复数

一、复数的概念

1.   虚数单位i

（1）  它的平方等于，即 ；

（2）  实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满足交换律与结合律．

（3）  i的乘方： ，它们不超出的形式．

2.   复数的定义 

形如的数叫做复数， 分别叫做复数的实部与虚部

3.   复数相等 ，即，那么这两个复数相等

4.   共轭复数  时，．

性质：；；；

二、复平面及复数的坐标表示

1.   复平面 

在直角坐标系里，点z的横坐标是，纵坐标是，复数可用点来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴为实轴，y轴出去原点的部分称为虚轴．

2.   复数的坐标表示   点

3.   复数的向量表示   向量．

4.   复数的模

在复平面内，复数对应点，点Z到原点的距离叫做复数z的模，记作．由定义知，．

三、复数的运算

1.   加法   ．

几何意义：设对应向量，对应向量，则对应的向量为．因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释．

2.   减法    ．

几何意义： 设对应向量，对应向量，则对应的向量为．

表示、两点之间的距离，也等于向量的模．

3.   乘法     

4.   乘方           

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复  数

1．复数的概念：

（1）虚数单位i；

（2）复数的代数形式z=a+bi，(a, b∈R)；

（3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。

2．复数集

3．复数a+bi(a, b∈R)由两部分组成，实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部，1与i分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi就是实数，当b≠0时，a+bi是虚数，其中a=0且b≠0时称为纯虚数。

应特别注意，a=0仅是复数a+bi为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。

4．复数的四则运算

    若两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，

（1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i；

（2）减法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i；

（3）乘法：z1·z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i；

（4）除法：；

（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。

（6）特殊复数的运算：

① (n为整数)的周期性运算；  ②(1±i)² =±2i；

③ 若ω=-+i，则ω3=1，1+ω+ω2=0.

5．共轭复数与复数的模

（1）若z=a+bi，则，为实数，为纯虚数(b≠0).

（2）复数z=a+bi的模|Z|=, 且=a²+b².

6.根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d∈R，两个复数a+bi和c+di相等规定为a+bi=c+di. 由这个定义得到a+bi=0.

两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。

4．复数a+bi的共轭复数是a－bi，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。若b=0，则实数a与实数a共轭，表示点落在实轴上。

5．复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将i²=－1结合到实际运算过程中去。

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复  数

1．复数的概念：

（1）虚数单位i；

（2）复数的代数形式z=a+bi，(a, b∈R)；

（3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。

2．复数集

3．复数a+bi(a, b∈R)由两部分组成，实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部，1与i分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi就是实数，当b≠0时，a+bi是虚数，其中a=0且b≠0时称为纯虚数。

应特别注意，a=0仅是复数a+bi为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。

4．复数的四则运算

    若两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，

（1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i；

（2）减法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i；

（3）乘法：z1·z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i；

（4）除法：；

（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。

（6）特殊复数的运算：

① (n为整数)的周期性运算；  ②(1±i)² =±2i；

③ 若ω=-+i，则ω3=1，1+ω+ω2=0.

5．共轭复数与复数的模

（1）若z=a+bi，则，为实数，为纯虚数(b≠0).

（2）复数z=a+bi的模|Z|=, 且=a²+b².

6.根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d∈R，两个复数a+bi和c+di相等规定为a+bi=c+di. 由这个定义得到a+bi=0.

两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。

4．复数a+bi的共轭复数是a－bi，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。若b=0，则实数a与实数a共轭，表示点落在实轴上。

5．复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将i²=－1结合到实际运算过程中去。

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复数知识点小结

一、知识要点：

1.虚数单位:(1)它的平方等于＿＿＿，即　；  (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.

2.与－1的关系: 就是－1的一个平方根，即方程x²=＿＿＿的一个根，方程x²=－1的另一个根是＿＿＿.

3.的周期性：⁴ⁿ⁺¹=＿＿＿, ⁴ⁿ⁺²=＿＿＿,  ⁴ⁿ⁺³=＿＿＿,  ⁴ⁿ=＿＿.

