§1.1  集合的概念与运算

一、知识导学

1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.

2.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.

3.子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（若则），则称

集合A为集合B的子集，记为AB或BA；如果AB，并且AB，这时集合A称为集合B的真子集，记为AB或BA.

4.集合的相等：如果集合A、B同时满足AB、BA，则A=B.

5.补集：设AS，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记

为 .

6.全集：如果集合S包含所要研究的各个集合，这时S可以看做一个全集，全集通常

记作U.

7.交集：一般地，由所有属于集合A且属于B的元素构成的集合，称为A与B的交集，

记作AB.

8.并集：一般地，由所有属于集合A或者属于B的元素构成的集合，称为A与B的并

集，记作AB.

9.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作.

10.有限集：含有有限个元素的集合称为有限集.

11.无限集：含有无限个元素的集合称为无限集.

12.集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn图）.

13.常用数集的记法：自然数集记作N，正整数集记作N₊或N，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R.

二、疑难知识导析

1.符号，，，，=，表示集合与集合之间的关系，其中“”包括“”和“=”两种情况，同样“”包括“”和“=”两种情况.符号，表示元素与集合之间的关系.要注意两类不同符号的区别.

2.在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”.

3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.

4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式中，B=易漏掉的情况.

5.若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之.

6.若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏.

7.在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、Venn图等将有关集合直观地表示出来.

8.要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用.

    9.含有n个元素的集合的所有子集个数为：，所有真子集个数为：-1

三、经典例题导讲

[例1] 已知集合M={y|y =x²＋1,x∈R},N={y|y =x＋1,x∈R}，则M∩N=（ ）

A．（0，1），（1，2）       B．{（0，1），（1，2）}

C．{y|y=1,或y=2}           D．{y|y≥1}

错解：求M∩N及解方程组  得 或   ∴选B

错因：在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M、N的元素是数而不是实数对(x,y)，因此M、N是数集而不是点集,

M、N分别表示函数y=x²＋1(x∈R)，y=x＋1(x∈R)的值域，求M∩N即求两函数值域的交集．

正解：M={y|y=x²＋1,x∈R}={y|y≥1}， N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}．

∴M∩N={y|y≥1}∩{y|(y∈R)}={y|y≥1},          ∴应选D．

注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x²＋1}、{y|y=x²＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x²＋1,x∈R}，这三个集合是不同的．

[例2] 已知A={x|x²－3x＋2=0},B={x|ax－2=0}且A∪B=A，求实数a组成的集合C．

错解：由x²－3x＋2=0得x=1或2．

当x=1时，a=2，   当x=2时，a=1．

错因：上述解答只注意了B为非空集合，实际上，B=时，仍满足A∪B=A.

当a=0时，B=，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}．

正解：∵A∪B=A  ∴BA   又A={x|x²－3x＋2=0}={1，2}

∴B=或   ∴C={0，1，2}

[例3]已知mA,nB, 且集合A=，B=，又C=，则有：                                   （      ）

A．m+nA     B. m+nB    C.m+nC   D. m+n不属于A，B，C中任意一个

错解：∵mA，∴m=2a,a,同理n=2a+1,aZ, ∴m+n=4a+1,故选C

错因是上述解法缩小了m+n的取值范围.

正解：∵mA, ∴设m=2a₁,a₁Z,    又∵n,∴n=2a₂+1,a₂ Z ,

∴m+n=2(a₁+a₂)+1,而a₁+a₂ Z , ∴m+nB, 故选B.

[例4］ 已知集合A={x|x²－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若BA，求实数p的取值范围．

错解：由x²－3x－10≤0得－2≤x≤5．

欲使BA，只须 

∴ p的取值范围是－3≤p≤3.

错因：上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即B=时，符合题设．

正解：①当B≠时，即p＋1≤2p－1p≥2.

由BA得：－2≤p＋1且2p－1≤5.

由－3≤p≤3.

∴ 2≤p≤3

②当B=时，即p＋1>2p－1p＜2.

由①、②得：p≤3.

点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，AB等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．

[例5] 已知集合A={a,a＋b,a＋2b}，B={a,ac,ac²}．若A=B，求c的值．

分析：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．

解：分两种情况进行讨论．

（1）若a＋b=ac且a＋2b=ac²，消去b得：a＋ac²－2ac=0，

a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．

∴c²－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解．

（2）若a＋b=ac²且a＋2b=ac，消去b得：2ac²－ac－a=0，

∵a≠0，∴2c²－c－1=0，

即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－．

点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.

[例6] 设A是实数集，满足若a∈A，则A，且1ÏA.

⑴若2∈A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素.

⑵A能否为单元素集合？请说明理由.

⑶若a∈A，证明：1－∈A.

⑷求证：集合A中至少含有三个不同的元素.

解：⑴2∈A  Þ  －1∈A  Þ ∈A  Þ  2∈A

∴ A中至少还有两个元素：－1和

⑵如果A为单元素集合，则a＝

即＝0

该方程无实数解，故在实数范围内，A不可能是单元素集

⑶a∈A  Þ  ∈A  Þ ∈AÞA，即1－∈A

⑷由⑶知a∈A时，∈A， 1－∈A .现在证明a,1－, 三数互不相等.①若a=,即a2-a+1=0 ，方程无解，∴a≠

②若a=1－，即a²-a+1=0，方程无解∴a≠1－ 

 ③若1－ =，即a2-a+1=0，方程无解∴1－≠.

综上所述，集合A中至少有三个不同的元素.

