“田忌赛马”管理谋略数学模式的构建及其优点探析
摘要：用数学方法解析了“田忌赛马”管理谋略的奥秘，在此基础上提出了这种管理谋略的数学模式，并分析了它的特点和优点及其产生的原因，为进一步应用和推广这种管理谋略提供了具体的参照系和比较科学规范的途径和方法。 关键词：“田忌赛马”；管理谋略；数学模式
Building the Mathematical Mode of “Tianji’s Horse
Racing Strategy” and Discussion on Its Advantage
Abstract: The mystery of “Tianji’s horse racing strategy” is analyzed by using mathematical method , based on this the mathematical mode is established . Its characteristic , advantage , and origin are analyzed , which provides more scientific method for its use and popularization Key words: “Tianji’s horse racing strategy” managerial strategy mathematical mode
0 引言
“田忌赛马”是一个耳熟能详的管理话题。我国古代杰出的军事家孙膑在“田忌赛马”中为齐国大将田忌运筹策划的管理谋略和方法，早就被人所效法。在现代管理决策中，这种管理谋略和方法也得到了普遍的应用和推广。然而，如何更有效地应用和推广这种管理谋略和方法，提高它的科学性、规范性和实用性，充分发挥其管理科学化的作用和效益，仍然是一个值得人们深入思考核探讨的问题。本文运用数学方法解析了“田忌赛马”的管理谋略，在此基础上构建了这种管理谋略的数学模式，分析了它的特点和优点及其产生的原因，为在现代管理中应用和推广这种管理谋略提供具体的参照系，寻求一条更加科学规范的途径和方法。
1 理论基础和科学依据
在“田忌赛马”中，作为赛马一方的组织者田忌，原来在比赛前心中无数，对胜利缺乏充分的信心和把握，而当他采用了孙膑的管理谋略之后，却能在不改变马的足力的情况下，不仅在比赛前胜券在握，志在必得，而且果真赢得了齐王的千金赌注。可见，孙膑为田忌所策划的管理谋略确实计高一筹、不同凡响，具有出神入化、妙手回天的奇特功效。人们不禁要问：孙膑的管理谋略到底有何奥 1
秘？它为什么使田忌在比赛前就能预料并有把握地取得了胜利？这种管理谋略和方法的理论基础和科学依据是什么？
乍看起来，孙膑在“田忌赛马”中所策划的管理谋略不仅奥秘神奇，而且高深莫测。然而，只要我们仔细地加以分析，揭开它神秘面纱，就会发现其中隐藏着深刻的科学道理，是有一定的规律可以遵循的。
在比赛的双方把马分为上、中、下3个等次，同一等次马足不甚相远的条件下，谁胜谁负就完全取决于对自己所拥有的资源-----各种马足如何搭配和使用才能发挥出更大更好的效果，实质上就是比赛的组织者在比赛中能否使马的配对排列和组织作到最优化的问题。谁的配对排列和组合最优，谁就能稳操胜券，争取主动；否则谁就只能听天由命，任人摆布。因此，从根本上说，这个问题时属于数学中的排列组合及其最优化的知识范畴。这就使孙膑在“田忌赛马”中为田忌所策划的管理的理论基础，也是它的科学依据。 2 “田忌赛马”管理谋略的数学方法解析
孙膑在“田忌赛马”中为田忌所策划的管理谋略的核心，就是巧妙地运用双方马的配对精心设计了一个最优化的比赛方案。这个比赛方案可以概括为：用己方的下等马与对方的上等马去比，用己方的上等马与对方的中等马去比，用己方的中等马与对方的下等马去比。
那么，为什么说这是一个最优化的比赛方案呢？
下面让我们用教学中关于排列组合及其优化的理论和方法，来解析“田忌赛马”的管理谋略。假设田忌和齐王3个等次的马分别为田上田中田下和王上王中王下 。那么，根据排列数学公式，双方3个等次马的排列分别有：
