总结

基本初等函数的导数公式：

1、（tanx）’=sec2x

2、（secx）’=secx*tanx

3、(cotx)’=-csc2x

4、(cscx)’=-cscx*cotx

5、arcsinx→1/（1-x2）?

6、arccosx→（-1）/（1-x2）?

7、arctanx→1/（1+x2）

8、arccotx→（-1）/（1+x2） 双曲：

Shx=（ex-e-x）/2→chx

Chx=（ex+e-x）/2→shx

Thx=（ex-e-x）/（ex+e-x）→1/ch2x

Arcshx=㏑[x+(x2+1)?] (-∞<x<+∞)→1/（1+x2）? Arcchx=㏑[x+(x2-1)?] (x≥1)→1/（x2-1）? Arcthx=1/2[㏑(1+x/1-x)] (-1<x<1)→1/（1-x2）

隐函数的导数：两边求导

参数方程分别求导。

对数求导法。

参数方程二阶：一阶导数的导数除x对于t的导数。

微分：dy=dx*f’（x）

Δy=dy+o（x）

绝对误差限，相对误差限。

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导数专题

一．本章知识结构

二．本章知识总结

（1）导数的概念：

1．导数的定义：对函数y=f(x)，在点x=x0处给自变量x以增量x，函数y相应有增量y=f(x0+x)－f(x0)，若极限存在，则此极限称为f(x)在点x=x0处的导数，记为f ’(x0)，或y’|；

2．导函数：如果函数y=f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，就说y=f(x)在区间(a，b)内可导．即对于开区间(a，b)内每一个确定的x0值，都相对应着一个确定的导数f ’(x0)，这样在开区间(a，b)内构成一个新函数，把这一新函数叫做f(x)在(a，b)内的导函数．简称导数．记作f ’(x)或y’.

即f ’(x)=y’==。

3．导数的几何意义：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线斜率为k＝f ’(x0)．函数 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线方程为 y－y0=f ’(x0)·(x－x0)．函数y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的法线方程为y－y0＝－(x－x0)或x＝x0.

（2）常见函数的导数：

(c)’=0, (c为常数)；(xm)’=mx；(sinx)’=cosx；

(cosx)’=－sinx；(ex)’=ex；(ax)’=ax·lna；(lnx)’=；(ligax)’=.

（3）导数的运算：

1．函数的和或差的导数

法则：两个函数的和或差的导数，等于两个函数的导数的和或差，即(u±v)’＝u’±v’.

2．函数的积的导教

  法则：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即  (uv)’＝u’v+v’u.

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概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结

基本概念、公式及方法是数学解题的基础工具和基本技能，为此作为高三学生，务必首先要掌握高中数学中的概念、公式及基本解题方法，其次要熟悉一些基本题型，明确解题的易误点，还应了解一些常用结论，最后还要掌握一些的应试技巧。本资料对高中数学所涉及到的概念、公式、常见题型、常用方法和结论及解题中的易误点，按章节进行了系统的整理，最后阐述了考试中的一些常用技巧，相信通过对本资料的认真研读，一定能大幅度提升高考数学成绩。

四、导数与微积分

1、导数定义：记作或，即=.

注：函数在点处连续是在点处可导的必要不充分条件.

2、常用函数的导数公式：① 　这里是常数。即常数的导数值为0。

②　特别地：  

③   ④   ⑤         ⑥   ⑦     ⑧

3、求导数的四则运算法则及复合函数的求导法则

           

4、导数的意义：①几何意义：表示经过曲线上的切点的切线的斜率。②物理意义：表示即时速度。表示加速度。

5、导数的应用：1）、求切线的方程：①已知切点时求切线的步骤：求出函数在点的导数，即曲线在切点的切线的斜率；再利用点斜式方程为：的可得切线的方程。②若未知切点，根据需要，可先设切点坐标为，再根据具体问题用待定系数法求解。例：求过点且与曲线在点处的切线平行的直线方程

2）、导数与函数的单调性的关系：①在区间上恒成立区间上为增函数；②区间上为增函数区间上恒在成立

单调区间的求解过程：已知，先分析的定义域；再求导数 ；最后解不等式，解集在定义域内的部分为增区间（解不等式，解集在定义域内的部分为减区间）。

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导数题型归纳总结

函数f(x)在x0处的导数：f?(x0)

=lim?x?0f(x0??x)?f(x0)?y=lim ?x?x?0?x

函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义是在该点处的切线的斜率即k?f?(x0) 求切线方程：先用导数求斜率，再用点斜式求出切线方程；切点既在直线上又在曲线上 注：(x1,y1)要先设切点(x0,f(x0))，用k=f?(x0)?y1?f(x0) x1?x0

