整式乘除与因式分解

概述

　　定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。

　　意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。

　　分解因式与整式乘法互为逆变形。

因式分解的方法

　　因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。

　　注意三原则

　　1 分解要彻底

　　2 最后结果只有小括号

　　3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x^2+x=-x(3x-1)）

基本方法

⑴提公因式法

　　各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

　　如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

　　具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

　　如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

　　口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。

　　例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；

　　a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。

　　注意：把2a^2+1/2变成2(a^2+1/4)不叫提公因式

⑵公式法

　　如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。

　　平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)；

　　完全平方公式：a²±2ab＋b²＝(a±b) ²；

　　注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

　　立方和公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)；

　　立方差公式：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)；

　　完全立方公式：a³±3a²b＋3ab²±b³=(a±b) ³．

　　公式：a³+b³+c³+3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)

　　例如：a² +4ab+4b² =(a+2b) ²。

　　（3）分解因式技巧

　　1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。

　　2.分解因式技巧掌握：

　　①等式左边必须是多项式；

　　②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；

　　③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；

　　④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

　　注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

　　3.提公因式法基本步骤：

　　（1）找出公因式；

　　（2）提公因式并确定另一个因式：

　　①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；

　　②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；

　　③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

一、知识点总结：

1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。

如：的 系数为，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。

2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。

如：，项有、、、1，二次项为、，一次项为，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。

3、整式：单项式和多项式统称整式。

注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。

4、多项式按字母的升（降）幂排列：

如：

按的升幂排列：

按的降幂排列：

按的升幂排列：

按的降幂排列：

5、同底数幂的乘法法则：（都是正整数）

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。

如：

6、幂的乘方法则：（都是正整数）

幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：

幂的乘方法则可以逆用：即

如：

7、积的乘方法则：（是正整数）

积的乘方，等于各因数乘方的积。

如：（=

8、同底数幂的除法法则：（都是正整数，且

同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：

9、零指数和负指数；

，即任何不等于零的数的零次方等于1。

（是正整数），即一个不等于零的数的次方等于这个数的次方的倒数。

如：

10、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

注意：

①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。

②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。

③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式

④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。

⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。

如：

11、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，

即(都是单项式)

注意：

①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。

②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。

③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。]

如：

12、多项式与多项式相乘的法则；

多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。

如：

13、平方差公式：注意平方差公式展开只有两项

公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。

如：   

14、完全平方公式：

公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。

注意：

       

完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。

15、三项式的完全平方公式：

16、单项式的除法法则：

单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式

如：

17、多项式除以单项式的法则：

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。

即：

18、因式分解：

常用方法：提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法……

三、知识点分析：

1.同底数幂、幂的运算：

a^m·aⁿ=a^m+n(m，n都是正整数).

(a^m)ⁿ=a^mn(m，n都是正整数).

例题1.若，则a=           ；若，则n=         

例题2.若，求的值。

例题3.计算

练习

1.若，则=        .

2.设4^x=8^y-1,且9^y=27^x-1,则x-y等于           。

2.积的乘方

(ab)ⁿ=aⁿbⁿ(n为正整数).积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.

例题1. 计算：

3.乘法公式

平方差公式：

完全平方和公式：

完全平方差公式：

例题1. 利用平方差公式计算：2009×2007－2008²

例题2.利用平方差公式计算：．

3.（a－2b＋3c－d）（a＋2b－3c－d）

5. 因式分解：

 1.提公因式法：式子中有公因式时，先提公因式。

       例1把分解因式．

       分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按的降幂排列，然后从两组分别提出公因式与，这时另一个因式正好都是，这样可以继续提取公因式．

解：

说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试．

       例2把分解因式．

       分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式．

解：

      

      

说明：由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用．

2. 公式法：根据平方差和完全平方公式

例题1 分解因式

3.配方法：

       例1分解因式

解：

      

说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解．当然，本题还有其它方法，请大家试验．

4.十字相乘法：

（1）．型的因式分解

       这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：

(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．

因此，

运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．

       例1把下列各式因式分解：

              (1)                                (2)

解：(1)

          ．

       (2)

         

说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同．

       例2把下列各式因式分解：

              (1)                              (2)

解：(1)

         

       (2)

         

说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同．

       例3把下列各式因式分解：

              (1)                                    (2)

       分析：(1) 把看成的二次三项式，这时常数项是，一次项系数是，把分解成与的积，而，正好是一次项系数．

               (2) 由换元思想，只要把整体看作一个字母，可不必写出，只当作分解二次三项式．

解：(1)

       (2)

             

（2）．一般二次三项式型的因式分解

大家知道，．

反过来，就得到：

我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次项系数，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行．

这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．

必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．

       例4把下列各式因式分解：

              (1)                                    (2)

解：(1)                    

       (2)             

说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．

第二篇：人教版初二数学上册整式的乘除与因式分解基本知识点

整式的乘除与因式分解基本知识点

一、整式的乘除：

1、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.

