第二章     推理与证明

2.2.3   间接证明之反证法

主备教师：穆云映

课时计划：2节课

一、内容及其解析：

反证法的理论依据是逻辑规律中的排中律；一个事物或者是A，或者是非A，二者必居其一。反证法即是证明结论的反面正确。由于互为逆否命题的等价性，从逻辑角度看，原命题为真时，则它的逆否命题也为真。在直接证明原命题有困难时，就可以转换为证明它的逆否命题成立。本节课教学重点是理解反证法的推理依据；掌握反证法证明命题的方法；反证法证明题的步骤。教学难点是理解反证法的理论依据和方法。

二、目标及其解析

教学目标：

1、反证法的概念

2、反证法证明题的基本方法

目标解析：

1、一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

2、反证法证明题的步骤：

（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。

（2）从假设出发，经过推理，得出矛盾。

（3）由矛盾假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

三、问题诊断分析

学生从初中开始就对反证法有所接触，反证法的逻辑规则并不复杂，但用反证法证明数学问题却是学生学习的一个难点。究其原因，主要是反证法的应用需要逆向思维，但是学生的逆向思维训练和发展都是不充分的。

四、教学支持条件分析的叙述方法举例

在本节课综合法的教学中，准备使用多媒体教学。

五、教学过程：

问题一：什么叫做反证法？

问题1：在学习命题的知识时，我们主要学习了哪些词的否定？

设计意图：让同学们能回忆起某些特殊词的否定，为后面的题目做铺垫。

问题2：将9个球分别染成红色或白色，那么无论怎样染，至少有5个球是同色的。你能证明这个结论吗？

假设有某种染法使红色球和白色球的个数都不超过4，则球的总数应该不超过8个，这与球的总数是9矛盾。因此，不论怎样染，至少有5个球是同色的。

设计意图：让学生能够从具体的例子中，感受到反证法的存在。

问题3：上面的证明方法和我们上节课学习的综合法和分析法相同吗？

不同。

设计意图：让学生了解反证法是与直接证明不同的一种方法。

问题4：上面这种证明方法在数学中叫做什么呢？

反证法

设计意图：让学生知道在数学证明方法中，还有这样一种证明方法。

问题5：你能总结一下什么叫做反证法吗？

一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

设计意图：让学生掌握反证法的定义。

问题6：有反证法的定义，你能总结出用反证法证明题目的步骤吗？

反证法证明题的步骤：

（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。

（2）从假设出发，经过推理，得出矛盾。

（3）由矛盾假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

设计意图：让学生掌握反证法证明题目的步骤。

问题二：你能用反证法来证明数学题吗？

问题7：如何证明下面的题目？

例1、课本第42页，例题7.

变式训练：

用反证法证明：一个三角形内，不能有两个钝角

∴一个三角形内，不能有两个钝角．

例2、课本第43页，例题8

变式训练：

平面交平面于直线a，直线b在平面内，直线c在平面内，

 求证：是异面直线

证明：假设不是异面直线，则平行或相交

   若矛盾

  

六、本课小结

本节主要学习了反证法的理论依据、反证法的思想方法、反证法的解题步骤以及反证法证明命题的应用。对于反证法的熟练掌握还需以后随着进一步的学习深入，逐步加强和提高。

七、目标检测

1、下面叙述正确的是（ A）

A．综合法、分析法是直接证明的方法

B．综合法是直接证法、分析法是间接证法

C．综合法、分析法所用语气都是肯定的

D．综合法、分析法所用语气都是假定的

2、应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用（    ）

（1）结论相反判断，即假设；（2）原命题的条件；

（3）公理、定理、定义等；（4）原结论

A、（1）（2）   B、（1）（2）（4）    C、（1）（2）（3）   D、（2）（3）

3、命题“三角形ABC中，若”的结论的否定应该是（    ）

A、         B、            C、     D、

4、命题“关于x的方程的解是唯一的”的结论的否定是（     ）

A、无解        B、两解       C、至少两解         D、无解或至少两解

5、命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是（      ）

A、有两个内角是直角    B、有三个内角是直角

C、至少有两个内角是直角       D、没有一个内角是直角

八、配餐作业  

A组题

6、对一个命题的证明，下列说法错误的是（D  ）

Ａ．若能用分析法，必能用综合法

Ｂ．若用综合法或分析法证明难度较大时，可考虑分析法与综合法的合用等方法

Ｃ．若用直接证法难度较大时，可考虑反证法

Ｄ．用反证法就是要证结论的反面成立

7、设则（  D  ）

    A．都不大于           B．都不小于 

C．至少有一个不大于   D．至少有一个不小于

，三者不能都小于

8、设函数中，均为整数，且均为奇数。

   求证：无整数根。

证明：假设有整数根，则

   而均为奇数，即为奇数，为偶数，则同时为奇数；或同时为偶数，为奇数，当为奇数时，为偶数；当为偶数时，也为偶数，即为奇数，与矛盾。

 无整数根。

B组题

9、已知：，求证：

（1）；

（2）中至少有一个不小于。

（1）证明：∵

∴         

（2）假设都小于，则

，

即有 

∴     

由（1）可知，与矛盾，

∴假设不成立，即原命题成立

10、已知均为实数，且，

   求证：中至少有一个大于。

证明：假设都不大于，即，得，

         而，

         即，与矛盾，

         中至少有一个大于。

C组题

11、已知a、b、c是互不相等的非零实数.若用反证法证明三个方程ax²+2bx+c=0，bx²+2cx+a=0，cx²+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根.应假设           

三个方程中都没有两个相异实根   

  证明：假设三个方程中都没有两个相异实根，

则Δ₁=4b²－4ac≤0，Δ₂=4c²－4ab≤0，Δ₃=4a²－4bc≤0.

