北师大版高中数学 选修2-2《1.3反证法》教学设计

三维目标：

知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证

法；了解反证法的思考过程、特点。

过程与方法: 设计有代表性有梯度的例题，培养他们的辨析能力；逐步培养他们的

分析问题和解决问题的能力；

情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

教学重点：了解反证法的思考过程、特点

教学难点：反证法的思考过程、特点

教学准备：与教材内容相关的资料，多媒体教学（例题偏多，省去板演过程）

教学设想：通过问题情境的合理设置，让学生跳跳就能够得着了，在课堂内经历知识的发生发展，将体会汇总成理论，应用于实践。

教学过程:

一、复习导入

直接证明方法：综合法与分析法

间接证明方法：反证法

二、新授

1、反证法相关概念形成

反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。

2、典例分析

引入：课本例题P13例题1

2已知a是整数，2能整除a，求证：2能整除a

问题的提出应用了学生比较熟悉又可列举的正整数环境，学生比较容易想到用验证的方法先进行结论的检验，并且在验证的过程中体会整数平方运算的规律，从而寻找一般的并且严谨的证明方式。易于学生思考，同时也很好的激发了学生学习的动机和兴趣.同时严谨的证明对反证法定义的形成提供了强有力的思想支持，学生对一般的证明模式自然易于接受。

数学建构： 一般地，由证明题矛盾.从而判断转向证明，与假设矛盾，或者与某个真命为假，推出为真的方法，叫做反证法。

反证法的证题步骤：

（1）做出否定结论的假设

（2）进行推理，导出矛盾

------“矛盾”主要是指：

A与假设矛盾；

B与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；

C与公认的简单事实矛盾.

（3）否定假设，肯定结论

例题2：求证是无理数

本题是借助有理数的分数表示来处理，有助于加深学生对有理数的认识，思维上也有较高的要求，有利于发散学生思维，同时也和初中数学知识建立了联系，有利于学生建立知识体系，完善思维.本例设计的非常合理.同时在课本P14练习1中设计了一题，P习题1-3中也设计了一题，起到前后呼应、巩固加强理解和应用反证法的效果，同时体现了反证法对“原始”数学概念、公式、定理证明的作用。

例题3：课本例题3 在同一平面内，两条直线a,b都和直线c垂直，求证a与b平行。

本题本以几何知识为背景设计，在回顾初中平面几何知识的同时，又在证明过程中融合数形结合、分类讨论思想于一体，对学生数学思维和分析问题、解决问题能力的培养都有很好的效果,例题大家也容易接受，充分展示反证法对我们一些无从下手，思维跳跃的题型另类解答，让学生进入到证明的另一领域，激起学生学习的兴趣。课本P15习题1-3中设计了两道类似的例题，不过要从平面几何拓展到立体几何加深了难度。

三、巩固练习：课本P14-15练习、习题，优化设计：P5

四、补充例题

例题4 求证三角形中三个内角至少有一个角大于或等于60°

正难则反是“至多”“至少”类命题证明思路，同样是常用反证法，这类命题的证明一定要注意反设要写正确，这也是反证法证题的关键，课本P14例题4，优化设计中也有四道类似题呼应巩固。

五、拓展练习、优化设计：P6 题型二，随堂练习2、3、5

六、课时小结：

1、反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。

2、反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。

3、归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件

矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。

七、教学反思：学生只有亲身经历了知识的发生与发展才能很好的总结升华，才可以将体会汇总成理论，将理论应用于实践.将问题设计的有代表性了、有梯度了，学生能跳跳够得着了，自然有主动有积极，在课堂小结时才能真正有收获。

总结应用反证法证明数学命题的一般步骤：

1.分清命题的条件和结论；

2.做出与命题结论相矛盾的假设；

3.从假设出发，应用演绎推理的方法，推出矛盾的结果；

4.断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真。

虽然使用了多媒体教学，不用板演，但学生预习没有到位，内容还是有点多，时间比较紧凑。

第二篇：高中数学 1.3组合(一) 教案 北师大选修2-3

1.3组合（第一课时）

教学目标：

1.理解组合的意义，掌握组合数的计算公式；

2.能正确认识组合与排列的联系与区别

  教学重点：

理解组合的意义，掌握组合数的计算公式

    教学过程

一、复习引入：

1．排列的概念：

从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列

说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；

     （2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同

2．排列数的定义：

从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示

注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从个不同元素中，任取个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号只表示排列数，而不表示具体的排列

3．排列数公式及其推导：

（）

全排列数：（叫做n的阶乘）

二、讲解新课：

1组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合

说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同

2．组合数的概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的组合数．用符号表示．

3．组合数公式的推导：

（1）一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分如下两步：① 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数；② 求每一个组合中m个元素全排列数，根据分步计数原理得：＝．

