第十七章   反比例函数

1. 知识总结

1．一般地，形如 y =  ( k是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。

注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数；

（2）解析式有三种常见的表达形式：

(A) y = （k ≠ 0）  (B) xy = k（k ≠ 0） (C) y=kx^-1（k≠0）

2．反比例函数解析式的特征：

⑴ 等号左边是函数，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数(也叫做比例系数)，分母中含有自变量，且指数为1.

⑵ 比例系数

⑶ 自变量的取值为一切非零实数。

⑷ 函数的取值是一切非零实数。

3．反比例函数的图像

⑴ 图像的画法：描点法

①  列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）

②  描点（有小到大的顺序）

③  连线（从左到右光滑的曲线）

⑵ 反比例函数的图像是双曲线，（为常数，）中自变量，函数值，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。

⑶ 反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是或）。

⑷ 反比例函数（）中比例系数的几何意义是：过双曲线 （）上任意引轴轴的垂线，所得矩形面积为。

4．反比例函数性质如下表：

5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出）

6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系。

7.  反比例函数的应用

2. 练习题

一. 选择题

1．反比例函数y＝图象经过点（2，3），则n的值是（　　）．

A. －2        B. －1    C. 0            D. 1

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第十七章 反比例函数

一、反比例函数的概念：

k x

(k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数．

注意：(1)常数 k 称为比例系数，k≠0

(2)反比例函数有三种常见的表达形式：

k①y=（k ≠ 0） ②xy=k（k ≠ 0） ③y=kx-1（k≠0） x

(3)自变量x的取值范围是x≠0的一切实数

(4)函数值y的取值范围是y≠0的一切实数

二、反比例函数的图象和性质：

1、形状：图象是双曲线。

2、图象的变化趋势：双曲线无限接近于x、y轴,但永远不会与坐标轴相交。

3、图象的对称性：

①对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系的原点对称。

6?6②对于k取互为相反数的两个反比例函数（如：y = 和y=）来说，它们xx

是关于x轴，y轴对称。

4、图象的位置及增减性：

①当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，在同一象限内y随x的增大而减小；②当k＜0时，函数的图象在第二、四象限，在同一象限内y随x的增大而增大。

三、确定反比例函数的解析式：

k已知反比例函数y= 的图象经过点(a,b),求这个函数的解析式。 x

方法：①先求比例系数k的值，k=ab

k②再把k的值代人y=即可 x

四、反比例函数与正比例函数图象的交点个数

k1、反比例函数y?1（k1>0）与正比例函数y?k2x（k2>0）的图象有两个交点，x

其中两个交点关于直角坐标系的原点对称。设某一交点坐标为(x,y)，则另一交点坐标为(-x,-y).

k2、反比例函数y?1（k1<0）与正比例函数y?k2x（k2<0）图象有两个交点，其x

中两个交点关于直角坐标系的原点对称。设某一交点坐标为(x,y)，则另一交点坐标为(-x,-y).

k3、反比例函数y?1（k1>0）与正比例函数y?k2x（k2<0）的图象没有交点. x

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反比例函数

【基础知识】

一、反比例函数的概念

1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为这一限制条件； ，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数

2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；

3．反比例函数的自变量，故函数图像与x轴、y轴无交点．

二、反比例函数的图像画法

反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第

二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量x?0，函数值y?0，所以它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。

再作反比例函数的图像时应注意以下几点：

①列表时选取的数值宜对称选取；

②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；

③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；

④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。

三、反比例函数及其图像的性质

1．函数解析式：（）

2．自变量的取值范围： 3．图像：

（1）图像的形状：双曲线，

像的 弯曲度越大。

（2）图像的位置和性质： 当

当 越大，图像的弯曲度越小，曲线越平直。

越小，图时，图像的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小； 时，图像的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大。

，） （3）对称性：图像关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（在双曲线的另一支。图像关于直线

）和（，对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上。．

4．k的几何意义

如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是|k|（三角形PAO和三角形PBO的面积都是1/2|k|）。

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反比例函数

一、基础知识

1.定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数。还可以写成，xy=k(k为常数，)

2.反比例函数的图像是双曲线，（为常数，）中自变量，函数值，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。

3.反比例函数的图像即是中心对称图形（对称中心是原点），也是轴对称图形（对称轴是或）。

4.反比例函数（）中比例系数的几何意义是：过双曲线 （）上任意引轴轴的垂线，所得矩形面积为。

5．反比例函数性质如下表：

6. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出）

7．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系。

8.  反比例函数的应用

反比例函数常考题型

一、反比例函数的概念

例1下面函数中，哪些是反比例函数？

（1）（2）（3）（4）（5）（6）

（7）（8）xy＝21 （9）（10）（11） 

（12）y＝x＋4  （13）

变式1：若y与－2x成反比例函数关系，x与成正比例，则y与z的关系 （    ）

A．成正比例函数        B．成反比例函数     C．成一次函数      D．不能确定

变式2：若梯形的下底长为，上底长为下底长的，高为，面积为60，则与的函数关系是____________．

变式3：当m取什么值时，函数是反比例函数？

变式4： 函数y= 的自变量x的取值范围是___________；当x＜0时，y随x的增大而（）．

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               反比例函数精讲精练                                             

一、反比例函数的概念：

知识要点：

1、一般地，形如 y =  ( k是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。

注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数；

（2）解析式有三种常见的表达形式：

（A）y = （k ≠ 0）   （B）xy = k（k ≠ 0）   （C）y=kx^-1（k≠0）

例题讲解：有关反比例函数的解析式

例1、（1）下列函数，① ②. ③ ④.⑤⑥ ；其中是y关于x的反比例函数的有：_________________。

（2）函数是反比例函数，则的值是（　　）

　  A．－1　　　　 　B．－2　　　   　 C．2　　　    　D．2或－2

（3）如果是的反比例函数，是的反比例函数，那么是的（  　）

    A．反比例函数  　B．正比例函数  　 C．一次函数  　 D．反比例或正比例函数

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反比例函数知识点总结

知识点1 反比例函数的定义

一般地，形如（k为常数，）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：

⑴x是自变量，y是x的反比例函数；

⑵自变量x的取值范围是的一切实数，函数值的取值范围是；

⑶比例系数是反比例函数定义的一个重要组成部分；

⑷反比例函数有三种表达式：

①（），

②（），

③（定值）（）；

⑸函数（）与（）是等价的，所以当y是x的反比例函数时，x也是y的反比例函数。

（k为常数，）是反比例函数的一部分，当k=0时，，就不是反比例函数了，由于反比例函数（）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。

知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式

由于反比例函数（）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。

知识点3反比例函数的图像及画法

反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量，函数值，所以它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。

再作反比例函数的图像时应注意以下几点：

①列表时选取的数值宜对称选取；

②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；

③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；

④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。

知识点4反比例函数的性质

☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：

注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内……”否则，笼统地说，当时，y随x的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾。

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反比例函数知识点归纳

（一）反比例函数的概念
1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为， 

在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；
2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解 

析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；
3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．
（二）反比例函数的图象
　　在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．
（三）反比例函数及其图象的性质
　　1．函数解析式：（）
　　2．自变量的取值范围：
　　3．图象：
（1）图象的形状：双曲线．
　　 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．　

越小，图象的弯曲度越大．
（2）图象的位置和性质：
　　与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．
　　当时，图象的两支分别位于一、三象限；
               在每个象限内，y随x的增大而减小；
　　当时，图象的两支分别位于二、四象限；
               在每个象限内，y随x的增大而增大．
（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，
             则（，）在双曲线的另一支上．
             图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，
             则（，）和（，）在双曲线的另一支上．

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