项,实现应用目的。
如果函数仅在点x0二阶可导,我们可以用高阶无穷小尾项(皮阿诺余项)
f(x)= f(x0)+ f ′(x0)(x-x0)+ (f ″(x0) /2)(x-x0)²+ ο(|Δx| ²)
泰勒系数——如果在点x0 邻近f(x)n+1 阶可导,则有泰勒系数
f(x0) ,f ′(x0) , f ″(x0) / 2! ,f ′ ″(x0) / 3! ,……
可以写出, f(x)=n 次泰勒多项式 + 拉格朗日尾项
4. 泰勒级数——如果在点x0邻近f(x)无穷阶可导,不妨取x0 = 0,则利用泰勒系数可以写出一个幂级数