21、若曲线y?x?ax?b在点(0,b)处的切线方程是x?y?1?0，则a?b?232、若存在过点(1,0)的直线与曲线y?x和y?ax?15x?9都相切，则a=4

3、已知y?x?2x，则过原点(0,0)的切线方程是 32

34、★已知f(x)?x?3x，过点A(1,m)(m??2)可作y?f(x)的三条切线，则m的范围是

，?1)的切线方程5、（曲线上一点）求过曲线y?x3?2x上的点(1 注：过曲线上一点的切线，该点未必是切点

6、【2012·辽宁】已知P,Q为抛物线x2=2y上两点，点P,Q的横坐标分别为4，?2，过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为

(A) 1 (B) 3 (C) ?4 (D) ?

8

y??0单调递增；y??0单调递减 极值问题：左升右降有极大值；左降右升有极小值；极值点的左右两侧f?(x)的符号相反； f?(x)=0的点不一定是极值点，但极值点一定满足f?(x)=0；

求函数极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数，令f?(x)=0，找出所有的驻点；③ 检查驻点左右的符号，左正右负有极大值，左负右正有极小值；

函数f(x)在?a,b?上连续，则f(x)在极值点或端点处取得最值 1、函数f(x)?(x?3)e的单调递增区间是 x ( )

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《导数及其应用》知识点总结

一、导数的概念和几何意义

    1. 函数的平均变化率：函数在区间上的平均变化率为：。

    2. 导数的定义：设函数在区间上有定义，，若无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数A，则称函数在处可导，并称该常数A为函数在处的导数，记作。函数在处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。

    3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量；（2）求平均变化率：；（3）取极限，当无限趋近与0时，无限趋近与一个常数A，则.

    4. 导数的几何意义：

    函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：

   （1）求出在x₀处的导数，即为曲线在点处的切线的斜率；

   （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为。

    当点不在上时，求经过点P的的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线在点处的切线平行与y轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为。

    5. 导数的物理意义：

质点做直线运动的位移S是时间t的函数，则表示瞬时速度，表示瞬时加速度。

二、导数的运算

1. 常见函数的导数：

（1）(k, b为常数)；              （2）(C为常数)；

（3）；                                          （4）；

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高考数学复习详细资料——导数概念与运算知识清单

1．导数的概念

函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）－f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=。如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f’（x）或y’|。

即f（x）==。

说明：

（1）函数f（x）在点x处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数。

（2）是自变量x在x处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x处的导数的步骤（可由学生来归纳）：

（1）求函数的增量=f（x+）－f（x）；

（2）求平均变化率=；

（3）取极限，得导数f’(x)=。

2．导数的几何意义

函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x））处的切线的斜率是f’（x）。相应地，切线方程为y－y=f/（x）（x－x）。

3．几种常见函数的导数:

①  ②   ③;   ④;

⑤⑥;   ⑦;   ⑧.

4．两个函数的和、差、积的求导法则

法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，

即： (

法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个

函数乘以第二个函数的导数，即：

若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：

法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：‘=（v0）。

形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y＇|= y＇| ·u＇|

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导数

考试内容：
数学探索©版权所有www.delve.cn导数的背影．
数学探索©版权所有www.delve.cn导数的概念．
数学探索©版权所有www.delve.cn多项式函数的导数．
数学探索©版权所有www.delve.cn利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．
数学探索©版权所有www.delve.cn考试要求：
数学探索©版权所有www.delve.cn（1）了解导数概念的某些实际背景．
数学探索©版权所有www.delve.cn（2）理解导数的几何意义．
数学探索©版权所有www.delve.cn（3）掌握函数，y=c(c为常数)、y=xn(n∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数．
数学探索©版权所有www.delve.cn（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．
数学探索©版权所有www.delve.cn（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值．

知识要点

 

1. 导数（导函数的简称）的定义：设是函数定义域的一点，如果自变量在处有增量，则函数值也引起相应的增量；比值称为函数在点到之间的平均变化率；如果极限存在，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即=.

注：①是增量，我们也称为“改变量”，因为可正，可负，但不为零.

②以知函数定义域为，的定义域为，则与关系为.

2. 函数在点处连续与点处可导的关系：

⑴函数在点处连续是在点处可导的必要不充分条件.

可以证明，如果在点处可导，那么点处连续.

事实上，令，则相当于.

于是

⑵如果点处连续，那么在点处可导，是不成立的.

例：在点处连续，但在点处不可导，因为，当＞0时，；当＜0时，，故不存在.

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