因式分解精选练习

一分解因式

1.2x⁴y²－4x³y²＋10xy⁴。      2. 5xⁿ⁺¹－15xⁿ＋60x^n--1。    3. 

4. (a+b)²x²-2(a²-b²)xy+(a-b)²y²      5. x⁴-1                     6. －ａ²－ｂ^２＋2ab＋４ 

7.                 8.

9.     10.a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac

11.x²-2x-8             12．3x²+5x-2               13. 3x²+11x+10

14. 5x²―6xy―8y²  15．(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1 16. (x²+3x+2)(x²+7x+12)-120.

    　   

二证明题

17．求证：3²⁰⁰⁰－4×3¹⁹⁹⁹＋10×3¹⁹⁹⁸能被7整除。

18.设为正整数，且64ⁿ-7ⁿ能被57整除，证明：是57的倍数.

19.求证：无论x、y为何值，的值恒为正。

20.已知x²+y²-4x+6y+13=0,求x,y的值。

21.已知a,b,c满足a-b=8,ab+c²+16=0,求a+b+c的值 .

22．已知x²+3x+6是多项式x⁴-6x³+mx²+nx+36的一个因式，试确定m,n的值，并求出它的其它因式。

因式分解精选练习答案

一分解因式

1. 解：原式=2xy²·x³－2xy²·2x²＋2xy²·5y²

        =2xy² (x³－2x²＋5y²)。

提示：先确定公因式，找各项系数的最大公约数2；各项相同字母的最低次幂xy²，即公因式2xy²，再把各项的公因式提到括号外面，把多项式写成因式的积。

2. 提示：在公因式中相同字母x的最低次幂是x^n--1，提公因式时xⁿ⁺¹提取x^n--1后为x²，xⁿ提取x^n--1后为x。

解：原式=5 x^n--1·x²－5x^n--1·3x＋5x^n--1·12

  =5 x^n--1 (x²－3x＋12)

3.解：原式=3a(b-1)(1-8a³)

=3a(b-1)(1-2a)(1+2a+4a²)* 

提示：立方差公式：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)

立方和公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)

所以，1-8a³=(1-2a)(1+2a+4a²)

4.解：原式= [(a+b)x]²-2(a+b)(a-b)xy+[(a-b)y]²

=(ax+bx-ay+by)²

提示：将（a+b）x和（a-b）y视为 一个整体。

5.解：原式=(x²+1)(x²-1)

=(x²+1)(x+1)(x-1)

提示：许多同学分解到(x²+1)(x²-1)就不再分解了，因式分解必须分解到不能再分解为止。

6.解：原式＝－（a²－2ab＋b²－４）

＝－（ａ－ｂ＋２）（ａ－ｂ－２）

提示：如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。但也不能见负号就先“提”，要对全题进行分析.防止出现诸如－９x²＋４y^２＝（－3x）^２－（2y）²＝（－３ｘ＋２ｙ）（－３ｘ－２ｙ）＝（３ｘ－２ｙ）（３ｘ＋２ｙ）的错误。

7. 解： 原式= x⁴-x³-(x-1)

= x³(x-1)-(x-1)

=(x-1)(x³-1)

=(x-1)²(x²+x+1)*

提示：通常四项或者以上的因式分解，分组分的要合适，否则无法分解。另外，本题的结果不可写成(x-1)(x-1)(x²+x+1),能写成乘方的形式的，一定要写成乘方的形式。*使用了立方差公式，x3-1=(x-1)(x²+x+1)

8. 解：原式=y²[(x+y)²-12(x+y)+36]-y⁴

=y²(x+y-6)²-y⁴

=y²[(x+y-6)²-y²]

=y²(x+y-6+y)(x+y-6-y)

= y²(x+2y-6)(x-6)

9. 解：原式== (x+y)²(x²-12x+36)-(x+y)⁴

=(x+y)²[(x-6)²-(x+y)²]

=(x+y)²(x-6+x+y)(x-6-x-y)

=(x+y)²(2x+y-6)(-6-y)

= - (x+y)²(2x+y-6)(y+6)