P33=3！=3×2×1=6种不同的方法（见表1）。
表1 田忌和齐王3个等次马的排列情况
比赛方 排列方法序号 3个等次马的排列情况
田 忌 齐 王
1
2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
田上 田中 田下 田上 田下 田中 田中 田上 田下 田中 田下 田上 田下 田上 田中 田下 田中 田上 王上 王中 王下 王上 王下 王中 王中 王上 王下 王中 王下 王上 王下 王上 王中 王下 王中 王上
2
由于田忌和齐王3个等次的马分别有6种不同的排列，那么，根据乘法原理，双方3个等次马的配对排列共有：
N=m1×m2=6×6=36种不同的方法。
双方3个等次马的任何一种配对排列方法，都可以作为一种比赛方案。所以，在比赛前，可供田忌选择的比赛方案就有36种（见表2）
表2可供田忌选择的比赛方案
赛 方 案 序 号
1 2 3 4 5 6
的 配 对 排 列
田上 王上 田中 王中 田下 王下 田上 王上 田中 王下 田上 王中 田上 王中 田中 王上 田下 王下 田上 王中 田中 王下 田下 王上 田上 王下 田中 王上 田下 王中 田上 王下 田中 王中 田下 王上
赛 方 案 序 号
7 8 9 10 11 12
的 配 对 排 列
田上 王上 田下 王中 田中 王下 田上 王上 田下 王下 田中 王中 田上 王中 田下 王上 田中 王下 田上 王中 田下 王下 田中 王上 田上 王下 田下 王上 田中 王中 田上 王下 田下 王中 田中 王上
赛 方 案 序 号
13 14 15 16 17 18
的 配 对 排 列
田中 王上 田上 王中 田下 王下 田中 王上 田上 王下 田下 王中 田中 王中 田上 王上 田下 王下 田中 王中 田上 王下 田下 王上 田中 王下 田上 王上 田下 王中 田中 王下 田上 王中 田下 王上
赛 方 案 序 号
19 20 21 22 23 24
的 配 对 排 列
田中 王上 田下 王中 田上 王下 田中 王上 田下 王下 田上 王中 田中 王中 田上 王上 田下 王下 田中 王中 田下 王下 田上 王上 田中 王下 田下 王上 田上 王中 田中 王下 田下 王中 田上 王上
赛 方 案 序 号
25 26 27 28 29 30
的 配 对 排 列
田下 王上 田上 王中 田中 王下 田下 王上 田上 王下 田中 王中 田下 王中 田上 王上 田中 王下 田下 王中 田上 王下 田中 王上 田下 王下 田上 王上 田中 王中 田下 王下 田上 王中 田中 王上
赛 方 案 序 号
31 32 33 34 35 36
的 配 对 排 列
田下 王上 田中 王中 田上 王下 田下 王上 田中 王下 田上 王中 田下 王中 田中 王上 田上 王下 田下 王中 田中 王下 田上 王上 田下 王下 田中 王上 田上 王中 田下 王下 田中 王中 田上 王上
从表2所列出36种比赛方案的总体情况来看，双方的马足强弱总数是相等的。因而胜负比分也是相等的。这样，田忌如果在比赛前随机选择一种比赛方案，他就只能预料自己在每局比赛中最终结果是输赢概率各占50%。也就是说，田忌有可能赢，也有可能输，但无法确切地预料自己在哪一个比赛方案中的输赢结果。 那么，怎样才能使田忌在比赛前就能确切的预料，用哪个比赛方案会使自己有把握地战胜齐王而缺的赢局呢？
从表2可以看出，虽然在36种比赛方案中，双方马的配对排列有36种不同的情况。但是，如果不看配对排列顺序，只看相同配对个数，则可以把这36种配
3
对排列归纳为6种配对组合，每种组合都包括6个比赛方案：
第1种组合：双方马的3个配对是：田上对王上 、田中对王中 、田下对王下。由此可以判断，田忌的马足强弱是3个不相上下，胜负比分是3平。这样，田忌就只能预料自己在比赛中的输赢概率各占50%，而无法确切地知道最终结果。
