谈数学解题中的“进”与“退”

孙伟奇

(浙江省奉化中学,315500)

“进”与“退”是哲学中的一对矛盾，也是数学的一种思维策略，恰到好处的“进”在解题中可以起到居高临下，高瞻远瞩，深刻认识事物本质，透彻解决问题的目的；相反，善于“退”足够地“退”也会起到峰回路转，四两拨千斤的功效．本文就“退”与“进”在解题中的作用谈谈自己的管见．

一、从“一般”向“特殊”退

有些数学题的条件与结论之间的结构联系不甚明显，直接找出结论的规律或解题方法有困难，我们可以采用从“一般”向“特殊”后退的方法去寻求解题途径．先考虑某些特殊情形，从特殊情形的解答中进一步探求出一般规律性的结论，亦可从中得到启示找到一般情形的解题方法．

例1、已知抛物线y2?2px(p?0)，问：在x轴的正半轴上是否存在一点M，使得对过M的抛物线的任意一条弦P1OP2?1P2都有?P

请说明理由．

分析：假设满足题设条件的点M存在，设M(x0,y0),P1(x1,y1),P2(x2,y2)，则当P应有?P1OP2?1P2?OM时，?

2,??P1OM??2（Ｏ为坐标原点）？?

4,此时P1(2p,2p),P2(2p,?2p)，

从而M(2p,0),这表明若满足题设条件的点M存在，则其坐标只能是(2p,0).

设P1P2是过(2p,0)的任意一条弦(斜率为k)，P1P2的方程为y?k(x?2p)，代入y2?2px,得k2x2?2(2k2p?p)x?4k2p2?0,?x1x2?4p2,又y1y2?0且

2y12?2px1,y2?2px2,?y1y2??2px1?2px2??4p2,?x1x2?y1y2?0 ??P1OP2?

?2． 1

综上所述，在x轴的正半轴上存在唯一一点M(2p,0)，使得对过M的抛物线的任意一条弦P1P2都有?P1OP2??

2.

二、从“抽象”向“具体”退

我们知道有些关于代数和三角方面的数学题是比较抽象的，在不容易发现其内在的联系和解题方法时，如果能从“抽象”后退到“具体”来研究他们的数量关系，则较容易发现问题的内在联系，同时通过直观性也能启发我们解题思路．

例2、p为何值时，不等式0?x2?px?5?1恰有一个解．

分析：本题比较抽象，如单从代数不等式方面去考虑，则显得较繁．我们采取从抽象的代数式后退到具体的几何图形来考虑，可知y?x2?px?5是一条开口向上的抛物线，而y?1是一条平行于x轴的直线，综合考察这抛物线的顶点和这条直线的位置关系，本题的解法就明朗化了．

解：如图所示，y?x2?px?5是一条开口向上

的抛物线，当其顶点在直线y?1下方时，原不等式有

无穷多个解；当其顶点在直线y?1上方时，原不等式

无解；只有当且仅当项点落到直线y?1上时，原不等式恰有一个解．此时抛物pp2p2

),故当5??1,p??4时，不等式恰有一个解． 线的顶点为(?,5?244

三、从“整体”向“局部”退

有些数学问题从整体上不易解决，我们可以考虑从局部下手，常常也能促使问题得到解决．

例3、已知．a,b,c?R?,证明:1111 ???a3?b3?abcc3?b3?abcc3?a3?abcabc

2

解：我们从局部入手，?＝11a?b?c1111???(??)abca?b?cabca?b?cabbcca111，所以只需深入分析左边三项??ab(a?b?c)bc(a?b?c)ca(a?b?c)

111与右边各对应部分的大小关系即可． ,,a3?b3?abcc3?b3?abcc3?a3?abc

?a3?b3?abc?(a?b)(a2?b2?ab)?abc,又?a2?b2?2ab

?a2?b2?ab?ab,其中a,b?R?,a?b?0，

?a3?b3?abc?(a?b)ab?abc?ab(a?b?c)?0．

同理，?b3?c3?abc?bc(a?b?c)?0，

?a3?c3?abc?ac(a?b?c)?0， ?111???a3?b3?abcc3?b3?abcc3?a3?abc

11111111???(??)?. ab(a?b?c)bc(a?b?c)ca(a?b?c)a?b?cabbccaabc

四、由“高维”向“低维”退

从“高维”向“低维”后退的思想方法常用于解立体几何题，即把三维空间图形问题转化到二维的平面图形问题，即所谓的降维法．类似地在解高次、多元方程（组）的降次，消元，等都是从“高维”向“低维”后退的思想方法的体现．

例4、如图（1），四面体P?ABC中，六条棱长的和等于l，试求这个四面体的最大体积。

a C P (1) 3 a P b (2) B

分析：我们根据从“高维”向“低维”后退的思想，用平面上的多边形问题作为类比对象，找到一个类似的“低维问题”如图（2），考虑 Rt?PAB，且使三条边长的和等于l，求这个三角形的最大面积。

