二元一次方程组

一、二元一次方程组

1．二元一次方程定义：

一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程。

2．二元一次方程组定义：

把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

3．二元一次方程的解：

使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。

4．二元一次方程组的解：

二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

典型例题：

1．在方程组、、、、  、中，是二元一次方程组的有（     ）

A、2个     B、3个     C、4个     D、5个

2．若,则的值为（     ）

A. 3       B. 4     C.   5        D.6

3、与已知二元一次方程5x-y=2组成的方程组有无数多个解的方程是（     ）

A、10x+2y=4     B、4x-y=7       C、20x-4y=3     D、15x-3y=6

4、若是与同类项，则的值为 （     ）

A、1             B、－1           C、－3          D、以上答案都不对

5、在方程(k²-4)x²+(2-3k)x+(k+1)y+3k=0中，若此方程为二元一次方程，则k值为（     ）

A、2            B、-2          C、2或-2        D、以上答案都不对．

二、二元一次方程组的解法

1．一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决

   两种消元方法：代入消元法、加减消元法

2．二元一次方程组的解有三种情况： 　　

二元一次方程组的解的情况有以下三种：

①     当时，方程组有无数多解.（∵两个方程等效）

②     当时，方程组无解.（∵两个方程是矛盾的）

③     当（即a₁b₂－a₂b₁≠0）时，方程组有唯一的解：

　　　（这个解可用加减消元法求得）　　

注意：用加减消元法或代入消元法解决问题时，应注意用哪种方法简单，避免计算麻烦或导致计算错误。

典型例题：

1．三个二元一次方程2x+5y—6=0，3x—2y—9=0，y=kx—9有公共解的条件是k=（    ）

   A．4      B．3       C．2        D．1

2．如果是方程组的解, 则的关系是(     )

   A.      B.      C.      D.

3．若x、y均为非负数，则方程6x=-7y的解的情况是（   ）

A.无解         B.有唯一一个解     C.有无数多个解             D.不能确定

4．已知方程组有无数多个解，则a、b的值等于（      ）

A. a=-3,b=-14 B. a=3,b=-7      C. a=-1,b=9           D. a=-3,b=14

5．若方程组  的解是  则方程组的解是（    ）

A.   B.    C.         D.

3．书中没有的几种解法

(1) 加减-代入混合使用的方法.

例:  13x+14y=41 (1) 　　

14x+13y=40 (2) 　　

解: (2)-(1)，得 　  x-y=-1 　　x=y-1 (3) 　　

把(3)代入(1)，得 　13(y-1)+14y=41 　　

27y=54 　　

y=2 　　

把y=2代入(3)得 　　x=1 　　

所以:   x=1,

y=2 　

特点: 两方程相加减，出现单个x或单个y，这样就适用接下来的代入消元.

 (2) 换元法 　　

例：   (x+5)+(y-4)=8 　　

(x+5)-(y-4)=4 　　

解:令x+5=m,y-4=n 　　

原方程可写为 　　m+n=8 　　

m-n=4 　　

解得m=6, n=2 　　

所以x+5=6,

y-4=2 　　

所以x=1, y=6 　　

特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程，这也是换元主要原因。

(3) 另类换元 　　

例：   x:y=1:4 　　

5x+6y=29 　　

解：令x=t, y=4t 　　

方程(2)可写为：5t+6*4t=29 　　

29t=29 　　

t=1 　　

所以x=1,y=4
典型例题：

1、用代入法解下列方程组

（1）                    （2）    

（3）                     （4） 

2、用加减法解下列方程组

（1）                   （2）

（3）                   （4）

三、二元一次方程组的应用

1．列方程（组）解应用题

具体步骤： 　　

(1)审题：

理解题意，弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么. 　　

(2)设元（未知数）：  ①直接未知数 ②间接未知数

一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解. 　　

(3)用含未知数的代数式表示相关的量. 　　

(4)寻找相等关系，列方程. 一般地，未知数个数与方程个数是相同的. 　　

(5)解方程及检验； 　　

(6)答.

