高二辅导资料-----计数原理

一、考纲解读

1、理解分类加法计数原理、分布乘法计数原理；

2、会用分类加法原理或分布乘法原理分析和解决一些简单的实际问题。

二、知识点解析

1、分类加法计数原理：做一件事，完成它有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有=                    种不同的方法。

2、分补乘法计数原理：做一件事，完成它有个步骤，在第一步中有种不同的方法，在第二步中有种不同的方法，，在第步中有种不同的方法，那么完成这件事共有=                    种不同的方法。

3、排列：从个不同的元素中任取个元素，按照一定的顺序排成一列， 叫做从个不同的元素中取出个元素的一个排列。

4、排列数：从个不同的元素中任取个元素的所有排成的个数， 叫做从个不同的元素中取出个元素的排列数，用符号表示：

     

当时，为全排列

5、组合：从个不同的元素中任取个元素并成一组， 叫做从个不同的元素中取出个元素的一个组合。

6、组合数：从个不同的元素中任取个元素的所有组合的个数， 叫做从个不同的元素中取出个元素的组合数，用符号表示：

       

7、组合数的性质：

   （1）

   （2）

三、计数原理练习

1、（2010全国卷2理数）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有

（A）12种          （B）18种           （C）36种          （D）54种

2、从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有

       A．300种                B．240种                C．144种                D．96种

3、将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有. 

A.12种  B. 24种   C. 36种  D. 48种

4、某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入节目单中，那么不同的插法种数为

A.504                          B.210                           C.336                           D.120

5、五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？又他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？

总结：

四、排列组合

1、把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同排法的种数为        

2、从0，1，2，3，4，5中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中能被5整除的三位数共有_____________个.（用数字作答）

3、若直线Ax+By=0的系数A、B可以从{0，2，3，4，5，6}中取不同的值.这些方程表示不同直线的条数是_____________.

五、例题分析

例1. 某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____种．（以数字作答）

例2. 从数字0、1、3、5、7中取出不同的三个作系数，可组成多少个不同的一元二次方程ax²+bx+c=0?其中有实数根的有几个？

剖析：（1）二次方程要求a不为0，故a只能在1、3、5、7中选，b、c没有限制.

（2）二次方程要有实根，需Δ=b²－4ac≥0，再对c分类讨论.

例3. 从0，1，2，3，4中取出不同的3个数字组成一个三位数，所有这些三位数的个位数字的和是多少？

变式探究：

从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中取出不同的5个数字组成一个5位偶数.（1）有多少个这样的数？（2）所有这些5位数的个位数字的和是多少？

例4. 分堆与分配问题

有本不同的书

（1）分成堆，每堆本，有多少种不同的分法？

（2）甲、乙、丙人每人本，有多少种不同的分法？

（3）分成堆，一堆本，一堆本，一堆本，有多少种不同的分法？

（4）分给甲、乙、丙人，一人本，一人本，一人本，有多少种不同的分法？

（5）分成堆，有堆各本，另一堆本，有多少种不同的分法？

（6）摆在层书架上，每层本，有多少种不同的分法？

（隔板法）例题：某企业要从其下属的个工厂中抽调名工程技术人员组成课题攻关小组，每厂至少调人，则这个名额的分配方案共有

A． 种                       B．种                C． 种                 D． 种

例5. 有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法?

（1）甲不在中间也不在两端；

（2）甲、乙两人必须排在两端；

（3）男、女生分别排在一起；

（4）男女相间；

（5）甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定.

变式探究：

   位男生和位女生共位同学站成一排，若男生甲不站两端，位女生中有且仅有两位女生相邻，则不同的站法有多少种？

五、组合问题

1.从4台甲型电脑和5台乙型电脑中任取3台，其中两种电脑都要取，则不同的取法种数是

A.140                       B.84                         C.70                         D.35

2、将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色.若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法种数为_____________.

