高考递推数列题型分类归纳解析

                                 

各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。现在总结出几种求解数列通项公式的方法。

☆类型1：   

  解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。

例1. 已知数列满足，，求。

变式: 已知数列，且a_2k=a_2k－1+(－1)^k,   a_2k+1=a_2k+3^k, 其中k=1,2,3,…….

（I）求a₃, a₅；（II）求{ a_n}的通项公式.

☆类型2：    

 解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例1:已知数列满足，，求。

例2:已知， ，求。

变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{a_n}，满足a₁=1， (n≥2)，则{a_n}的通项  

☆类型3：（其中p，q均为常数，）。

解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。

例:已知数列中，，，求.

变式:在数列中，若，则该数列的通项_______________

☆类型4：（其中p，q均为常数，）。（或,其中p，q,  r均为常数）。

解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。

例:已知数列中，,，求。

变式:设数列的前项的和，

（Ⅰ）求首项与通项；（Ⅱ）设，，证明：

☆类型5：递推公式为（其中p，q均为常数）。

解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为，其中s，t满足

解法二(特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。

解法一（待定系数——迭加法）:

数列：， ，求数列的通项公式。

例:已知数列中，,,，求。

变式:1.已知数列满足

（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；

（III）若数列满足证明是等差数列 

2.已知数列中，,,，求

3.已知数列中，是其前项和，并且，

⑴设数列，求证：数列是等比数列；

⑵设数列，求证：数列是等差数列；⑶求数列的通项公式及前项和。

☆类型6: 递推公式为与的关系式。(或)

解法：这种类型一般利用与消去 或与消去进行求解。

例：已知数列前n项和.

（1）求与的关系；（2）求通项公式.

（2）应用类型4（（其中p，q均为常数，））的方法，上式两边同乘以得：

由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以

变式:（2006，陕西,理,20本小题满分12分)

 已知正项数列{a_n}，其前n项和S_n满足10S_n=a_n²+5a_n+6且a₁,a₃,a₁₅成等比数列，求数列{a_n}的通项a_n  

变式: (2005,江西,文,22．本小题满分14分）

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n－S_n－2=3求数列{a_n}的通项公式.

☆类型7:

解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列。

例:设数列：，求.

变式:

已知数列｛｝中，在直线y=x上，其中n=1,2,3… 

(Ⅰ)令       (Ⅱ)求数列

(Ⅲ)设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在试求出  不存在,则说明理由.

☆类型8:

解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。

例：已知数列｛｝中，，求数列

变式:（2005，江西,理,21．本小题满分12分）

已知数列

（1）证明            （2）求数列的通项公式a_n.

变式:（2006,山东,理,22,本小题满分14分）

已知a₁=2，点(a_n,a_n+1)在函数f(x)=x²+2x的图象上，其中=1，2，3，…

（1）       证明数列｛lg(1+a_n)｝是等比数列；

（2）       设T_n=(1+a₁) (1+a₂) …(1+a_n)，求T_n及数列｛a_n｝的通项；

记b_n=，求｛b_n｝数列的前项和S_n，并证明S_n+=1 

☆类型9:

解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。

例：已知数列｛a_n｝满足：，求数列｛a_n｝的通项公式。

变式:1.已知数列｛a_n｝满足：a₁＝，且a_n＝

(1)求数列｛a_n｝的通项公式；

(2)证明：对于一切正整数n，不等式a₁·a₂·……a_n<2·n！

2、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式。

3、已知数列{}满足时，，求通项公式。

4、已知数列｛a_n｝满足：，求数列｛a_n｝的通项公式。

5、若数列｛a｝中，a=1，a=  n∈N，求通项a．

☆类型10: 

解法：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;当特征方程有两个相异的根、时，则是等比数列。

例：已知数列满足性质：对于且求的通项公式.  