第2种组合：双方马的3个配对是：田上对王上 、田中对王下 、田下对王中。由此可以判断，田忌的马足强弱势3个不相上下、一个强、一个弱，胜负比分是一平一胜一负。这样，田忌就只能预料自己在比赛中的输赢各占50%，而无法确切地知道最终结果。
第3种组合：双方马的3个配对是：田上对王中、田中对王上、田下对王下。由此
可以判断，田忌的马足是一个强、一个弱、一个不相上下，胜负比分是一平一胜一负。这样，田忌就只能预料自己在比赛中的输赢各占50%，而无法确切地知道最终结果。
第4种组合：双方马的3个配对是：田上对王中、田中对王下、田下对王上。由此
可以判断，田忌的马足强弱是两个强一个弱，胜负比分是二胜一负。这样，田忌就可以确定地预料自己在全局比赛中的最终结果必定是赢局。
第5种组合：双方马的3个配对是：田上对王下、田中对王上、田下对王中。由此
可以判断，田忌的马足强弱是一个强两个弱，胜负比分是一胜二负。这样，田忌就可以确定地预料自己在全局比赛中的最终结果必定是输局。
第6种组合：双方马的3个配对是：田上对王下 、田中对王中 、田下对王上。由此可以判断，田忌的马足强弱是一个强、一个不相上下，胜负比分是一胜一平一负。这样，田忌就只能预料自己在比赛中的输赢概率各占50%，而无法确切地知道最终结果。
综上所述，对田忌来说，双方马的6种配对组合是有上下优劣之分的。其中只有第4轮配对组合，才能使他在比赛前预见并有把握地战胜齐王而赢得全局胜利。所以，这种组合中的6个比赛方案，才是可供田忌选择的最优化比赛方案就是其中一个。
3 “田忌赛马”管理谋略数学模式的构建
从以上对“田忌赛马”管理谋略数学方法解析中，可以得出这样的结论：作为赛马一方的管理者田忌，想要在比赛前预见并有把握地赢得全局比赛的胜利，就必须对双方马的配对排列和组合进行精心谋划，巧妙运筹，设计出最优化的比赛方案，才能在比赛中高人一筹而胜出对方。这种运用数学中排列组合及其优化的理论，设计出来的最优化的方案，使一种比较科学规范的管理方法。这就是“田 4
忌赛马”管理谋略数学模式的基本原理。
基于上述原理，我们可以这样来构建“田忌赛马”管理谋略数学模式： 设x为田忌的马；y为齐王的马；i为马足等次，取值范围是1、2、3，分别代表上、中、下。
则田忌马的集合为xi=｛x1,x2,x2｝；齐王马的集合为yi=｛y1,y2,y3｝。 依题意：
x1＞x2＞x3 y1＞y2＞y3
且x1=y1 x2=y2 x3=y3
故集合xi与集合yi中的三个元素的所有一一对应关系，可归纳为6种组合：
（1） x1=y1， x2=y2 ， x3=y3 ; （2） x1=y1， x2＞y2 ， x3＜y3 ; （3）x1＞y1， x2＜y2 ， x3=y3 ; （4）x1＞y1， x2＞y2 ， x3＜y3 ; （5）x1＞y1， x2＜y2 ， x3＜y3 ; （6）x1＞y1， x2=y2 ， x3＜y3 .
很显然，在上述6种组合中，只有第（4）种组合的对应关系，才能充分保证集合xi中必定有两个元素分别大于集合yi中对应的两个元素，也就是说，田忌赢得概率是100%，输的概率是0。而其中5组的对应关系，均不能充分保证这一点。所以第（4）种组合中3个元素之间的对应关系，就是“田忌赛马”管理谋略数学模式的基本形式。这个数学模式的具体内容是：由田忌3个等次的马和齐王3个等次马最优配对组合的3个配对，即田上对王中、田中对王下、田下对王上及其由此决定的田忌马足强弱、胜负比分和输赢概率所构建的一种比赛方案模式。这种最优配对组合中的3个配对，共有6个排列方法，分别对应表2所列4、9、18、23、25、32这6个比赛方案。它们都是这个数学模式的具体表现形式。田忌只要掌握了这个数学模式的配对方法和规则，并以此来设计比赛方案，就能够在比赛前确切地预料自己会有把握地战胜齐王而赢得全局的胜利。 4 “田忌赛马”管理谋略数学模式的特点和优点分析
“田忌赛马”管理谋略数学模式与其他5种配对组合相比,具有以下两个特点
5
和优点，这也是我们应用这种管理谋略时必须遵循的两条原则：
