排列组合题型总结

  

 排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。因而在求解排列组合应用题时，除做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏外，还应注意积累排列组合问题得以快速准确求解。

一．     直接法

1．特殊元素法

例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个

（1）数字1不排在个位和千位

 （2）数字1不在个位，数字6不在千位。

分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择，其余2位有四个可供选择，由乘法原理：=240

2．特殊位置法

（2）当1在千位时余下三位有=60，1不在千位时，千位有种选法，个位有种，余下的有，共有=192所以总共有192+60=252

二．     间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法=252

例2  有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？

     分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，类别较复杂，因而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数个，其中0在百位的有个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数-=432（个）

三．     插空法  当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。

     例3   在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？

     分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有=100中插入方法。

四．     捆绑法   当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。

例4  4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？

分析：先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有种排法，而男生之间又有种排法，又乘法原理满足条件的排法有：×=576

练习1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有    种（）

2．  某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有（）（注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有其余的就是19所学校选28天进行排列）

五．     阁板法   名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法

例5  某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共    种 。

分析：此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，可在12个名额种的11个空当中插入7块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有种

练习1.(a+b+c+d)¹⁵有多少项？

 当项中只有一个字母时，有种（即a.b.c.d而指数只有15故。

当项中有2个字母时，有而指数和为15，即将15分配给2个字母时，如何分，闸板法一分为2，即

当项中有3个字母时指数15分给3个字母分三组即可

当项种4个字母都在时  四者都相加即可．

练习2．有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？（）

3．不定方程X₁+X₂+X₃+…+X₅₀=100中不同的整数解有（）

六．     平均分堆问题  例6    6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？

  分析：分出三堆书（a₁,a₂）,(a₃,a₄)，（a₅,a₆）由顺序不同可以有=6种，而这6种分法只算一种分堆方式，故6本不同的书平均分成三堆方式有=15种

练习：1．6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？

2．某年级6个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则分派方法的种数。

七．  合并单元格解决染色问题

例7  （全国卷（文、理））如图1，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不 得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有    种（以数字作答）。

  分析：颜色相同的区域可能是2、3、4、5．

  下面分情况讨论:

  (ⅰ)当2、4颜色相同且3、5颜色不同时，将2、4合并成一个单元格，此时不同的着色方法相当于4个元素     ①③⑤的全排列数

 （ⅱ）当2、4颜色不同且3、5颜色相同时，与情形(ⅰ)类似同理可得 种着色法．

（ⅲ）当2、4与3、5分别同色时，将2、4；3、5分别合并，这样仅有三个单元格

               ①

从4种颜色中选3种来着色这三个单元格，计有种方法．

  由加法原理知：不同着色方法共有2=48+24=72（种）

练习1（天津卷（文））将3种作物种植

                                                       

                                                   

在如图的5块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物 ，

不同的种植方法共      种（以数字作答） （72）

2．（江苏、辽宁、天津卷（理））某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分（如图3），现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话，不同的栽种方法有     种（以数字作答）．（120）

图3                                图4

3．如图4，用不同的5种颜色分别为ABCDE五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可以反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数．（540）

4．如图5：四个区域坐定4个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是      种（84）

图5                                 图6

5．将一四棱锥(图6)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法共             种（420）                                             

八．     递推法

例八 一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？

分析：设上n级楼梯的走法为a_n种，易知a₁=1,a₂=2,当n≥2时，上n级楼梯的走法可分两类：第一类：是最后一步跨一级，有a_n-1种走法，第二类是最后一步跨两级，有a_n-2种走法，由加法原理知：a_n=a_n-1+ a_n-2,据此，a₃=a₁+a₂=3,a₄=a_#+a₂=5,a₅=a₄+a₃=8,a₆=13,a₇=21,a₈=34_,a₉=55,a₁₀=89.故走上10级楼梯共有89种不同的方法。

九.几何问题

 1．四面体的一个顶点位A,从其它顶点与各棱中点取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有   种（3+3=33）

2.四面体的棱中点和顶点共10个点（1）从中任取3个点确定一个平面，共能确定多少个平面？

(-4+4-3+3-6C+6+2×6=29)

