《椭圆及其标准方程》教学设计
设计：黄福森 福建省建宁县第一中学
点评：卢梅丰 永定坎市中学
一、概述
1．《椭圆及其标准方程》是高中数学选修1-1（人教版）2.1.1中的内容，分三课时完成. 第一课时讲解椭圆的定义及其标准方程；第二课时讲解运用椭圆的定义及其标准方程解题，巩固求曲线方程的两种基本方法，即待定系数法、定义法；第三课时讲解运用中间变量法求动点轨迹方程的基本思路。 本节是第一课时.
2．本节内容是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线的方程的概念有了一定了解，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。 椭圆的学习可以为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础. 因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容之一。
3．运用多媒体形象地给出椭圆，通过让学生自已动手作图，“定性”地画出椭圆，再通过坐标法“定量”地描述椭圆，使之从感性到理性抽象概括，形式概念，推出方程。
点评：本课实际上是在PowerPoint中插入图片的运用。黄老师把这个环节的教学设计成一个任务。利用任务驱动的教学方法激发学生学习和操作的欲望。让学生在动手操作中体验和领悟，自主发现，自主学习。让学生体验到动手的乐趣。
二、教学目标分析
1. 知识与技能目标：
掌握椭圆的定义和标准方程；明确焦点、焦距的概念；理解椭圆标准方程的推导。
2. 过程与方法目标：
通过让学生积极参与、亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程；体验坐标法在处理几何问题中的优越性，从而进一步掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想，提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力。
3. 情感态度与价值观目标：
通过主动探究、合作学习，相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神。
培养学生自主学习的能力。以查找“神舟7号”有关材料，激发学生学习数学的兴趣，增强学生的数学应用意识、创新意识，扩展学生的数学视野，并让学生受到爱国主义思想的教育。
点评：教学目的是教学设计的灵魂，该教学设计教学目的确定是非常准确的，尤其是知识目标确定为：符合新课程标准和教学要求，目标动词的使用严谨，很明显作为一个经验丰富的教师，该设计的教学目标拟定参考了教育部新课程的考纲，作为一个高质量的教学设计，本人认为该设计值得商榷的一点是在“情感态度与价值观”的教学目标的确定上目标动词使用也许可以更准确一些，避免过于空泛。另过程和方法的目标宜放在第二课时实现。
三、学习者特征分析
1．在此之前，学生已学过坐标法解决几何问题，学过圆的定义与标准方程，但掌握不够，
2．从研究圆到研究椭圆，跨度较大，学生思维上存在障碍.
3．在求椭圆标准方程时，会遇到比较复杂的根式化简问题，而这些在目前初中代数中都没有详细介绍，初中代数不能完全满足学习本节的需要。
4．该班学生是高二文科生，数学基础整体较差。
5．经过近一学期的引导、鼓励，学生学习数学的积极性较高。
点评：对学习者知识基础、运算能力、学习兴趣和认知特征分析较到位，能和相应的教学方法激发学生的兴趣、锻炼提高运算能力和学生学习过程的积极性。
四、教学策略选择与设计
1、教法设计：采用启发式教学，在课堂教学中坚持以教师为主导，学生为主体,思维训练为主线，能力培养为主攻的原则。
2、学法设计：自主探究，合作交流
要求学生动手实验，自主探究，合作交流，抽象出椭圆定义，并用坐标法探究椭圆的标准方程，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。
3、教学手段：多媒体辅助教学.
通过动态演示，有利于引起学生的学习兴趣，激发学生的学习热情，增大知识信息的容量，使内容充实、形象、直观，提高教学效率和教学质量.