10.解：原式=.（a²+b² +2ab）+2bc+2ac+c²

=(a+b)²+2(a+b)c+c²  *

=(a+b+c)²

提示：*将(a+b)视为 1个整体。

11.解：原式=x²-2x+1-1-8   *

=(x-1)²-3²

=(x-1+3)(x-1-3)

=(x+2)(x-4)

提示：本题用了配方法，将x²-2x加上1个“1”又减了一个“1”，从而构成完全平方式。

12．解：原式=3(x²+x)-2

=3(x²+x+-)-2  *

=3(x+)²-3×-2

=3(x+)²-

=3[(x+)²-]

       =3(x++)(x+-)

=3(x+2)(x-)

=(x+2)(3x-1)

提示：*这步很重要，根据完全平方式的结构配出来的。对于任意二次三项式ax²+bx+c(a≠0)可配成a(x+)²+.

13.解：原式=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1

=(x²+5x+4)(x²+5x+6)+1

令x²+5x=a,则 原式=(a+4)(a+6)+1

=a²+10a+25

=(a+5)²

=(x²+5x+5)

提示：把x²+5x看成一个整体。

14.  解 原式=(x+2)(x+1)(x+4)(x+3)-120

        =(x+2)(x+3)(x+1)(x+4)-120

        =(x²+5x+6)(x²+5x+4)-120

令  x²+5x=m, 代入上式,得

原式=(m+6)(m+4)-120=m²+10m-96

=(m+16)(m-6)=(x²+5x+16)(x²+5x-6)=(x²+5x+16)(x+6)(x-1)

提示：把x²+5x看成一个整体。

15．解：原式＝(x+2)(3x+5)

提示：把二次项3x²分解成x与3x（二次项一般都只分解成正因数），常数项10可分成1×10＝－1×（－10）＝2×5＝－2×（－5），其中只有11x=x×5+3x×2。

说明：十字相乘法是二次三项式分解因式的一种常用方法，特别是当二次项的系数不是1的时候，给我们的分解带来麻烦，这里主要就是讲讲这类情况。分解时，把二次项、常数项分别分解成两个数的积，并使它们交叉相乘的积的各等于一次项。需要注意的是:⑴如果常数项是正数，则应把它分解成两个同号的因数，若一次项是正，则同正号；若一次项是负，则应同负号。⑵如果常数项是负数，则应把它分解成两个异号的因数，交叉相乘所得的积中，绝对值大的与一次项的符号相同（若一次项是正，则交叉相乘所得的积中，绝对值大的就是正号；若一次项是负，则交叉相乘所得的积中，绝对值大的就是负号）。

　　　　　ax       c

二次项　　　　　　　　　常数项

          bx       d

  adx+bcx=(ad+bc)x  一次项

abx²+(ad+bc)x+cd=(ax+c)(bx+d)

16. 解：原式＝(x－2y)(5x＋4y)

   　   

  x      －2y

5x       4y

－6xy

二证明题

17．证明： 原式=3¹⁹⁹⁸(3²－4×3＋10)= 3¹⁹⁹⁸×7，

∴  能被7整除。

18.证明：

=8（8²ⁿ-7ⁿ）+8×7ⁿ+7ⁿ⁺²

=8（8²ⁿ-7ⁿ）+7ⁿ(49+8)

=8（8²ⁿ-7ⁿ）+577ⁿ

是57的倍数.

19.证明：

=4x²-12x+9+9y²+30y+25+1

=(2x-3)²+(3y+5)²+1

≥1.

20.解：∵x²+y²-4x+6y+13=0

∴x²-4x+4+y²+6y+9=0

(x-2)²+(y+3)²=0

(x-2)²≥0, (y+3)²≥0.

x-2=0且y+3=0

x=2,y=-3

三 求值。

21.解：∵a-b=8

∴a=8+b

又ab+c²+16=0

即∴（b+8）b+c²+16=0

即(b+4)²+c²=0

又因为，(b+4)²≥0，C²≥0,

∴b+4=0,c=0,

b=-4,c=0,a=b+8=4

∴a+b+c=0.