 (2)以这10个点为顶点，共能确定多少格凸棱锥？ 三棱锥 C₁₀⁴-4C₆⁴-6C₄⁴-3C₄⁴=141 四棱锥 6×4×4=96 3×6=18 共有114

十．先选后排法

例9 有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选派方法有（  ）

A.1260种            B.2025种             C.2520种             D.5054种

分析：先从10人中选出2人

十一．用转换法解排列组合问题

例10．某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．

解  把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题．=20种

例11．个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法．

解  把问题转化为5个相同的白球不相邻地插入已经排好的10个相同的黑球之间的9个空隙种的排列问题．=126种

例12   从1，2，3，…，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的去法．

解  把稳体转化为10个相同的黑球与990个相同白球，其其中黑球不相邻的排列问题。

例13  某城市街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种．

解   无论怎样走必须经过三横四纵，因此，把问题转化为3个相同的白球与四个相同的黑球的排列问题．=35（种）

例14 一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法．

解   根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶，6个一步登两个台阶，因此，把问题转化为6个相同的黑球与6个相同的白球的排列问题．=924（种）．

例15   求（a+b+c）¹⁰的展开式的项数．

解  展开使的项为a^αb^βc^γ,且α+β+γ=10，因此，把问题转化为2个相同的黑球与10个相同的白球的排列问题．=66（种）

例16  亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有多少种？

解  设亚洲队队员为a₁,a₂，…,a₅,欧洲队队员为b₁，b₂，…，b₅，下标表示事先排列的出场顺序，若以依次被淘汰的队员为顺序．比赛过程转化为这10个字母互相穿插的一个排列，最后师胜队种步被淘汰的队员和可能未参加参赛的队员，所以比赛过程可表示为5个相同的白球和5个相同黑球排列问题，比赛过程的总数为=252（种）

十二．转化命题法

例17圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少各？

分析：因两弦在圆内若有一交点，则该交点对应于一个以两弦的四端点为顶点的圆内接四边形，则问题化为圆周上的15个不同的点能构成多少个圆内接四边形，因此这些现在圆内的交点最多有=1365（个）

十三．概率法

例18一天的课程表要排入语文、数学、物理、化学、英语、体育六节课，如果数学必须排在体育之前，那么该天的课程表有多少种排法？

分析：在六节课的排列总数中，体育课排在数学之前与数学课排在体育之前的概率相等，均为，故本例所求的排法种数就是所有排法的，即A=360种

十四．除序法  例19  用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中，

（1）若偶数2，4，6次序一定，有多少个？

（2）若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？ 

解（1）（2）

十五．错位排列

例20  同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的卡片，则不同的分配方法有   种（9）

公式 1）  n=4时a₄=3(a₃+a₂)=9种  即三个人有两种错排，两个人有一种错排．

2）=n!(1-+-+…+

练习  有五位客人参加宴会，他们把帽子放在衣帽寄放室内，宴会结束后每人戴了一顶帽子回家，回家后，他们的妻子都发现他们戴了别人的帽子，问5位客人都不戴自己帽子的戴法有多少种？（44）

排列与组合的区别

排列与组合的共同点是从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素，而不同点是排列是按照一定的顺序排成一列，组合是无论怎样的顺序并成一组，因此“有序”与“无序”是区别排列与组合的重要标志．下面通过实例来体会排列与组合的区别．

【例题】 判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出种数．

（1） 高二年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？

（2） 高二数学课外活动小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？

（3） 有2、3、5、7、11、13、17、19八个质数：①从中任取两个数求它们的商，可以有多少个不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？

（4） 有8盆花：①从中选出2盆分别给甲、乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？

【思考与分析】 （1） ①由于每两人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关，是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手、乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析．

解： （1） ①是排列问题，共通了=110（封）；②是组合问题，共需握手==55（次）

（2） ①是排列问题，共有=10×9=90（种）不同的选法；②是组合问题，共=45（种）不同的选法；

（3） ①是排列问题，共有=8×7=56（个）不同的商；②是组合问题，共有=28（个）不同的积；

（4） ①是排列问题，共有=56（种）不同的选法；②是组合问题，共有=28（种）不同的选法．       （ 【反思】 区分排列与组合的关键是“有序”与“无序”。 ）

第二篇：丛文龙版排列组合题型总结 站在巨人的肩膀上,稍作整理

排列组合题型总结

    排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。因而在求解排列组合应用题时，除做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏外，还应注意积累排列组合问题得以快速准确求解。站在巨人的肩膀上，稍作整理。