例：已知数列满足：对于都有

（1）若求（2）若求（3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？

变式:数列记

（Ⅰ）求b₁、b₂、b₃、b₄的值；   （Ⅱ）求数列的通项公式及数列的前n项和

☆类型11: 或

解法：这种类型一般可转化为与是等差或等比数列求解。

例：（I）在数列中，，求   （II）在数列中，，求

☆类型12: 归纳猜想法

解法：数学归纳法

变式:设数列｛a_n｝的前n项和为S_n，且方程x²－a_nx－a_n＝0有一根为S_n－1，n＝1，2，3，…

（Ⅰ）求a₁，a₂；   （Ⅱ）｛a_n｝的通项公式 

☆类型13:双数列型

解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。

例：已知数列中，；数列中，。当时，,，求,.

☆类型14:周期型    解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。

例：若数列满足，若，则的值为___________。

第二篇：高考数学题型归纳完整版

第一章 集合与常用逻辑用语

第一节 集合

题型1-1 集合的基本概念

题型1-2 集合间的基本关系

题型1-3 集合的运算

第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件

题型1-4 四种命题及关系

题型1-5 充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明

题型1-6 求解充分条件、必要条件、充要条件中的参数取值范围

第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

题型1-7 判断命题的真假

题型1-8 含有一个量词的命题的否定

题型1-9 结合命题真假求参数的取值范围

第二章 函数

第一节 映射与函数

题型2-1 映射与函数的概念

题型2-2 同一函数的判断

题型2-3 函数解析式的求法

第二节 函数的定义域与值域（最值）

题型2-4 函数定义域的求解

题型2-5 函数定义域的应用

题型2-6 函数值域的求解

第三节 函数的性质——奇偶性、单调性、周期性

题型2-7 函数奇偶性的判断

题型2-8 函数单调性（区间）的判断

题型2-9 函数周期性的判断

题型2-10 函数性质的综合应用

第四节 二次函数

题型2-11 二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系

题型2-12 二次方程的实根分布及条件

题型2-13 二次函数“动轴定区间”