我们知道，当该三角形是等腰直角三角形时，面积达到最大值。由此对本题自然可作出类比猜想：当PA=PB=PC时，是所求体积最大的四面体。

为了解决这个问题，首先我们先考虑类比问题的解法：设

PA?a,PB?b,则Rt?PAB的面积

S?1ab,2

l?a?b?a2?b2?2ab?2ab?(2?2)ab?(2?2)2S?(2?22)S,由此解出S，再通过讨论等号成立的条件，就可求得S的最大值。

下面我们再利用求解类比问题结论的方法，来证实前面的猜想：设

PA?a,PB?b,PC?c，则四面体P?ABC的体积V?1abc.于是 6

l?PA?PB?PC?AB?BC?CA?a?b?c?a2?b2?b2?c2?a2?c2?3abc?2ab?2bc?2ac?36V?32V?3(1?2)，

当a?b?c时，上式等号成立，最大，从而V也达到最大，此时l?36(1?2)，

?V?l3

162(1?2)3。

从以上的分析来看，“退一步”真的是海阔天空，那么“进一步”就寸步难行吗？不然．解题时，如果把维数低，抽象水平弱的，或特殊的，局部的问题转化成抽象水平或整体性较强的，更具有一般性的问题来处理，再回到原问题，不仅也能使一些问题绝处逢生，还能深化学生思维，提高他们观察、建模、创新的能力．

五、从“局部”进到“整体”

4

对事物的认识既要注意“微观”又要把握“宏观”，这样才能避免片面性，全面地认识问题．因此对某些“局部性”的问题，扩展到整体以后来解决，往往能更好地利用整体的调控作用．

例5、3个12cm?12cm的正方形，被连接两条邻边的中点的直线分成A、B两片，如图1，把这6片粘在一个正六边形的外面如图2，然后折成一个多面体，如图3，试求其体积．（美国第三届数学邀请赛第15题）

分析：如图3，把立体图形从局部考虑，分割为一个正六棱锥S?ABCDEF与3个三棱锥S?PAB,S?QCD,S?REF的体积之和，通过一个一个计算可获得其解，但将局部所求几何体，通过补形，补成一个正方体，如图4，则所求体积是正方体体积的一半，即

13133

V?a??864(cm3). 22

六、从“少”进到“多”

我们知道，在解有关几个变量的的问题时，为使研究方便，可考虑增设参数来沟通变量之间的关系，也可根据结构直接增设与之相似的表达式．从变量的个数或表达式来讲已增多了，但这种增多却有益于问题的解决．

11例6、已知x2?2x?5?0,y2?2y?5?0求?的值.． xy

分析：此题如果先根据条件分别求出x,y的值，再代入11?求值，那是相xy

5

当麻烦的．事实上，根据已知条件的结构，可增设方程：t2?2t?5?0，则x,y是该方程的两根，于是由韦达定理x?y??2,xy??5，由此，得

11x?y2???，这里我们虽然增设了一个方程，使方程的总数比原来还多xyxy5

了一个，但正是这个增多的方程起到了简化作用．

七、从“特殊”进到“一般”

不少数学问题，其特殊的数量关系影响我们思维的广度，正所谓“只视树木，不见森林”，此时将这种特殊性的问题，推广到一般，有时反而更宜探究出问题的解法．

19901989与1990例7、比较1989的大小

显然， 这不是一个数字计算的问题．内部蕴涵着某种恒定的数学关系．于是， 联想到它的一般形式也许可以加以证明， 所以转为比较nn?1,(n?1)n(n?N*)的大小关系。通过计算，易知

当n?1,2时,有nn?1?(n?1)n; 当n?3,4时,是nn?1?(n?1)n;

当n?5时,仍有nn?1?(n?1)n.于是产生猜想：当n?3时,总有nn?1?(n?1)n. 如能证明上述普遍化的命题，取特殊值n?1989时，就可确定

199019891989?1990。

证明：先用数学归纳法证明：当n?3时，总有nn?1?(n?1)n.

（1）当n?3时，易知34?43;

（2）设n?k时命题成立，即kk?1?(k?1)k,?(

当n?k?1时，

?k?2k?1k?2k?1k?1k?1k?1kk?1k?1?,?()?()?()??k??k?1 k?1kk?1kkkkk?1k)?k. k

即n?k?1时，命题也成立，综合（1），（2），命题成立。

6

令n?1989，就证得了例7．

八、从“子系”进到“母系”

我们知道，数学学科是由各个知识点组成的网络系统，在这个互相联系的网络中，按其从属关系可分为若干个“子系”，而“子系”又统一在“母系”之下．一般的数学问题都置于某个“子系”，如果在此“子系”中不便求解，则应将其进到“母系”中来考察．

例８、解方程e3x?ex?e?3x?e?x?28x3?0．

此题按常规方法求解是很难的．但我们注意到原方程可表示为：

(e3x?e?3x?27x3)?(ex?e?x?x3)?0．于是考虑将方程进到函数的系统中，从而有以下解法：

解：设f(x)?ex?e?x?x3，则原方程为f(3x)?f(x)?0，即f(3x)??f(x)． 又易知f(x)是奇函数，所以有f(?x)??f(x),?f(3x)?f(?x)，

又由于f(x)递增，故定有3x??x，即x?0为原方程的根．

总之“进”与“退”是解题的两个方面，在培养学生思想方法时，要做到并举，两者不可偏废，使之达到对问题的思考能“退、进”自如．否则，不是“退”无路，就是“进”无径，甚至“进退”两难．

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第二篇：名家美文摘抄仿写