（2）组合数的公式：

或

例子：

1、计算：（1）；  （2）；    

（1）解： ＝35；

（2）解法1：＝120．

     解法2：＝120．

2、求证：．

证明：∵

＝

＝

∴

3、在52件产品中，有50件合格品，2件次品，从中任取5件进行检查．

(1)全是合格品的抽法有多少种？

(2)次品全被抽出的抽法有多少种？

(3)恰有一件次品被抽出的抽法有多少种？

(4)至少有一件次品被抽出的抽法有多少种？

4、名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？

解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有，，，

所以，一共有++＝100种方法．

解法二：（间接法）

课堂小节：本节课学习了组合的意义，组合数的计算公式

课堂练习：

课后作业：

1.2.2组合

（第二课时）

教学目标：

1掌握组合数的两个性质；

2.进一步熟练组合数的计算公式，能够运用公式解决一些简单的应用问题

  教学重点：

掌握组合数的两个性质

    教学过程

一、复习引入：

1组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合

说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同

2．组合数的概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的组合数．用符号表示．

3．组合数公式的推导：

（1）一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分如下两步：① 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数；② 求每一个组合中m个元素全排列数，根据分步计数原理得：＝．

（2）组合数的公式：

或

二、讲解新课：

1 组合数的性质1：．

一般地，从n个不同元素中取出个元素后，剩下个元素．因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n - m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n - m个元素的组合数，即：．在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想

证明：∵

又 ，∴

说明：①规定：；

②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；

③或．

2．组合数的性质2：＝+．

一般地，从这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是，这些组合可以分为两类：一类含有元素，一类不含有．含有的组合是从这n个元素中取出m -1个元素与组成的，共有个；不含有的组合是从这n个元素中取出m个元素组成的，共有个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．

证明：  

            

∴＝+．

3.例子

1．（1）计算：；

（2）求证：＝++．

解：（1）原式；

证明：（2）右边左边

2．解方程：（1）；（2）解方程：．

解：（1）由原方程得或，∴或，

 又由得且，∴原方程的解为或

上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把和代入检验,这样运算量小得多.

（2）原方程可化为，即，∴，

∴，

∴，解得或，

 经检验：是原方程的解

3. 有同样大小的4个红球，6个白球。

(1)从中任取4个，有多少种取法？

(2)从中任取4个，使白球比红球多，有多少种取法？

(3)从中任取4个，至少有一个是红球，有多少种取法？

(4)假设取1个红球得2分，取1个白球得1分。从中取4个球，使总分不小于5分的取法有多少种？

课堂小节：本节课学习了组合数的两个性质

课堂练习：

课后作业：

1.2.2组合

（第三课时）

教学目标：

1、进一步巩固组合、组合数的概念及其性质；

2、能够解决一些组合应用问题

  教学重点：

解决一些组合应用问题

    教学过程

一、复习引入：

1组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合

说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同

2．组合数的概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的组合数．用符号表示．

3．组合数公式的推导：

（1）一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分如下两步：① 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数；② 求每一个组合中m个元素全排列数，根据分步计数原理得：＝．

（2）组合数的公式：

或

4.组合数的性质1：．

5.组合数的性质2：＝+．

二、讲解新课：

例子

1．(1)把n+1个不同小球全部放到n个有编号的小盒中去，每小盒至少有1个小球，共有多少种放法？

(2)把n+1相同的小球，全部放到n个有编号的小盒中去，每盒至少有1个小球，又有多少种放法？

(3)把n+1个不同小球，全部放到n个有编号的小盒中去，如果每小盒放进的球数不限，问有多少种放法？

2．从编号为1，2，3，…，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？

解：分为三类：1奇4偶有 ；    3奇2偶有；    5奇1偶有，

∴一共有++．

3．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其    中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？

解：我们可以分为三类：

①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有；

②让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有；

③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有，

∴一共有++＝42种方法．

4．甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表 ？

解法一：（排除法）．

解法二：分为两类：一类为甲不值周一，也不值周六，有；

另一类为甲不值周一，但值周六，有，

∴一共有+＝42种方法．

5．6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？

解：第一步：从6本不同的书中任取2本“捆绑”在一起看成一个元素有种方法；

第二步：将5个“不同元素（书）”分给5个人有种方法．

根据分步计数原理，一共有＝1800种方法

6. 从6双不同手套中，任取4只，

(1)恰有1双配对的取法是多少？

(2)没有1双配对的取法是多少？

(3)至少有1双配对的取法是多少？

课堂小节：本节课学习了组合数的应用

课堂练习：