点评:本节课的引入采用神州7号围绕地球旋转的壮观图片，一下子就把学生的注意力吸引住了，在创设情境，引发动机方面起到很好的效果。
五、教学资源与工具设计
1．多媒体教室
2．每个学生准备一段细线、两枚大头针或图钉
3．上网搜索有关神舟系列火箭运行轨迹图
五、教学程序
(一) 创设情景，提出课题
Ppt图片（神舟
[问一] “神舟7号”围绕地球运行轨迹是什么图形？
(二) 自主探究，形成概念
[问二] 动点按照某种规律运动形成的轨迹叫曲线，那么椭圆是满足什么条件的轨迹呢？
教师引导：要想知道椭圆是满足什么条件的点的轨迹，首先要知道椭圆的画法。于是让学生拿出课前准备好的一块纸板，一段细绳，两枚图钉，按课本上介绍的方法，同桌间相互磋商、动手绘图，教师巡视，并抽已完成的两位同学在黑板上用准备好的工具演示，使学生尝试到成功的喜悦.。教师进一步启发引导学生讨论，得出“到两个定点的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆”
[思考]
1. 在纸板上作图说明了什么？
2. 在绳长 (设为 2 a ）不变的条件下，
（1）当两个图钉重合在一点时，画出的图形是什么？
（2）改变两个图钉之间的距离，画出的图形是什么？
（3）当两个图钉之间的距离等于绳长时，画出的图形是什么？
（4）当两图钉固定，能使绳长小于两图钉之间的距离吗？能画出图形吗？
3．学生自己概括椭圆定义.
定义 平面内与两个定点F1 、F2 的距离的和等于常数（大于 |F1 F2 | ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
在归纳定义时，再次强调定义要满足三个条件：①平面内（这是大前提）；②任意一点到两个定点的距离的和等于常数；③常数大于 |F1 F2 |.
(三) 师生互动，导出方程
给出椭圆的定义后，教师即可指出：由椭圆定义，知道了它的基本几何特征，这只是一种“定性”的描述，但是对于这种曲线还具有哪些性质，尚需进一步研究. 根据解析几何的基本思想方法，我们需要利用坐标法先建立椭圆的方程“定量”的描述，然后通过对椭圆的方程的讨论，来研究其几何性质.
[问三]
1. 求曲线方程的一般步骤是什么？
2. 建立坐标系的一般原则有哪些？
学生围绕以上问题思考，讨论可得：求曲线方程的一般步骤——建系、设点、写出点集、列出方程、化简方程、证明（可省略）. 建系的一般原则为：使已知点的坐标和曲线的方程尽可能简单，即原点取在定点或定线段的中点，坐标轴取在定直线上或图形的对称轴上，充分利用图形的对称性.
[问四] 怎样建立坐标系，才能使求出的椭圆方程最为简单？
通过前面知识的回忆，学生思考、相互交流，很容易选定下列建立坐标系的方案.
1. 建系：以两定点F1 、F2 的
连线为 x 轴，以线段 F1 F2 的垂直平分线为y轴，建立坐标系，如图1
2. 设点：
设M ( x , y ) 为椭圆上任意一点，| F1 F2 | = 2 c (c>0) ，则有F1（－c, 0）、F2 (c ,0). 又设 M与F1 和F2 的距离的和等于常数 2 a ( a
> 0 ) .
22223、列出方程(x?c）?y?x?c）?y?2a
到此为止，学生以为椭圆的方程已求出，此时教师可以指出：为了更进一步利用方程探讨椭圆的其他性质需要尽量简化方程形式，使数量关系更加明朗化.
4. 化简方程：学生对含有两个根式之和的等式进行化简有一定困难，采用以下方法突破难点：首先让学生明确，含根号的等式化简的目的就是要去掉根号，变无理式为有理式；启发学生，化简含两个根式之和的等式，只要将两个根式分别放在等号两边，其中一边只含一个根式，平方一次后即可转化为只含一个根式的化简问题.