（1）“田忌赛马”管理谋略数学模式的3个配对，都是由双方不同的马足构成的。这种配对方法的优点就在于，它排除了双方在比赛中出现平局。因而，不仅是最终结果的范围由3种可能性缩小为两种可能性，而且由不可预料变成可预料。
因为在6种配对组合中，双方马足搭配有两种情况3种可能性：一种情况是在3个配对中，有3个马足等次相同。这样，田忌的马足强弱就是3个不相上下或一强一弱一个不相上下，胜负比分就是3平或一胜一负一平，最终结果出现输赢的概率是50%，即或赢或输的可能性。这种结果实不确定的。因而无法预料。另一种情况是在3个配对中，双方马足不是强就是弱，因而比赛的最终结果就是只有两种可能性：不是以二胜一负为赢局，就是以一胜两负为输局。这两种结果都是正确的，因而可预料。
（2）“田忌赛马”管理谋略数学模式的3个配对中，田忌的下等马必须与齐王的上等马相配对。这样配对的优点就在于，它排除了田忌以一胜两负输于齐王的可能性，而使田忌以二胜一负战胜齐王的可能性变成了必然性。
因为按照第一个特点要求，双方不同等次马足配对只有两种组合：一种是田上对王中、田中对王下、田下对王上 ；另一种是田上对王下、田中对王上、田下对王中 。从这两种对比看，田忌能否使自己的下等马与齐王上等马配对，使决定他在全局中输赢的关键。在前一种组合中，由于田忌下等马与齐王上等马相配对，所以他的上等马只能与齐王的中等马，中等马就只能与齐王下等马相配对。这样，田忌必然会以两胜一负的比分战胜齐王而成为赢局；在最后一种配对组合中，由于田忌下等马与齐王的中等马相配对。所以，他的上等马就只能与齐王下等马、中等马就只能与齐王上等马相配对。这样，田忌必然会以一胜两负的比分败于齐王而成为输局。
从理论上讲，田忌的下等马与齐王的上等马配对，马足相差两个等次而处于绝对弱势。但从全局来看，正是这种牺牲局部利益的绝对弱势，最大限度地保存了己方的实力，同时又最大限度的消耗了对方的实力，等于在比赛中使己方另外两个等次的马足各提升考虑一个等次，而使对方另外两个等次马足个压低了一个等次。由此可见，田忌的下等马与齐王的上等马相配对在双方力量对比朝着有利于田忌一方转化的过程中起到了举足轻重的作用，使田忌战胜齐王而取得全局胜利的根本保证。因此，只有这种配对方法，才能使田忌在比赛中胜利中以最小的代代价取得最大的效益和最好的结果。这是这“田忌赛马”管理谋略高人一筹的 6
奥妙所在。
5 结论和启示
本文运用数学方法解析了“田忌赛马”管理谋略，得出这种管理谋略是在双方3个等次马足配对排列和组合的基础上，优先选出来的一种最优化的配对组合，并以此构建了它的数学模式。这种模式共有6个配对排列方法，即能设计出 6个比赛方案。通过对这个数学模式的分析，发现这种管理谋略有个两个特点和优点：一是3个配对都是由双方不同等次马足构成的；二是田忌的下等马必须与齐王的上等马相配对。这两条原则决定了田忌必然会以两胜一负的比分战胜齐王而赢得全局的胜利。这就进一步应用和推广这种管理谋略提供了翔实而具体的参照系，找到了一条比较科学规范的途径和方法。
我们从中得到以下两点启示：
启示一：人常说：“有钱难买早知道”用数学的方法解析“田忌赛马”管理谋略并构建出它的数学模式，雄辩地说明了只要尊重科学，善于谋划，巧妙运筹，掌握事物变化的规率，就能预见事物发展的趋势，作到事前早知道。只有这样，才能充分利用和发挥自己拥有资源的作用，达到提高办事效率和经济效益的目的。
启示二：在管理决策实践中必须把原则性和灵活性紧密结合起来。原则性是事物发展客观规律的体现，我们绝不可以违背。但是，贯彻原则的方法又是多种多样的。按照“田忌赛马”管理谋略的数学模式，除过孙膑为田忌设计的比赛方案，还可以设计出5种不同的比赛方案同样能使田忌取得赛马的胜利。这就告诉人们，不能把原则当成教条，墨守成规，必须根据事物的发展变化，针对不同的情况采取不同的办法，灵活机动的处理问题。只有这样，才能使科学管理的原理和原则具有普遍的意义和应用推广的价值。
参考文献
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