4.复数的定义：形如的数叫复数，＿＿＿叫复数的实部，＿＿叫复数的虚部.全体复数所成的集合叫做复数集，用字母＿＿＿表示.　

5.复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的＿＿＿形式.

6.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：

对于复数，当且仅当＿＿＿时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当＿＿＿时，复数z=a+bi叫做虚数；当＿＿＿时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当＿＿＿时，z就是实数0.

7.复数集与其它数集之间的关系：N＿＿＿Z＿＿＿Q＿＿＿R＿＿＿C.

8.两个复数相等的定义：

如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.

即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di＿＿＿

一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小.　只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小.　

9.复平面、实轴、虚轴：

点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数.

对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.

10.复数z₁与z₂的和的定义：z₁+z₂=(a+bi)+(c+di)= ＿＿＿.

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复数知识点

   

考试内容：

 　 复数的概念．

　　复数的加法和减法．

　　复数的乘法和除法．

　　数系的扩充．

考试要求：

（1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．

（2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算．

（3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想．

1. ⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即.

⑵复数及其相关概念：

①  复数—形如a + bi的数（其中）；

②  实数—当b = 0时的复数a + bi，即a；

③  虚数—当时的复数a + bi；

④  纯虚数—当a = 0且时的复数a + bi，即bi.

⑤  复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数）

⑥  复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.

⑶两个复数相等的定义：

.

⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.

注：①若为复数，则若，则.（×）[为复数，而不是实数]

若，则.（√）

②若，则是的必要不充分条件.（当，

时，上式成立）

2. ⑴复平面内的两点间距离公式：.

其中是复平面内的两点所对应的复数，间的距离.

由上可得：复平面内以为圆心，为半径的圆的复数方程：.

⑵曲线方程的复数形式：

①为圆心，r为半径的圆的方程.

②表示线段的垂直平分线的方程.

③为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若，此方程表示线段）.

④表示以为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若，此方程表示两条射线）.

⑶绝对值不等式：

设是不等于零的复数，则

①.

左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.

②.

左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.

注：.

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复数

一、复数的概念

1.   虚数单位i

（1）  它的平方等于，即 ；

（2）  实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满足交换律与结合律．

（3）  i的乘方： ，它们不超出的形式．

2.   复数的定义 

形如的数叫做复数， 分别叫做复数的实部与虚部

3.   复数相等 ，即，那么这两个复数相等

4.   共轭复数  时，．

性质：；；；

二、复平面及复数的坐标表示

1.   复平面 

在直角坐标系里，点z的横坐标是，纵坐标是，复数可用点来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴为实轴，y轴出去原点的部分称为虚轴．

2.   复数的坐标表示   点      3.复数的向量表示   向量．

4.复数的模

在复平面内，复数对应点，点Z到原点的距离叫做复数z的模，记作．由定义知，．

三、复数的运算

1.   加法   ．

几何意义：设对应向量，对应向量，则对应的向量为．因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释．

2.   减法    ．

几何意义： 设对应向量，对应向量，则对应的向量为．

表示、两点之间的距离，也等于向量的模．

3.   乘法     

4.   乘方           

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高中数学第十五章 复数

考试内容：

 　 复数的概念．

　　复数的加法和减法．

　　复数的乘法和除法．

　　数系的扩充．

考试要求：

（1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．

（2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算．

（3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想．

§15. 复数  知识要点

1. ⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即.

⑵复数及其相关概念：

①       复数—形如a + bi的数（其中）；

②       实数—当b = 0时的复数a + bi，即a；

③       虚数—当时的复数a + bi；

④       纯虚数—当a = 0且时的复数a + bi，即bi.

⑤       复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数）

⑥       复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.

⑶两个复数相等的定义：

.

⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.

注：①若为复数，则若，则.（×）[为复数，而不是实数]

若，则.（√）

②若，则是的必要不充分条件.（当，

时，上式成立）

2. ⑴复平面内的两点间距离公式：.

其中是复平面内的两点所对应的复数，间的距离.

由上可得：复平面内以为圆心，为半径的圆的复数方程：.

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