百时教育

解排列组合应用题的21种策略

排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.

1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.

例1.五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法种数有（     ）

A、60种      B、48种      C、36种     D、24种

解析：把视为一人，且固定在的右边，则本题相当于4人的全排列，种，答案：.

2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.

例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（     ）

A、1440种      B、3600种      C、4820种     D、4800种

解析：除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位有种，不同的排法种数是种，选.

3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.

例3.五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻）那么不同的排法种数

是（    ）

A、24种      B、60种      C、90种     D、120种

解析：在的右边与在的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即种，选.

4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.

例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（     ）

A、6种      B、9种      C、11种     D、23种

解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选.

5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.

例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（     ）

A、1260种      B、2025种      C、2520种     D、5040种

解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有种，选.

（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（     ）

A、种      B、种      C、种     D、种

答案：.

6.全员分配问题分组法:

例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？

解析：把四名学生分成3组有种方法，再把三组学生分配到三所学校有种，故共有种方法.

说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.

（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（   ）

A、480种      B、240种      C、120种     D、96种

答案：.

7.名额分配问题隔板法:

例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？

解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为种.

8.限制条件的分配问题分类法:

例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？

解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：

①若甲乙都不参加，则有派遣方案种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有方法，所以共有；③若乙参加而甲不参加同理也有种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有种，共有方法.所以共有不同的派遣方法总数为种.

9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.

例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（     ）

A、210种      B、300种      C、464种     D、600种

解析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有个，

个，合并总计300个,选.

（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？

解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做共有86个元素；由此可知，从中任取2个元素的取法有，从中任取一个，又从中任取一个共有，两种情形共符合要求的取法有种.

（3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？

解析：将分成四个不相交的子集，能被4整除的数集；能被4除余1的数集，能被4除余2的数集，能被4除余3的数集，易见这四个集合中每一个有25个元素；从中任取两个数符合要；从中各取一个数也符合要求；从中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有种.

10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式.

例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？

解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：

种.

11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。

例11.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？

解析：老师在中间三个位置上选一个有种，4名同学在其余4个位置上有种方法；所以共有种。.

12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。

例12.（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（     ）

A、36种      B、120种      C、720种     D、1440种

解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共种，选.

（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？

解析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有种，其余5个元素任排5个位置上有种，故共有种排法.

13.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:

例13.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，则不同的取法共有 （     ）

A、140种      B、80种      C、70种     D、35种

解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有种,选.

解析2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有台,选.

14.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.

例14.（1）四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？

解析：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有种，再排：在四个盒中每次排3个有种，故共有种.

（2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？

解析：先取男女运动员各2名，有种，这四名运动员混和双打练习有中排法，故共有种.

15.部分合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.

例15.（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（      ）

A、70种      B、64种      C、58种     D、52种

解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有个.

（2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（     ）

A、150种      B、147种      C、144种     D、141种

解析：10个点中任取4个点共有种，其中四点共面的有三种情况：①在四面体的四个面上，每面内四点共面的情况为，四个面共有个；②过空间四边形各边中点的平行四边形共3个；③过棱上三点与对棱中点的三角形共6个.所以四点不共面的情况的种数是种.

16.圆排问题单排法:把个不同元素放在圆周个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列个普通排列：

在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，个元素的圆排列数有种.因此可将某个元素固定展成单排，其它的元素全排列.

例16.5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？

解析：首先可让5位姐姐站成一圈，属圆排列有种，然后在让插入其间，每位均可插入其姐姐的左边和右边，有2种方式，故不同的安排方式种不同站法.

说明：从个不同元素中取出个元素作圆形排列共有种不同排法.

17.可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地个不同元素排在个不同位置的排列数有种方法.

例17.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？

解析：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有种不同方案.

18.复杂排列组合问题构造模型法:

例18.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？

解析：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法,所以满足条件的关灯方案有10种.

说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决.

19.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:

例19.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？

解析：从5个球中取出2个与盒子对号有种，还剩下3个球与3个盒子序号不能对应，利用枚举法分析，如果剩下3，4，5号球与3，4，5号盒子时，3号球不能装入3号盒子，当3号球装入4号盒子时，4，5号球只有1种装法，3号球装入5号盒子时，4，5号球也只有1种装法，所以剩下三球只有2种装法，因此总共装法数为种.

20.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法:

例20.（1）30030能被多少个不同偶数整除？

解析：先把30030分解成质因数的形式：30030=2×3×5×7×11×13；依题意偶因数2必取，3，5，7，11，13这5个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为

个.