“定轴动区间”问题

第五节 指数与指数函数

题型2-14 指数运算及指数方程、指数不等式

题型2-15 指数函数的图象及性质

题型2-16 指数函数中恒成立问题

第六节 对数与对数函数

题型2-17 对数运算及对数方程、对数不等式

题型2-18 对数函数的图象与性质

题型2-19 对数函数中恒成立问题

第七节 幂函数

题型2-20 求幂函数的定义域

题型2-21 幂函数性质的综合应用

第八节 函数的图象

题型2-22 判断函数的图象

题型2-23 函数图象的应用

第九节 函数与方程

题型2-24 求函数的零点或零点所在区间

题型2-25 利用函数的零点确定参数的取值范围

题型2-26 方程根的个数与函数零点的存在性问题

第十节 函数综合

题型2-27 函数与数列的综合

题型2-28 函数与不等式的综合

题型2-29 函数中的信息题

第三章 导数与定积分

第一节 导数的概念与运算

题型3-1 导数的定义

题型3-2 求函数的导数

第二节 导数的应用

题型3-3 利用原函数与导函数的关系判断图像

题型3-4 利用导数求函数的单调性和单调区间

题型3-5 函数的极值与最值的求解

题型3-6 已知函数在区间上单调或不单调，求参数的取值范围

题型3-7 讨论含参函数的单调区间

题型3-8 利用导数研究函数图象的交点和函数零点个数问题

题型3-9 不等式恒成立与存在性问题

题型3-10 利用导数证明不等式

题型3-11 导数在实际问题中的应用

第三节 定积分和微积分基本定理

题型3-12 定积分的计算

题型3-13 求曲边梯形的面积

第四章 三角函数

第一节 三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式

题型4-1 终边相同角的集合的表示与识别

题型4-2 是第几象限角

题型4-3 弧长与扇形面积公式的计算

题型4-4 三角函数定义

题型4-5 三角函数线及其应用

题型4-6 象限符号与坐标轴角的三角函数值

题型4-7 同角求值——条件中出现的角和结论中出现的角是相同的

题型4-8 诱导求值与变形

第二节 三角函数的图象与性质

题型4-9 已知解析式确定函数性质

题型4-10 根据条件确定解析式

题型4-11 三角函数图象变换

第三节 三角恒等变换

题型4-12 两角和与差公式的证明

题型4-13 化简求值

第四节 解三角形

题型4-14 正弦定理的应用

题型4-15 余弦定理的应用

题型4-16 判断三角形的形状

题型4-17 正余弦定理与向量的综合

题型4-18 解三角形的实际应用

第五章 平面向量

第一节 向量的线性运算

题型5-1 平面向量的基本概念

题型5-2 共线向量基本定理及应用

题型5-3 平面向量的线性运算

题型5-4 平面向量基本定理及应用

题型5-5 向量与三角形的四心

题型5-6 利用向量法解平面几何问题

第二节 向量的坐标运算与数量积

题型5-7 向量的坐标运算

题型5-8 向量平行（共线）、垂直充要条件的坐标表示

题型5-9 平面向量的数量积

题型5-10 平面向量的应用

第六章 数列

第一节 等差数列与等比数列

题型6-1 等差、等比数列的通项及基本量的求解

题型6-2 等差、等比数列的求和

题型6-3 等差、等比数列的性质应用

题型6-4 判断和证明数列是等差、等比数列

题型6-5 等差数列与等比数列的综合

第二节 数列的通项公式与求和

题型6-6 数列的通项公式的求解

题型6-7 数列的求和

第三节 数列的综合

题型6-8 数列与函数的综合

题型6-9 数列与不等式综合

第七章 不等式

第一节 不等式的概念和性质

题型7-1 不等式的性质

题型7-2 比较数（式）的大小与比较法证明不等式

第二节 均值不等式和不等式的应用

题型7-3 均值不等式及其应用

题型7-4 利用均值不等式求函数最值

题型7-5 利用均值不等式证明不等式

题型7-6 不等式的证明

第三节 不等式的解法

题型7-7 有理不等式的解法

题型7-8 绝对值不等式的解法

第四节 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

题型7-9 二元一次不等式组表示的平面区域

题型7-10 平面区域的面积

题型7-11 求解目标函数中参数的取值范围

题型7-12 简单线性规划问题的实际运用

第五节 不等式综合

题型7-13 不等式恒成立问题中求参数的取值范围

题型7-14 函数与不等式综合

第八章 立体几何

第一节 空间几何体的表面积与体积

题型8-1 几何体的表面积与体积

题型8-2 球的表面积、体积与球面距离

题型8-3 几何体的外接球与内切球

第二节 空间几何体的直观图与三视图

题型8-4 直观图与斜二测画法

题型8-5 直观图、三视图

题型8-6 三视图直观图——简单几何体基本量的计算

题型8-7三视图直观图——简单组合体基本量的计算

题型8-8 部分三视图其余三视图

第三节 空间点、直线、平面之间的关系

题型8-9 证明“线共面”、“点共面”或“点共线”