2．应用题的常见题型及数量关系：

(1)行程问题：路程＝速度×时间　　　

(2)工程问题：工作总量＝工作效率×工作时间

(3)浓度问题：溶质＝溶液×浓度

(4)利率问题：本息和＝本金＋利息，利息＝本金×利率×期数

(5)利润问题：利润＝成本×利润率，利润＝售价－成本

(6)价格问题：总价＝单价×数量

(7)水流问题：顺水速度＝静水速度＋水流速度，逆水速度＝静水速度－水流速度

此外还有：等积变形问题、数字问题、比例问题、调配问题、与几何图形相关的问题

典型例题：

1、有甲乙两种债券，年利率分别是10%与12%，现有400元债券，一年后获利45元，问两种债券各有多少？

2、一种饮料大小包装有3种，1个中瓶比2小瓶便宜2角，1个大瓶比1个中瓶加1个小瓶贵4角，大、中、小各买1瓶，需9元6角。3种包装的饮料每瓶各多少元？

3、某班同学去18千米的北山郊游。只有一辆汽车，需分两组，甲组先乘车、乙组步行。车行至A处，甲组下车步行，汽车返回接乙组，最后两组同时达到北山站。已知汽车速度是60千米/时，步行速度是4千米/时，求A点距北山站的距离。

4、某校体操队和篮球队的人数是5:6，排球队的人数比体操队的人数2倍少5人，篮球队的人数与体操队的人数的3倍的和等于42人，求三种队各有多少人？

5、甲乙两地相距60千米，A、B两人骑自行车分别从甲乙两地相向而行，如果A比B先出发半小时，B每小时比A多行2千米，那么相遇时他们所行的路程正好相等。求A、B两人骑自行车的速度。（只需列出方程即可）

7、2辆大卡车和5辆小卡车工作2小时可运送垃圾36吨，3辆大卡车和2辆小卡车工作5小时可运输垃圾80吨，那么1辆大卡车和1辆小卡车各运多少吨垃圾。

8、12支球队进行单循环比赛，规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。若有一支球队最终的积分为18分，那么这个球队平几场？

9、现有A、B、C三箱橘子，其中A、B两箱共100个橘子，A、C两箱共102个，B、C两箱共106个，求每箱各有多少个？

第二篇：二元一次方程组知识点总结与经典练习

七年级数学《二元一次方程组》辅导材料1

一、知识点总结

1、二元一次方程：

含有两个未知数（x和y），并且含有未知数的项的次数都是，像这样的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是.

2、二元一次方程的解：一般地，能够使二元一次方程的左右两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【二元一次方程有无数组解】

3、二元一次方程组：含有两个未知数（x和y），并且含有未知数的项的次数都是，将这样的两个或几个一次方程合起来组成的方程组叫做二元一次方程组.

4、二元一次方程组的解：二元一次方程组中的几个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.【二元一次方程组解的情况：①无解，例如：，；②有且只有一组解，例如：；③有无数组解，例如：】

5、二元一次方程组的解法：代入消元法和加减消元法。

6、三元一次方程组及其解法：方程组中一共含有三个未知数，含未知数的项的次数都是1，并且方程组中一共有两个或两个以上的方程，这样的方程组叫做三元一次方程组。解三元一次方程组的关键也是“消元”：三元→二元→一元

7、列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步。列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。

1． 行程问题（匀速运动）   基本关系：s=vt   ⑴相遇问题(同时出发)：   ⑵追及问题（同时出发）：   ⑶水（风）中航行：   2． 配料问题：溶质=溶液×浓度   溶液=溶质+溶剂    3．增长率问题：    

4．工程问题：基本关系：工作量=工作效率×工作时间（常把工作量看着单位“1”）。5. 数字表示问题：如，一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为    c，则这个三位数为：100a+10b+c，而不是abc  

5．几何问题：常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质等。 

二、典型例题分析

例1、若方程是关于的二元一次方程，求、的值.

例2、将方程变形，用含有的代数式表示.

例3、方程在正整数范围内有哪几组解？

例4、若是方程组的解，求的值.

例5、已知是关于的二元一次方程，求的值.