3.某校准备参加20##年全国高中数学联赛，把10个名额分配给高三年级8个班，每班至少1人，不同的分配方案有_____________种.

4.北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为               

六、例题分析

例1. 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选取会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法?

例2. 设集合A={1，2，3，…，10}，

（1）设A的3个元素的子集的个数为n，求n的值；

（2）设A的3个元素的子集中，3个元素的和分别为a₁，a₂，…，a_n，求a₁+a₂+a₃+…+a_n的值.

例3. 从1，2，…，30这30个自然数中，每次取不同的三个数，使这三个数的和是3的倍数的取法有多少种

第二篇：数学运算之排列组合问题

数学运算之排列组合问题

公务员考试排列组合问题

（一）基本概念

（1）加法原理：分类的用加法

乘法原理：分步的用乘法

排列：与顺序有关

组合：与顺序无关

（2）主要解题技巧：逆向考虑法，特殊位置先排，隔板法，插空法，分类法，捆绑法等。 因为这部分内容比较多，所以抽屉原理另外在下一个专题里单独讲。

（二）习题与解析：

1、用1、2、3、4、5、6、7、8可组成多少个没有重复数字的五位数？

解析： 这是一个从8个元素中取5个元素的排列问题，由排列数公式，共可组成： P85=8*7*6*5*4=6720

2、由数字0、1、2、3可以组成多少个没有重复数字的偶数？

解析：分类法

注意到由四个数字0、1、2、3可组成的偶数有一位数、二位数、三位数、四位数这四类，所以要一类一类地考虑，再由加法原理解决.

第一类：一位偶数只有0、2，共2个；

第二类：两位偶数，它包含个位为0、2的两类.若个位取0，则十位可有C13种取法；若个位取2，则十位有C12种取法.故两位偶数共有（C13＋C12）种不同的取法；

第三类：三位偶数，它包含个位为0、2的两类.若个位取0，则十位和百位共有P23种取法；若个位取2，则十位和百位只能在0、1、3中取，百位有2种取法，十位也有2种取法，由乘法原理，个位为2的三位偶数有2×2个，三位偶数共有（P23＋2×2）个；

第四类：四位偶数.它包含个位为0、2的两类.若个位取 0，则共有P33个；若个位取 2，则其他 3位只能在 0、 1、 3中取.千位有2种取法，百位和十位在剩下的两个数中取，再排成一列，有P22种取法.由乘法原理，个位为2的四位偶数有2×P22个.所以，四位偶数共有（P33＋2×P22）种不同的取法.

由加法原理知，共可以组成

2＋（C13＋C12）＋（P23＋2×2）＋（P33＋2×P22）

＝2＋5＋10＋10

＝27个不同的偶数.

3、从5幅国画，3幅油画，2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种选法？ 解析：分类法。首先考虑从国画、油画、水彩画这三种画中选取两幅不同类型的画有三种情况，即可分三类，自然考虑到加法原理.当从国画、油画各选一幅有多少种选法时，利用的乘法原理.由此可知这是一道利用两个原理的综合题.关键是正确把握原理.

解：符合要求的选法可分三类：

设第一类为：国画、油画各一幅，可以想像成，第一步先在5张国画中选1张，第二步再在3张油画中选1张.由乘法原理有 5×3＝15种选法.第二类为国画、水彩画各一幅，由乘法原理有 5×2＝10种选法.第三类油画、水彩各一幅，由乘法原理有3×2＝6种选法.这三类是各自独立发生互不相干进行的.

因此，依加法原理，选取两幅不同类型的画布置教室的选法有 15＋10＋ 6＝31种. 运用加法和乘法原理时要注意：

①抓住两个基本原理的区别，千万不能混.

不同类的方法（其中每一个方法都能各自独立地把事情从头到尾做完）数之间做加法，可求得完成事情的不同方法总数.

不同步的方法（全程分成几个阶段（步），其中每一个方法都只能完成这件事的一个阶段）数之间做乘法，可求得完成整个事情的不同方法总数.