题型8-10 异面直线的判定

第四节 直线、平面平行的判定与性质

题型8-11 证明空间中直线、平面的平行关系

第五节 直线、平面垂直的判定与性质

题型8-12证明空间中直线、平面的垂直关系

第六节 空间向量及其应用

题型8-13 空间向量及其运算

题型8-14 空间向量的立体几何中的应用

第七节 空间角与距离

题型8-15 空间角的计算

题型8-16 点到平面距离的计算

第九章 直线与圆的方程

第一节 直线的方程

题型9-1 倾斜角与斜率的计算

题型9-2 直线的方程

第二节 两条直线的位置关系

题型9-3 两直线位置关系的判定

题型9-4 有关距离的计算

题型9-5 对称问题

第三节 圆的方程

题型9-6 求圆的方程

题型9-7 与圆有关的轨迹问题

题型9-8 点与圆位置关系的判断

题型9-9 圆的一般方程的充要条件

题型9-10 与圆有关的最值问题

题型9-11 数形结合思想的应用

第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系

题型9-12 直线与圆的位置关系的判断

题型9-13 直线与圆的相交关系

题型9-14 直线与圆的相切关系

题型9-15 直线与圆的相离关系

题型9-16 圆与圆的位置关系

第十章 圆锥曲线方程

第一节 椭圆

题型10-1 椭圆的定义与标准方程

题型10-2 离心率的值及取值范围

题型10-3 焦点三角形

第二节 双曲线

题型10-4 双曲线的标准方程

题型10-5 双曲线离心率的求解及其取值范围问题

题型10-6 双曲线的渐近线

题型10-7 焦点三角形

第三节 抛物线

题型10-8 抛物线方程的求解

题型10-9 与抛物线有关的距离和最值问题

题型10-10 抛物线中三角形、四边形的面积问题

第四节 曲线与方程

题型10-11 求动点的轨迹方程

第五节 直线与圆锥曲线位置关系

题型10-12 直线与圆锥曲线的位置关系

题型10-13 中点弦问题

题型10-14 弦长问题

第六节 圆锥曲线综合

题型10-15 平面向量在解析几何中的应用

题型10-16 定点问题

题型10-17 定值问题

题型10-18 最值问题

第十一章 算法初步

题型11-1 已知流程图，求输出结果

题型11-2 根据条件，填充不完整的流程图

题型11-3 求输入参数

题型11-4 算法综合

第十二章 计数原理

第一节 计数原理与简单排列组合问题

题型12-1 分类计数原理与分步计数原理

题型12-2 排列数与组合数的推导、化简和计算

题型12-3 基本计数原理和简单排列组合问题的结合

第二节 排列问题

题型12-4 特殊元素或特殊位置的排列问题

题型12-5 元素相邻排列问题

题型12-6 元素不相邻排列问题

题型12-7 元素定序问题

题型12-8 其他排列：双排列、同元素的排列

第三节 组合问题

题型12-9 单纯组合应用问题

题型12-10 分选问题和选排问题

题型12-11 平均分组问题和分配问题

第四节 二项式定理

题型12-12 证明二项式定理

题型12-13 的系数与幂指数的确定

题型12-14 二项式定理中的系数和

题型12-15 二项式展开式的二项式系数与系数的最值

题型12-16 二项式定理的综合应用

第十三章 排列与统计

第一节 概率及其计算

题型13-1 古典概型

题型13-2 几何概型的计算

第二节 概率与概率分布

题型13-3 概率的计算

题型13-4 离散型随机变量的数学期望与方差

题型13-5 正态分布

第三节 统计与统计案例

题型13-6 抽样方法

题型13-7 样本分布

题型13-8 频率分布直方图的解读

题型13-9 线性回归方程

题型13-10 独立性检验

第十四章 推理与证明

第一节 合情推理与演绎推理

题型14-1 归纳猜想

题型14-2 类比推理

第二节 直接证明和间接证明

题型14-3 综合法与分析法证明

第三节 数学归纳法

题型14-4 数学归纳法的完善

题型14-5 证明恒等式

题型14-6 整除问题

题型14-7 不等式证明

题型14-8 递推公式导出通项公式的猜证及有关问题的证明

第十五章 复数

题型15-1 复数的概念、代数运算和两个复数相等的条件

题型15-2 复数的几何意义

第十六章 选讲内容

第一节 几何证明选讲（选修4-1）

题型16-1 圆和直角三角形中长度和角的计算

题型16-2 证明题

题型16-3 空间图形问题转化为平面问题

第二节 坐标系与参数方程（选修4-4）

题型16-4 参数方程化为普通方程

题型16-5 普通方程化为参数方程

题型16-6 极坐标方程化为直角坐标方程

第三节 不等式选讲（选修4-5）

题型16-7含绝对值的不等式

题型16-8 不等式的证明

题型16-9 一般综合法和分析法（含比较法）

题型16-10 数学归纳法