例如：3a?a?_______；a2?a2?________；3a?5b?2a?8b?________

3x2y?2xy?xy2?4x2y?2x3?10xy?2x3?__________________

2、同底数幂的乘法法则：am·a=anm+n(m，n是正整数).

同底数幂相乘，底数不变，指数相加.

例如：a3?a?________；a?a2?a3?________

3、幂的乘方法则：(amn)=amn(m，n是正整数).幂的乘方，底数不变，指数相乘.

例如：(a2)3?_________；(x5)2?_________；(a4)3?(a3)()

4、积的乘方的法则：(ab)m=ab(m是正整数). mm

积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.

例如：(ab)3?________；(?2a2b)3?________；(?5a3b2)2?________

5、同底数幂的除法法则：am÷a=anm-n(a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n).

0 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 规定：a?1

例如：a3?a?________；a10?a2?________；a5?a5?________

6、单项式乘法法则

单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。

2x?3y (?2x2y)(5xy2) (3xy)2?(?2xy2) (?a2b)3?(a2b)2

7、单项式除法法则

单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.

4x3y?2x2y 24x2y???6xy? ?6?108???3?105?

1

8、单项式与多项式相乘的乘法法则：

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.

m(a?b?c) 2x(?2x?3y?5) ?3ab(5a?ab?2b2)

9、多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

(x?2)(x?6) (2x?3y)(x?2y?1) (a?b)(a2?ab?b2)

10、多项式除以单项式的除法法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.

?6xy?5x??x； ?8a2?4ab????4a?

1?12ac?bc?20ab?45ab??5ab ????c 22423222

??

11、整式乘法的平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b. 2

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

例如：（4a－1）（4a+1）=___________； （3a－2b）（2b+3a）=___________；

?mn?1??mn?1?； (?3?x)(?3?x)?

12、整式乘法的完全平方公式：(a+b)2=a+2ab+b，(a-b)=a-2ab+b. 22222

两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍.

__； ?x?3y??_______________ 例如：?2a?5b??__________22

2??ab?2?2?_____________； ??2m?1??______________

2

二、因式分解：

1、提公共因式法

（1）、 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成

两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.

如:ab＋ac＝a（b＋c）

（2）、概念内涵: ①因式分解的最后结果应当是“积”;

②公因式可能是单项式,也可能是多项式;

③提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即: ma＋mb-mc=m(a＋b-c)

练习

4xy?y x2?x3 x2+12x3+4x m(a?1)?n(a?1)

2、公式法.：

（1）、平方差公式

x2?1 4a2?9b2 16x2?(y?z)2 (a?2b)2?(2a?b)2

（2）、完全平方公式

m2?4m?4 9x2?6xy?y2 16x2?24x?9 (a?b)2?12(a?b)?36

3、分组分解法：

如: am?an?bm?bn?a(m?n)?b(m?n)?(a?b)(m?n)

（2）、概念内涵:

3

分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解因式.

（3）、 注意: 分组时要注意符号的变化.

a?b?ab?1 ab－c＋b－ac a－2ab＋b－c 222

4、“十字相乘法”：

即式子x2+(p+q)x+pq的因式分解. x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).

有些二次三项式，可以把第一项和第三项的系数分别分解为两个数之积，然后借助画十字交叉线的方法，把二次三项式进行因式分解，这种方法叫十字相乘法。

简单的说十字相乘法就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

注意：十字相乘法不是适合所有二次三项式，只有在一次项系数和二次项系数以及常数项存在一种特殊关系时才能用，这个特殊关系我们通过例题来说明：

例：分解x

2?6x?7

x2＋7x＋6 （2）、x2－5x－6 （3）、x2－5x＋6

4