22222 222教师引导学生化简，得到 (a － c ) x + a y = a (a － c ) . 指出：此方程形式还不
够简捷，还有变形的必要再简化。
2222222222222先简化a-c，∵a>c,∴a-c>0,令a-c＝b，则方程化为bx+ay=ab，联想到直线截距式方程，两边
x2y2
同除以ab得，2?2?1 （a>b>0） ab22x2y2
指出：方程2?2?1 （a>b>0）叫做椭圆的标ab
程，此时，椭圆的焦点在x轴上，F1(-c,0)
222F2(c,0),这里，c=a-b
[问 五] 如果焦点F1 、F2 在 y 轴上，并且
点O 与线段F1 F2 的中点重合，a、b、c 的意义同上，
方程形式又如何呢？
学生互相讨论，交流，合情猜想，动手验证可得 准方椭圆的
y2x2
?2?1（a>b>0） 2ab
y2x2
2?2?1（a>b>0）叫做椭圆的标准方程，ab
222此时，椭圆的焦点在y轴上，F1(0,-c)，F2(0,c),这里，c=a-b
教师板书）
(四) 初步运用，强化理解
例 题
1. 判定下列椭圆的焦点在哪个轴上，并指明 a2，b2 和焦点坐标.
(1) x2y2x2y2
25?16?1 (2) m2?m2?1?1
2．椭圆2x2－3y2＝1焦点坐标为
x2
3．椭圆9?y2
25?1的焦距是 ，焦点坐标
为 ；若AB是过下焦点F1的弦，则△F1AB的周长
3
(五) 自我评价，反馈调节
1．椭圆x2y2
64?9?1
上一点P到焦点F1的距离等于6，则点P到另一个焦点F2的距离是
2．动点P到定点F1（－5，0），F2（5，0）的距离的和是10，则动点P的轨迹为（ ）
（A）椭圆 (B) 线段F1F2 (C) 直线F1F2 (D)不能确定
3．简化方程：x2?(y?3)2?x2?(y?3)2?10 是图
4．椭圆mx+ny=－mn (m<n<0)的焦点坐标是
（学生分组比赛，每组抽2位同学的作业用幻灯演示，教师订正。
(六) 知识整理，形成系统（由学生归纳，教师完善）
1. 椭圆的定义（注意定义中的三个条件）
2. 椭圆的标准方程（注意焦点的位置与方程形式的关系）
3. 解析几何的基本思想
(七)布置作业，巩固提高（学有余力的学生全做，其余学生不做探究题）
1. 课本习题 p36练习第 1 、2、3题
2. 课后探究题：将推导椭圆方程过程中得到的方程a－cx=a222(x?c)2?y2变形为(x?c)2?y2
a2
?xc?c后观察式子的几何意义，提出合理猜想。 a
点评:从“神舟7号”围绕地球运行轨迹入题，层层提问，师生互动，重视对学生思维过程的引导和启发，问题设置循序渐进，顺其自然，教学过程体现先行组织者的作用。讲练结合，注重过程性的教学评价，教学过程能激发学生的学习积极性，能调动学生突破教学重难点。
五、课后反思
本节课围绕“层层设问自主探索发现规律 归纳总结”这一主线展开，对教材内容进行优化组合，在教学过程中，学生通过观看图片，动手实践，自己总结出椭圆定义，符合从感性上升为理性的认知规律，而且提升了抽象概括的能力. 同时在进行推导椭圆的标准方程的过程中，提高了利用坐标法解决几何问题的能力及运算能力. 在整节课中，教师作为引导者，利用“神舟7号”围绕地球运行轨迹的演示，激发学生学习数学的兴趣，鼓励学生大胆探索 ，勇于创新，提高学生参与数学活动的兴趣和积极性，同时设置了不同层次的知识面，以适应不同学生的认知过程.增强了学生的自信心，基本体现了新课标中让学生自主学习的教学理念.
附1：教学过程流程图 附2：课件结构图
附件3：教学评价内容设计
1、评价内容：课堂表现评价、学习效果评价
2.评价方式：
课堂表现评价采用教师依据学生学习态度、积极参与、认真听课、完成课堂练习等进行定性评价，分优秀、良好、合格、有待提高四个等级，比例为2：3：4：1
学习效果评价采用课堂学习效果评价+作业方式评价，内容有画图（定性）课堂练习、课后作业（定量，根据完成情况及正确程度评分，满分10分）课后探究（定性）等
点评：本环节是对本课进行一个总结回顾，从而让学生对所学的知识技能有一个归纳总结
附件4 教学设计成果评价量表
第二篇：课题 椭圆及其标准方程 一
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