点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨.

[例7] 设集合A={|=,∈N⁺}，集合B={|=,∈N⁺}，试证：AB．

证明：任设∈A，

则==(＋2)²－4(＋2)＋5 (∈N⁺),

∵ n∈N*，∴ n＋2∈N*

∴ a∈B故　　　　 ①

显然，1，而由

B={|=,∈N⁺}={|=，∈N⁺}知1∈B，于是A≠B　　　　 ②

由①、② 得AB．

点评：（1）判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系．

（2）判定两集合相等，主要是根据集合相等的定义．

四、典型习题导练

1．集合A={x|x²－3x－10≤0，x∈Z}，B={x|2x²－x－6＞0， x∈ Z}，则A∩B的非空真子集的个数为（　　）

 A．16             B．14       C．15         D．32
2．数集{1，2，x²－3}中的x不能取的数值的集合是（　　）
　A．{2，-2 }    B．{－2，－ }     C．{±2，± }     D．{，－}
3. 若P={y|y=x²,x∈R}，Q={y|y=x²＋1,x∈R}，则P∩Q等于（ ）

A．P　　　B．Q    C． 　　D．不知道

4. 若P={y|y=x²,x∈R}，Q={(x，y)|y=x²,x∈R}，则必有（ ）

A．P∩Q=　　 B．P Q       C．P=Q 　　　　D．P Q

5．若集合M＝｛｝，N＝{|≤}，则MN＝ （    ）

　　A．　　　　　　　 B．

　　C．　　　　　　　 D．

6.已知集合A={x|x²＋(m＋2)x＋1=0,x∈R}，若A∩R^＋=，则实数m的取值范围是_________．

7.（06高考全国II卷）设，函数若的解集为A，，求实数的取值范围。

8.已知集合A=和B=满足

A∩B=，A∩B=，I=R，求实数a,b的值.

第二篇：高中数学的基本解题方法

高中数学的基本解题方法

根据“江苏省普通高中数学课程标准教学要求”，高考数学既考查中学数学的基础知识和方法，又考查进入高等学校继续学习所具备的基本能力，突出数学基本技能和数学思想方法的考查。

在解题过程中，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。

高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查：

① 常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等；

② 数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；

③ 数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等；

④ 常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等。

数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得，以下重点介绍几种高考必考的数学方法：

一、配方法

配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。

最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。

配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)＝a＋2ab＋b，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：

a＋b＝(a＋b)－2ab＝(a－b)＋2ab；

a＋ab＋b＝(a＋b)－ab＝(a－b)＋3ab＝(a＋)＋（b）；

a＋b＋c＋ab＋bc＋ca＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]

a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)－2(ab－bc－ca)＝…

结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：

1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）；

x＋＝(x＋)－2＝(x－)＋2 ；…… 等等。

【示例】设方程x＋kx＋2=0的两实根为p、q，若()+()≤7成立，求实数k的取值范围。

【解】方程x＋kx＋2=0的两实根为p、q，由韦达定理得：p＋q＝－k，pq＝2 ,

()+()＝＝＝＝≤7， 解得k≤－或k≥ 。

又 ∵p、q为方程x＋kx＋2=0的两实根， ∴  △＝k－8≥0即k≥2或k≤－2

综合起来，k的取值范围是：－≤k≤－ 或者 ≤k≤。

【注】 关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“Δ”；已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。

二、换元法

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

换元法可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4＋2－2≥0，先变形为设2＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝＋的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sinα ，α∈[0,]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x＋y＝r（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。

均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝＋t，y＝－t等等。

【示例】设a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a的最大值和最小值。

【解】 设sinx＋cosx＝t，则t∈[-,]，由(sinx＋cosx)＝1＋2sinx·cosx得：sinx·cosx＝

∴  f(x)＝g(t)＝－(t－2a)＋ （a>0），t∈[-,]

t＝-时，取最小值：－2a－2a－

当2a≥时，t＝，取最大值：－2a＋2a－  ；

当0<2a≤时，t＝2a，取最大值：  。   

∴  f(x)的最小值为－2a－2a－，最大值为。

【注】 此题属于局部换元法，设sinx＋cosx＝t后，抓住sinx＋cosx与sinx·cosx的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。换元过程中一定要注意新的参数的范围（t∈[-,]）与sinx＋cosx对应。

三、待定系数法

要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等，使用待定系数法，它解题的基本步骤是：

第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；

第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；

第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。

如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：

①利用对应系数相等列方程；

②由恒等的概念用数值代入法列方程；

③利用定义本身的属性列方程；

④利用几何条件列方程。

比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。

【示例】 设椭圆中心在(2,-1)，它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离是－，求椭圆的方程。

【解】 设椭圆长轴2a、短轴2b、焦距2c，则|BF’|＝a

   ∴       解得：  

 ∴ 所求椭圆方程是：＋＝1

也可有垂直关系推证出等腰Rt△BB’F’后，由其性质推证出等腰Rt△B’O’F’，再进行如下列式：    ，更容易求出a、b的值。

【注】 一般地，解析几何中求曲线方程的问题，大部分用待定系数法，基本步骤是：设方程（或几何数据）→几何条件转换成方程→求解→已知系数代入。

四、定义法

所谓定义法，就是直接用数学定义解题。数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来。定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题，是最直接的方法。

五、数学归纳法

归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立。这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或n≥n且n∈N）结论都正确”。

运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。

六、参数法

参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。换元法也是引入参数的典型例子。

七、反证法

反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。

一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显。具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。