一．   直接法、

1． 特殊元素法

例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个

（1）数字1不排在个位和千位

 （2）数字1不在个位，数字6不在千位。

分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择，其余2位有四个可供选择，由乘法原理：=240

2．特殊位置法

（2）当1在千位时余下三位有=60，1不在千位时，千位有种选法，个位有种，余下的有，共有=192所以总共有192+60=252

练习9．由0，1，2，3这四个数字可以组成没有重复数字且不能被5整除的四位数的个数是（    ）

      A．24个             B．12个         C．6个              D．4个

16．（本题满分12分）用0，1，2，3，4，5这六个数字

（1）       可组成多少个不同的自然数？ （2）可组成多少个无重复数字的五位数？

（3）       组成多少个无重复数字的五位奇数？

（4）       可组成多少个无重复数字的能被5整除的五位数？

（5）       可组成多少个无重复数字的且大于31250的五位数？

（6）       可组成多少个无重复数字的能被3整除的五位数？

解析：16．（1）解：可组成6+5=46656个不同的自然数

   （2）可组成个无重复数字的五位数

   （3）可组成个无重复数字的五位奇数

（4）可组成个无重复数字的能被5整除的五位数

（5）可组成个无重复数字的且大于31250的五位数？

（6）可组成个无重复数字的能被3整除的五位数？

间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法=252

例2  有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？

   分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，类别较复杂，因而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数个，其中0在百位的有个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数-=432（个）

二．插空法  当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。

例3   在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？ 分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有=100中插入方法。

1．4名男歌手和2名女歌手联合举行一场音乐会，出场顺序要求两名女歌手之间恰有一名男歌手，共有出场方案的种数是                   （    ）A．6A     B．3A   C．2A  D．AAA    

5．（北京理科第5题）记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（　B　）

Ａ．1440种                 Ｂ．960种                   Ｃ．720种                   Ｄ．480种

练习10、两男两女4个同学排成一列照相，如果要求男女相间而立，则满足条件的方法数共有（▲▲▲）

A．4种           B．8种           C．12种            D．6种   答案：B （注意）

三．捆绑法   当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。

例4   4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？

分析：先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有种排法，而男生之间又有种排法，又乘法原理满足条件的排法有：×=576

练习1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有    种（）

2．   某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有（）

（注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有其余的就是19所学校选28天进行排列）

20．（12分）7名身高互不相等的学生，分别按下列要求排列，各有多少种不同的排法？

(1)7人站成一排，要求较高的3个学生站在一起；

(2)7人站成一排，要求最高的站在中间，并向左、右两边看，身高逐个递减；

(3)任取6名学生，排成二排三列，使每一列的前排学生比后排学生矮．

20解：（1）           （2）           （3）=140．

21．（12分）4位学生与2位教师并坐合影留念，针对下列各种坐法，试问：各有多少种不同的坐法？(1)教师必须坐在中间；（48）(2)教师不能坐在两端，但要坐在一起；144

(3)教师不能坐在两端，且不能相邻．

四．闸板法   名额分配或相同物品的分配问题，适宜采用闸办法

例5  某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共    种 。

分析：此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，可在12个名额种的11个空当中插入7块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有种

练习1.(a+b+c+d)¹⁵有多少项？

 当项中只有一个字母时，有种（即a.b.c.d而指数只有15故。

当项中有2个字母时，有而指数和为15，即将15分配给2个字母时，如何分，闸板法一分为2，即

当项中有3个字母时指数15分给3个字母分三组即可

当项种4个字母都在时  四者都相加即可．

3．不定方程X₁+X₂+X₃+…+X₅₀=100中不同的正整数解有（）

4．不定方程X₁+X₂+X₃+…+X₅₀=100中不同的自然数解有（   ）

练习2．有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？（）

15、将7个不同的小球全部放入编号为2和3的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不少于该盒子的编号，则不同的放球方法共有________种（用数字作答）.  答案：91

五．平均分堆问题  例6    6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？

  分析：分出三堆书（a₁,a₂）,(a₃,a₄)，（a₅,a₆）由顺序不同可以有=6种，而这6种分法只算一种分堆方式，故6本不同的书平均分成三堆方式有=15种

例24. 6本不同的书
(1) 分给甲乙丙三人，每人两本，有多少种不同的分法?
(2) 分成三堆，每堆两本，有多少种不同的分法？
(3) 分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本，有多少种不同的分法？
(4) 甲一本，乙两本，丙三本，有多少种不同的分法?
(5) 分给甲乙丙三人，其中一人一本，一人两本，第三人三本，有多少种不同的分法?