（2）正方体8个顶点可连成多少队异面直线？

解析：因为四面体中仅有3对异面直线，可将问题分解成正方体的8个顶点可构成多少个不同的四面体，从正方体8个顶点中任取四个顶点构成的四面体有个，所以8个顶点可连成的异面直线有3×58=174对.

21.利用对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.

例21.（1）圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？

解析：因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的10个点可以确定多少个不同的四边形，显然有个，所以圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有个.

（2）某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从到的最短路径有多少种？

解析：可将图中矩形的一边叫一小段，从到最短路线必须走7小段，其中：向东4段，向北3段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走过4段的走法，便能确定路径，因此不同走法有种.

第二篇：排列组合问题的解题策略

排列组合问题的解题策略

樊晓春 甘肃省泾川县高平中学 744306

摘要：排列组合问题的解法有特殊元素优先法，相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法，正难问题排除法，多元问题合理分类与准确分步，定序问题除法，大小排列问题字典法，名额分配问题隔板法，复杂问题转换法。 关键字：排列、组合、解题策略

排列组合问题是历年高考必考的内容，题目设置在选择或填空题，虽然分值少，但是也是容易失分的题，下面就简单的介绍几种排列组合问题的解法。

1．特殊元素——优先法：

对于含有限定条件的排列、组合问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其它元素。

例1.用0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有多少个？

[解析]因组成的三位数为偶数，末尾的数字必须是偶数，又0不能排在首位，故0是其中的特殊元素应优先安排。①当0排在末尾时，有A4个；②当0不排在

111末尾时，有A2个，根据分类计数原理，其中偶数共有30个。 ?A3?A32

例2.1名老师和4名获奖学生排成一排照相留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法多少种?

[解析]优先考虑对特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上来排，有3种。剩下的位置由4名学生全排列，有A4种。因此共有3A4?72种不同的排法。

2．相邻问题——捆绑法：

对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”在一起看作一个元素与其它元素进行排列，然后再对这几个元素进行全排列。 例3.5名学生和3名老师站成一排照相，3名老师必须站在一起的不同排法共有 种。

[解析]将3名老师捆绑起来看成一个元素，与5名学生排列，有A6种排法；而3名老师之间又有A3种排法，故满足条件的排法共有A6A3?726种。 例4.计划展出10幅不同的画，其中一幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成364463

一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有多少种？

[解析]把每种画捆绑在一起，看成一个整体，又水彩画较特殊，应优先安排。水彩画放中间，油画和国画放两端有A2种排法。再考虑油画和国画本身可

245全排列，故排列方法共有A2A4A5种。 2

3．不相邻问题——插空法：

对于某几个元素要求不相邻的排列问题，可先将余下的元素进行排列，然后在这些元素形成的空隙中将不相邻的元素进行排列。

例5.有10个学生，其中4人中任意两个不能站在一起，有多少种排列次序？

[解析]先将其余6人进行排列，有A6种；再把不相邻的4人分别排在前6人

64形成的7个空隙中，有A7种。所以共有A6种排列次序。 ?A746

例6.有4名男生，3名女生站成一排，任何两名女生彼此不相邻，有多少不同的排法？

[解析]由于要求女生不相邻，应先排男生，有A4种；然后在男生形成的5个空隙中分别安排3名女生，有A5种，所以共有A4?A5种。

4．正难问题——排除法：

对某些排列组合问题，当从正面入手情况复杂，不易解决时，可考虑从反面入手，将其等价转换为一个较简单的问题来处理。

例7.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有

A、 140种 B、120种 C、 35种 D、 34种

[解析]本题只要选出四个人就行，所以只选而不排，是组合问题，先不考虑附加条件，从7名学生中选出4名共有C7种选法，其中不符合条件的是选出的4人都是男生，即C4=1种。所以符合条件的选法是34种，故选D。

例8.四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有

A、150种 B、147种 C、144种 D、141种

[解析]首先只要考虑从10个点中任取4个点的取法，有C10种，然后再取掉“共面”的情况：其中一个面内的6个点中任意4点都共面，任取4点有4?C6种；44443434