22． 解：设它的另一个因式是x²+px+6,则

x⁴-6x³+mx²+nx+36

=(x²+px+6)(x²+3x+6)

=x⁴+(p+3)x³+(3p+12)x²+(6p+18)x+36

比较两边的系数得以下方程组：

解得

第二篇：因式分解

1.a^4-4a+3

2.(a+x)^m+1*(b+x)^n-1-(a+x)^m*(b+x)^n

3.x^2+(a+1/a)xy+y^2

4.9a^2-4b^2+4bc-c^2

5.(c-a)^2-4(b-c)(a-b)

答案1.原式=a^4-a-3a+3=(a-1)(a^3+a^2+a-3)

2.[1-(a+x)^m][(b+x)^n-1]

3.(ax+y)(1/ax+y)

4.9a^2-4b^2+4bc-c^2=(3a)^2-(4b^2-4bc+c^2)=(3a)^2-(2b-c)^2=(3a+2b-c)(3a-2b+c)

5.(c-a)^2-4(b-c)(a-b)

= (c-a)(c-a)-4(ab-b^2-ac+bc)

=c^2-2ac+a^2-4ab+4b^2+4ac-4bc

=c^2+a^2+4b^2-4ab+2ac-4bc

=(a-2b)^2+c^2-(2c)(a-2b)

=(a-2b-c)^2

1.x^2+2x-8

2.x^2+3x-10

3.x^2-x-20

4.x^2+x-6

5.2x^2+5x-3

6.6x^2+4x-2

7.x^2-2x-3

8.x^2+6x+8

9.x^2-x-12

10.x^2-7x+10

11.6x^2+x+2

12.4x^2+4x-3

解方程：（x的平方+5x-6）分之一=（x的平方+x+6）分之一

十字相乘法虽然比较难学,但是一旦学会了它,用它来解题,会给我们带来很多方便,以下是我对十字相乘法提出的一些个人见解。

1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。（2）用十字相乘法来解一元二次方程。

3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。

4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。3、十字相乘法比较难学。

5、十字相乘法解题实例：

1)、 用十字相乘法解一些简单常见的题目

例1把m2+4m-12分解因式

分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题

解：因为 1 -2

1 ╳ 6

所以m2+4m-12=（m-2）（m+6）

例2把5x2+6x-8分解因式

分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题

解： 因为 1 2

5 ╳ -4

所以5x2+6x-8=（x+2）（5x-4）

例3解方程x2-8x+15=0

分析：把x2-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。 解： 因为 1 -3

1 ╳ -5

所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0

所以x1=3 x2=5

例4、解方程 6x2-5x-25=0

分析：把6x2-5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。

解： 因为 2 -5

3 ╳ 5

所以 原方程可变形成（2x-5）（3x+5）=0

所以 x1=5/2 x2=-5/3

2)、用十字相乘法解一些比较难的题目

例5把14x2-67xy+18y2分解因式

分析：把14x2-67xy+18y2看成是一个关于x的二次三项式,则14可分为1×14,2×7, 18y2可分为y.18y , 2y.9y , 3y.6y

解: 因为 2 -9y

7 ╳ -2y

所以 14x2-67xy+18y2= (2x-9y)(7x-2y)

例6 把10x2-27xy-28y2-x+25y-3分解因式

分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式的形式

解法一、10x2-27xy-28y2-x+25y-3

=10x2-（27y+1）x -（28y2-25y+3） 4y -3

7y ╳ -1

=10x2-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）

=[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）] 2 -（7y – 1）

5 ╳ 4y - 3

=（2x -7y +1）（5x +4y -3）

说明：在本题中先把28y2-25y+3用十字相乘法分解为（4y-3）（7y -1），再用十字相乘法把10x2-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）分解为[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）]

解法二、10x2-27xy-28y2-x+25y-3

=（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3 2 -7y

=[（2x -7y）+1] [（5x -4y）-3] 5 ╳ 4y

=（2x -7y+1）（5x -4y -3） 2 x -7y 1

5 x - 4y ╳ -3

说明:在本题中先把10x2-27xy-28y2用十字相乘法分解为（2x -7y）（5x +4y）,再把（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3用十字相乘法分解为[（2x -7y）+1] [（5x -4y）-3].