②在研究完成一件工作的不同方法数时，要遵循“不重不漏”的原则.请看一些例：从若干件产品中抽出几件产品来检验，如果把抽出的产品中至多有2件次品的抽法仅仅分为两类：第一类抽出的产品中有2件次品，第二类抽出的产品中有1件次品，那么这样的分类显然漏掉了抽出的产品中无次品的情况.又如：把能被2、被3、或被6整除的数分为三类：第一类为能被2整除的数，第二类为能被3整除的数，第三类为能被6整除的数.这三类数互有重复部分.

③在运用乘法原理时，要注意当每个步骤都做完时，这件事也必须完成，而且前面一个步骤中的每一种方法，对于下个步骤不同的方法来说是一样的.

4、一学生把一个一元硬币连续掷三次，试列出各种可能的排列.

解析：画图

由此可知，排列共有如下八种：

正正正、正正反、正反正、正反反、

反正正、反正反、反反正、反反反.

5、参加会议的人两辆都彼此握手，有人统计共握手36次，到会共有多少人？（）

A、9 B、10 C、11 D、12

解析：两人握手与顺序无关，（甲与乙握手和乙与甲握手是一样的），假设共有N个人，两两彼此握手可以握C2N次，有C2N=N(N-1)/2*1=36.解得N=9，选A

6、五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，则错的可能情况共有多少种？（）

A、6 B、10 C、12 D、20

解析：第一步：从五个瓶子中选出三个瓶子 共有C35=10种方法

第二步：对这三个瓶子进行错位排列，共有D3=2种方法

第三步：根据乘法原理，所有可能的方法数为10*2*1=20种

PS：有关错位排列问题。请看下一题。将有比较详细的解释。

7、甲乙丙丁四个人站成一排，已知：甲不站在第一位，乙不站在第二位，丙不站在第三位，丁不站在第四位，则所有可能的站法数为多少种？（）

A、6 B、12 C、9 D、24

解析：甲不能站在第一位，因此甲必然站在后三个位置中的某一个位置。

如果甲站在第二位，则共有三种可能：乙甲丁丙，丙甲丁乙，丁甲丙乙

如果甲站在第三位，则共有三种可能，乙丁甲丙，丙丁甲乙，丁丙甲乙

如果甲站在第四位，则共有三种可能，乙丙丁甲，丙丁乙甲，丁丙乙甲

因此一共有9种可能

总结：错位排列问题：有N封信和N个信封，则每封信都不装在自己的信封里，可能的方法的种数记作Dn。则D1=0，D2=1，D3=2，D4=9，D5=44，D6=265。。

8、A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两个人不站在一起，共有（）种排法。 解析：采用插空法。

第一步：CDE排成一排，共有P33=6种排法

第二步：口C口D口E口 ，共有4个空，将A、B插入这4个空中，共有P24=12种排法 根据乘法原理，共有不同的排法6*12=72种

9、A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两人必须站在一起，共有（）种排法。

解析：采用捆绑法。

第一步：将A、B捆绑在一起，共有P22=2种捆法。

第二步：用它们的整体和CDE一起拍，共有P44=24种排法

根据乘法原理，共有不同排法2*24=48种。

总结：相邻问题---捆绑法。 不邻问题---插空法。

10、有10颗糖，每天至少吃一粒，直到吃完为止，共有多少种不同的吃法？

解析：10片药并成一排，内部形成9个空。想象每个空上方都有一块隔板，如果隔板放下了，就是把那部分的糖果分成2天来吃了。每个隔板都有放下和不放下的2个选择。所以一共的可能性是2^9=512种方法。这个就是插板法。是为了解决相同元素的分配问题的。 11、6人站在一排，要求甲站在乙的左边，有多少种不同的排法？

解析：这里，甲站在乙的左边的排法和甲站在乙的右边的排法是对称的，那么排在左边的排法就是P66÷2=360种。