又每条棱上三点与相对棱的中点共面共有6种；各棱的中点中4点共面的有3种。

44故10个点中4点不共面的取法，共有C10?4?C6?6?3?141种。故选D项。

5．多元问题——合理分类与准确分步：

对于约束条件较多的排列组合问题，可能的情况也较多，可根据结果要求，按元素性质进行分类，按时间发生的连续过程分步，做到分类标准明确、分布层次清楚，不重不漏的原则。

例9．平面上4条平行直线与另5条平行直线互相垂直，则它们构成的矩形共有 个

[解析]按构成矩形的过程可分为如下两步：第一步，先在4条平行直线中取两条，有C4种；第二步，再在5条平行线中取两条，有C5种，这样取出的4条

22直线构成一个矩形。根据乘法原理，构成的矩形共有C4?C5?60个。 22

6．定序问题——除法：

对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同排列，然后用总排列数除以这几个数的全排列数。(如有n个元素,其中m个元

Ann素的顺序一定,则这个n个元素的排法有m种) Am

小于十位数的共有 例10．由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数

A、 210种 B、300种 C、 464种 D、 600种

15 [解析]若不考虑附加条件，组成的六位数共有A5?A5?600个，而其中个位数与十位数的两种排法中只有一种符合要求，故符合要求的六位数共有15A5?A5?300个，故选B项。 2

7．大小排列问题——字典法：

对于数的大小顺序排列问题，可以采用“查字典”的方法，逐位依次确定。 例11．在由数字1、2、3、4、5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有

A、 56种 B、57种 C、58种 D、 60种

[解析]从高位向低位依次考虑，分3类：①当首位是2时，若千位是4、5，

1213则有A2?A2?4个；若千位?A3?12个；若千位是3，百位是4、5，则有A2

是3，百位是1，则只有一个数即23154，故当首位是2时，共有12+4+1=17个。②

13当首位是3时，有A4?24个。③当首位是4时，若千位是1、2，则有A2?A3?12

12个；若千位是3，百位是1、2，则有A2?A2?4个；若千位是3，百位是5，则4

只有一个数即43512，故当首位是4时，共有12+4+1=17个数。因此满足题意的数共有17+24+17=58个。故选C项。

例12．用0、1、2、3、4五个数组成无重复数字的四位数，若按从小到大排列，3204是第几个数？

[解析]从高位向低位依次考虑，分3类：①当千位是1、2时，有A2?A4?48

12个。②当千位是3时，若百位排0、1，有A2?A3?12个；若百位排2时，比320413

小的仅有3201一个。故比4304小的四位数共有48+12+1=61个，则3204是第62个。

8．名额分配问题——隔板法：

对某些复杂的排列问题，可通过构造相应的模型来处理。

例13.某校准备组建一个18人的足球队，这18人由高一年级10个班的学生组成，每个班级至少一人，名额分配方案共有多少种？

[解析]处理次类问题一般构造一个隔板模型。取18枚棋子排成一列，在相邻的每两枚棋子形成的17个空隙中选取9个插入隔板，将18个棋子分隔成10个部分，第i（1≤i≤10）个部分的棋子数对应第i个班级学生的名额，因此分配

9方案的种数与隔板的插入种数相等，即为C17种。

9.混合问题——先选后排法：

对于排列、组合的混合问题，可采取先选取元素，再进行排列的策略。 例14.12名同学合影，站成了前排除4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（ ）

A、C8A3 B、C8A6 C、C8A6 D、C8A5

[解析]分步确定满足题意的调整方法数：第一步，从后排的8人中任选2人，有C8种不同的方法；第二步，将所选定的2人逐一插入前排，依次有5、6种不同的方法，即将所选定的两人插入前排共有有5?6?A6种方法，由分步计数原理可知，满足题意的不同调整方法种数是C8A6,选C项。

10.复杂问题——转换法： 222222262222

对于有些较为复杂的排列、组合问题，若不能用以上方法解决，可以采取等价转换的方法，转化为其它问题然后解决。

例15.从正方体的八个顶点中任取三个点作三角形，其中直角三角形的个数为( ) A、56 B、52 C、 48 D、 40

[解析]首先考虑到任意一个矩形可得到四个直角三角形，于是问题转化为先求出所有可能的矩形。分为两类：⑴表面上的矩形有6个；⑵对角面有6个，因此所有可能的矩形有6+6=12个，相应的直角三角形共有4 *12=48个。故选C项.

例16.一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，从中任取4个球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不小于7的取法有多少种？

[解析]设红球取x个，白球取5-x个，依题设有2x?(5?x)?7。其中x∈N, 则解得x?2、3、4，对应白球取3、2、1。故取法种数为

233241 C4C6?C4C6?C4C6?186种.

平凉工作站王国玉推荐