例7：解关于x方程：x2- 3ax + 2a2–ab -b2=0

分析：2a2–ab-b2可以用十字相乘法进行因式分解

解：x2- 3ax + 2a2–ab -b2=0

x2- 3ax +（2a2–ab - b2）=0

x2- 3ax +（2a+b）（a-b）=0 1 -b

2 ╳ +b

[x-（2a+b）][ x-（a-b）]=0 1 -（2a+b）

1 ╳ -（a-b）

所以 x1=2a+b x2=a-b

5-7(a+1)-6(a+1)^2

=-[6(a+1)^2+7(a+1)-5]

=-[2(a+1)-1][3(a+1)+5]

=-(2a+1)(3a+8);

-4x^3 +6x^2 -2x

=-2x(2x^2-3x+1)

=-2x(x-1)(2x-1);

6(y-z)^2 +13(z-y)+6

=6(z-y)^2+13(z-y)+6

=[2(z-y)+3][3(z-y)+2]

=(2z-2y+3)(3z-3y+2).

比如...x^2+6x-7这个式子

由于一次幂x前系数为6

所以，我们可以想到，7-1=6

那正好这个式子的常数项为-7

因此我们想到将-7看成7*（-1）

于是我们作十字相成

x +7

x -1

的到（x+7）·（x-1）

成功分解了因式

3ab^2-9a^2b^2+6a^3b^2

=3ab^2(1-3a+2a^2)

=3ab^2(2a^2-3a+1)

=3ab^2(2a-1)(a-1)

5-7(a+1)-6(a+1)^2

=-[6(a+1)^2+7(a+1)-5]

=-[2(a+1)-1][3(a+1)+5]

=-(2a+1)(3a+8);

-4x^3 +6x^2 -2x

=-2x(2x^2-3x+1)

=-2x(x-1)(2x-1);

6(y-z)^2 +13(z-y)+6

=6(z-y)^2+13(z-y)+6

=[2(z-y)+3][3(z-y)+2]

=(2z-2y+3)(3z-3y+2).

比如...x^2+6x-7这个式子

由于一次幂x前系数为6

所以，我们可以想到，7-1=6

那正好这个式子的常数项为-7

因此我们想到将-7看成7*（-1）

于是我们作十字相成

x +7

x -1

的到（x+7）·（x-1）

成功分解了因式

3ab^2-9a^2b^2+6a^3b^2

=3ab^2(1-3a+2a^2)

=3ab^2(2a^2-3a+1)

=3ab^2(2a-1)(a-1)

x^2+3x-40

=x^2+3x+2.25-42.25

=(x+1.5)^2-(6.5)^2

=(x+8)(x-5)．

⑹十字相乘法

这种方法有两种情况。

①x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解

这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．

②kx^2+mx+n型的式子的因式分解

如果如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m时，那么kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)．

图示如下：

a b

×

c d

例如：因为

1 -3

×

7 2

-3×7=-21，1×2=2，且2-21=-19，

所以7x^2-19x-6=(7x+2)(x-3)．

十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中

⑶分组分解法

分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。

能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。

比如：

ax+ay+bx+by

=a(x+y)+b(x+y)

=(a+b)(x+y)

我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。

同样，这道题也可以这样做。

ax+ay+bx+by

=x(a+b)+y(a+b)

=(a+b)(x+y)

几道例题：

1. 5ax+5bx+3ay+3by

解法：=5x(a+b)+3y(a+b)

=(5x+3y)(a+b)

说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。

2. x3-x2+x-1

解法：=(x3-x2)+(x-1)

=x2(x-1)+(x-1)

=(x-1)(x2+1)

利用二二分法，提公因式法提出x2，然后相合轻松解决。

3. x2-x-y2-y

解法：=(x2-y2)-(x+y)

=(x+y)(x-y)-(x+y)

=(x+y)(x-y+1)

利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。

7582—2582 =(758+258)(758-258)=1016*500=508000