相加有a²－2ab+b²+b²－2bc+c²+c²－2ac+a²≤0，

（a－b）²+（b－c）²+（c－a）²≤0.        ①

由题意a、b、c互不相等，∴①式不能成立.

∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.

第二篇：九年级数学反证法专题讲座(教案)

九年级数学反证法专题讲座

教者：蒋昌军

一、什么叫反证法？

反证法是一种通过证明结论的反面错误，从而得到其正面（即结论）正确的一种几何证明方法。通常分为：

①归谬反证法(结论的反面只有一种)

②穷举反证法(结论的反面不只一种)。

二、用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：

1）.先假设结论的反面是正确的;

2）.然后以假设为条件进行推理，直至找出一个与所学过的公理、定理或已知的条件相矛盾的结论;

3）.否定假设,得出题目原结论正确.

【经典例题】

例1.求证:在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°

已知:△ABC

求证: △ABC中至少有一个内角小于或等于60°。

证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°，

则∠A＞60°,∠B＞60°,∠C＞60°,

∴∠A＋∠B＋∠C＞180°，与定理“三角形内角和等于180°”矛盾

∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°。

例2.求证:两条直线相交有且只有一个交点.

已知:直线AB与CD相交于点.

求证:AB与CD有且只有一个交点.

证明：假设AB与CD还有另一个交点.

则过点和有两条直线，这与直线公理

“两点确定一条直线”矛盾。

∴AB与CD有且只有一个交点.

例3.如图,在梯形ABCD中,AD//BC,∠A＝90°,⊙O 经过点A、B、D.

求证:点C不在⊙O上.

证明：假设点C在⊙O上，连接BD，∵∠A＝90°，∴BD是⊙O的直径，

∴∠BDC＝90°,又AD//BC, ∴∠B＝90°

∴四边形ABCD是矩形,这与已知“四边形是梯形ABCD”矛盾

∴点C不在⊙O上.

例4.如图，已知⊙O中，非直径的弦AB和CD相交于⊙O内一点P。

求证：AB和CD不互相平分

证明：假设AB和CD互相平分，连接OP，则由垂径定理，有：

OP⊥AB,且OP⊥CD，因此过点P有两条直线AB和CD都与OP垂直

这与垂直公理“过已知直线外的一个已知点有并且只有一条直线和已

知直线垂直”矛盾，∴AB和CD不互相平分

例5.如图，在平面内，AB是L的斜线，CD是L的垂线。

求证：AB与CD必定相交。

证明：假设：AB与CD不定相交则AB∥CD。

而CD⊥L,∴AB⊥L,这与已知条件“AB是L的斜线”矛盾。

∴ AB与CD必定相交。

例6.如图，在△ABC中，∠C＞∠B,求证：AB＞AC。

证明：假设AB不大于AC，则就两种可能：

AB＝AC或AB＜AC,

如果AB＝AC，则∠C＝∠B，这与已知条件“∠C＞

∠B”矛盾，∴AB≠AC

如果AB＜AC,在取,则连结得，

∠＝∠,又,

∴∠＞,

例7.求证：是无理数。

证明：假设是有理数，即假设有一个即约分数（是互质整数），使得，∴，，∵是偶数，∴是偶数，设，则，∴，

∴是偶数，于是、就有公约数2，这与假设“是互质整数”矛盾。∴是无理数。

例8.如图，在正方形ABCD中，做∠EAF=45°，AP⊥EF。求证：AP=AB.

证明：假设AP≠AB,则则就两种可能：AP＞AB或AP＜AB

∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°∴∠2＋∠3＝45°，∠1＋∠4＝45°

（1）假设AP＞AB，∵cos∠1＝, cos∠2＝,而AP＞AB，

∴∠2＜∠1，同理∠3＜∠4，

∴∠2＋∠3＜∠1＋∠4 又∠1＋∠4＝45°

∠2＋∠3＜45°，即∠EAF＜45°，这与已知“∠EAF＝45°”矛盾，

∴假设不成立，即“假设AP＞AB”不成立；

（2）假设AP＜AB，

∵cos∠4＝, cos∠3＝,而   AP＞AB＝AD，

∴∠3＞∠4，同理∠2＞∠1

∴∠3＋∠2＞∠4＋∠1而∠1＋∠4＝45°

∴∠3＋∠2＞45°即即∠EAF＞45°，这与已知“∠EAF＝45°”矛盾，

∴假设不成立，即“假设AP＜AB”不成立；

综上，AP＞AB和AP＜AB均不成立，∴AP＝AB。