5．12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配

方案共有（     ）A．   B．   C．    D． 

练习：1．6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？

2．某年级6个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则分派方法的种数。

六．   合并单元格解决染色问题

例7  （全国卷（文、理））如图1，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不 得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有    种（以数字作答）。分析：颜色相同的区域可能是2、3、4、5．

  下面分情况讨论:

  (ⅰ)当2、4颜色相同且3、5颜色不同时，将2、4合并成一个单元格，此时不同的着色方法相当于4个元素     ①③⑤的全排列数

 （ⅱ）当2、4颜色不同且3、5颜色相同时，与情形(ⅰ)类似同理可得 种着色法．

（ⅲ）当2、4与3、5分别同色时，将2、4；3、5分别合并，这样仅有三个单元格

               ①

从4种颜色中选3种来着色这三个单元格，计有种方法．

  由加法原理知：不同着色方法共有2=48+24=72（种）

练习1（天津卷（文））将3种作物种植

                                                        

                                                   

在如图的5块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物 ，

不同的种植方法共      种（以数字作答） （72）

2．（江苏、辽宁、天津卷（理））某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分（如图3），现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话，不同的栽种方法有     种（以数字作答）．（120）

               图3                                图4

3．如图4，用不同的5种颜色分别为ABCDE五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可以反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数．（540）

4．如图5：四个区域坐定4个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是      种（84）

图5                                 图6         图7

5．将一四棱锥(图6)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法共             种（420） 

19．（12分）用红、黄、蓝、绿、黑5种颜色给如图的a、b、c、d四个区域染色，若相邻的区域不能用相同的颜色，试问：不同的染色方法的种数是多少？

七．   递推法

1.一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法．

解   根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶，6个一步登两个台阶，因此，把问题转化为6个相同的黑球与6个相同的白球的排列问题．=924（种）．

例八 一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？

分析：设上n级楼梯的走法为a_n种，易知a₁=1,a₂=2,当n≥2时，上n级楼梯的走法可分两类：第一类：是最后一步跨一级，有a_n-1种走法，第二类是最后一步跨两级，有a_n-2种走法，由加法原理知：a_n=a_n-1+ a_n-2,据此，a₃=a₁+a₂=3,a₄=a_#+a₂=5,a₅=a₄+a₃=8,a₆=13,a₇=21,a₈=34_,a₉=55,a₁₀=89.故走上10级楼梯共有89种不同的方法。

例2：五个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，那么不同的站队方式共有(   )

    （A）60种      （B）44种       （C）36种       （D）24种

   解：首先我们把人数推广到个人，即个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上。设满足这样的站队方式有种，现在我们来通过合理分步，恰当分类找出递推关系：

   第一步：第一个人不站在原来的第一个位置，有种站法。

   第二步：假设第一个人站在第2个位置，则第二个人的站法又可以分为两类：第一类，第二个人恰好站在第一个位置，则余下的个人有种站队方式；第二类，第二个人不站在第一个位置，则就是第二个人不站在第一个位置，第三个人不站在第三个位置，第四个人不站在第四个位置，……，第个人不站在第个位置，所以有种站队方式。

   由分步计数原理和分类计数原理，我们便得到了数列的递推关系式：

，显然，，再由递推关系有，，故应选(B)

九.几何问题

 1．四面体的一个顶点位A,从其它顶点与各棱中点取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有   种（3+3=33）

2.四面体的棱中点和顶点共10个点（1）从中任取3个点确定一个平面，共能确定多少个平面？

(-4+4-3+3-6C+6+2×6=29)

 (2)以这10个点为顶点，共能确定多少格凸棱锥？ 三棱锥 C₁₀⁴-4C₆⁴-6C₄⁴-3C₄⁴=141 四棱锥 6×4×4=96 3×6=18 共有114

例15．正方体8个顶点中取出4个，可组成多少个四面体? 【 ∴ 共-12=70-12=58个】

       （2）可以组成多少个四棱锥？（48个）

十．先选后排法

例9 有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选派方法有（  ）

A.1260种               B.2025种                C.2520种                D.5054种

分析：先从10人中选出2人

33、（浙江省09年高考省教研室第一次抽样测试数学试题（理））现安排5人去三个地区做志愿者，每个地区至少去1人，其中甲、乙不能去同一个地区，那么这样的安排方法共有            种【答案：114

9、(陕西省西安铁一中20##届高三12月月考)某校高三级有三位数学老师，为便于学生询问，从星期一到星期五每天都安排数学教师值班，并且星期一安排两位老师值班，若每位老师每周值班两天，则一周内安排值班的方案有        种.  答案：36

例8. 将4名教师分派到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分派方案共有多少种？

答案：36

1.安排三名老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有（210）种。

2.将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1人，至多2人，则不同的分配方案（90种）。

9.（湖北卷6）将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为D      A. 540        B. 300       C. 180         D. 150

3.将9个学生分配到甲乙丙三个宿舍，每个宿舍至多4人（床铺不分次序），则不同的分配方案（1130种）。

例6．在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外2人能当钳工也能当车工。现从11人中选出4人当钳工，4人当车工，问共有多少种不同的选法? 185
6．甲、乙、丙三人值周一至周六的班，每人值两天班，若甲不值周一、乙不值周六，则可排出不同的值班表数为                    。42