例6、二元一次方程组的解x，y的值相等，求k．

例7：（1）用代入消元法解方程组：

                

（2）、用加减法解二元一次方程组：

                  

(3)、解复杂的二元一次方程组

．               

（提高题）例8、若关于X,y的二元一次方程组x+y=5k,x-y=9k的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，求k的值。

三、跟踪训练

知识点1:二元一次方程及其解

2、若是关于的二元一次方程的一个（组）解，则的值为（   ）         　           

3、二元一次方程在正整数范围内的解有（   ）.

无数个        两个　　       三个         四个

4、已知在方程中，若用含有的代数式表示，则         ，用含有的代数式表示，则         。

5、若，则        。

知识点2：二元一次方程组及其解

2、下列哪组数是二元一次方程组的解（    ）

        　　               

3、若方程组有无数组解，则、的值分别为（      ）

 a=6,b=-1        a=3,b=-2　　

4、写出一个以 为解的二元一次方程组          ；写出以为解的一个二元一次方程          .

5、已知是二元一次方程组的解，则的值为          。

6、如果且那么的值是           .

7、若与是同类项，则         

知识点3  二元一次方程组的解法

8、选择适当的方法解方程组                  

                        

（提高题）1、已知关于的方程组的解满足求式子的值.

2、小花在家做家庭作业时，发现练习册上一道解方程组的题目被墨水污染，（   ）表示被污染的内容，她着急地翻开书后面的答案，这道题目的解是，聪明的你能够帮她补上（  ）的内容吗？

当堂检测

一、选择题：（每题3分，共33分）

1．下列方程中，是二元一次方程的是（  ）

    A．3x－2y=4z     B．6xy+9=0     C．+4y=6     D．4x=

2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（  ）

    A．

3．二元一次方程5a－11b=21  （  ）

    A．有且只有一解    B．有无数解    C．无解         D．有且只有两解

4．方程y=1－x与3x+2y=5的公共解是（  ）

    A．

5、方程组的解是（   ）

A、      B、    C、    D、

6、设方程组的解是那么的值分别为（   ）

A、       B、       C、         D、

7．某年级学生共有246人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有（  ）

A．

二、填空题（每题3分，共33分）

1．若x^3m－3－2y^n－1=5是二元一次方程，则m=_____，n=______．

2．若（3x-2y+1）²+=0，则x=______，y=______.

3．已知的解，则m=_______，n=______．

4、如果是关于的一元一次方程，那么=         。

5、班上有男女同学32人，女生人数的一半比男生总数少10人，若设男生人数为x人，女生人数为y人，则可列方程组为                 

6、如果是同类项，那么 =        ，=        。

三、用适当的方法解下列方程

                 

  

                 

四、（本题6分）某厂买进甲、乙两种材料共56吨，用去9860元。若甲种材料每吨190元，乙种材料每吨160元，则两种材料各买多少吨？

题型一、列二元一次方程组解决生产中的配套问题

1、  某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只，贤计划用132米这样布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套

题型二、列二元一次方程组解决行程问题

2、  甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇。相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时候后调转车头原速返回，在汽车再次出发后半小时后追上乐拖拉机，这时，汽车、拖拉机各行驶了多少千米？

3、  一轮船从甲地到乙地顺流航行需4小时，从乙地到甲地逆流航行需6小时，那么一木筏由甲地漂流到乙地需要多长时间？

题型三、列二元一次方程解决商品问题

4、  在“五一”期间，某超市打折促销，已知A商品7.5折销售，B商品8折销售，买20件A商品与10件B商品，打折前比打折后多花460元，打折后买10件A商品和10件B商品共用1090元。求A、B商品打折前的价格。

题型四、列二元一次方程组解决工程问题

5、  某城市为了缓解缺水状况，实施了一项饮水工程，就是把200千米以外的一条大河的水引到城市中来，把这个工程交给甲、乙两个施工队，工期为50天，甲、乙两队合作了30天后，乙队 因另外有任务需要离开10天，于是甲队加快速度，每天多修0.6千米，10天后乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的速度不变，乙队每天比原来多修0.4千米，结果如期完成，问：甲、乙两队原计划每天各修多少千米？

题型五：列二元一次方程组解决增长问题

6、  某中学现有学生4200人，计划一年后初中在校学生增加8%，高中在校学生增加11%，这样全校在校生将增加10%，则该校现在有初中生多少人？在校高中生有多少人？