8．已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{－3,－2,－1,0,1,2,3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，则符合这些条件的直线有         43  条。

十一．用转换法解排列组合问题（包括构造插空，捆绑；构造隔板；）

例10．某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．

解  把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题．=20种

例13. 马路上有编号为l，2，3，……，10 十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有多少种?   20种

例12   从1，2，3，…，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的去法．

解  把稳体转化为10个相同的黑球与990个相同白球，其其中黑球不相邻的排列问题。

1.有3个相同的白球，4个相同的黑球，则能组成多少种不同的排法？（35）

2.今有2个红球，3个黄球，4个白球，同色球不加区分，将9个球排成一列有（1260）种

4.  某城市街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种．

解   无论怎样走必须经过三横四纵，因此，把问题转化为3个相同的白球与四个相同的黑球的排列问题．=35（种）

1. 一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法．

解   根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶，6个一步登两个台阶，因此，把问题转化为6个相同的黑球与6个相同的白球的排列问题．=924（种）．

2.（理）甲、乙、丙三人传球，第一次球从甲手中传出，到第六次球又回到甲手中的传递

方式有_____22____种

例7：甲、乙、丙、丁四人相互传球，第一次甲传给乙、丙、丁中的任一人，第二次由拿球者再传给其他人中任一人，这样共传了四次，则第四次球仍传回到甲的方法共有(  A )

（A）21种           （B）42 （C）24 （D）27

3.6个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法．

解  把问题转化为5个相同的白球不相邻地插入已经排好的10个相同的黑球之间的9个空隙种的排列问题．=126种

例13    求（a+b+c）¹⁰的展开式的项数．

解  展开使的项为a^αb^βc^γ,且α+β+γ=10，因此，把问题转化为2个相同的黑球与10个相同的白球的排列问题．=66（种）

例14   亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有多少种？

解  设亚洲队队员为a₁,a₂，…,a₅,欧洲队队员为b₁，b₂，…，b₅，下标表示事先排列的出场顺序，若以依次被淘汰的队员为顺序．比赛过程转化为这10个字母互相穿插的一个排列，最后师胜队种步被淘汰的队员和可能未参加参赛的队员，所以比赛过程可表示为5个相同的白球和5个相同黑球排列问题，比赛过程的总数为=252（种）

十二．转化命题法

例15 圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少各？

分析：因两弦在圆内若有一交点，则该交点对应于一个以两弦的四端点为顶点的圆内接四边形，则问题化为圆周上的15个不同的点能构成多少个圆内接四边形，因此这些现在圆内的交点最多有=1365（个）

例16 圆周上共有n（n大于等于4）个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少各？

十三．概率法

例17 一天的课程表要排入语文、数学、物理、化学、英语、体育六节课，如果数学必须排在体育之前，那么该天的课程表有多少种排法？

分析：在六节课的排列总数中，体育课排在数学之前与数学课排在体育之前的概率相等，均为，故本例所求的排法种数就是所有排法的，即A=360种

十四．除序法

例：7个节目，甲、乙、丙三个节目按给定顺序出现，有多少种排法？

分析：7个节目的全排列为A77,甲、乙、丙之间的顺序已定。所以有A77∕A33=840种。

答案：840种。

 例19  用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中，

（1）若偶数2，4，6次序一定，有多少个？

（2）若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？ 

解（1）（2）

十五．错位排列

例20  同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的卡片，则不同的分配方法有   种（9）

公式 1）  n=4时a₄=3(a₃+a₂)=9种  即三个人有两种错排，两个人有一种错排．

2）=n!(1-+-+…+

例2：五个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，那么不同的站队方式共有(   )

     （A）60种      （B）44种       （C）36种       （D）24种

练习  有五位客人参加宴会，他们把帽子放在衣帽寄放室内，宴会结束后每人戴了一顶帽子回家，回家后，他们的妻子都发现他们戴了别人的帽子，问5位客人都不戴自己帽子的戴法有多少种？（44）

十六。圆桌问题

20.8个人做圆桌共有多少组合？

21.5个男孩，三个女孩围成一圈，其中三个女孩不相邻，则有多少种站法？

21、(重庆市万州区20##级高三第一次诊断性试题)一圆形餐桌依次有A、B、C、D、E、F共6个座位.现让3个大人和3个小孩入座进餐，要求任何两个小孩都不能坐在一起，则不同的入座方法总数为（    ）

（A）24种             （B）48种       （C）72种          （D）144种

答案：C