第12章 整式的乘除
12.1 幂的运算
1.同底数幂的乘法
【教学目标】
知识与技能
1.巩固同底数幂的乘法法则,学生能灵活地运用法则进行计算.
2.了解同底数幂乘法运算性质,并能解决一些实际问题.
3.能根据同底数幂的乘法性质进行运算.
过程与方法
1.经历探索同底数幂的乘法运算的过程,进一步体会幂的意义,提高学生推理能力和有条理的表达能力.
2.在了解同底数幂的乘法运算意义的基础上,“发现”同底数幂的乘法性质,培养学生观察、概括和抽象的能力.
3.能用字母式子和文字语言表达这一性质,知道它适用于三个和三个以上的同底数幂相乘.
情感、态度与价值观
在推导“性质”的过程中,培养学生观察、概括与抽象的能力.
【重点难点】
重点
熟悉同底数幂的乘法性质、幂的意义和乘法运算律等内容.
难点
区别幂的意义与乘法的意义,培养学生的推理能力和有条理的表达能力.
【教学过程】
一、创设情境,导入新课
【情景导入】
“盘古开天辟地”的故事:公元前一百万年,没有天没有地,整个宇宙是混浊的一团,突然间窜出来一个巨人,他的名字叫盘古,他手握一把巨斧,用力一劈,把混沌的宇宙劈成两半,上面是天,下面是地,从此宇宙有了天地之分,盘古完成了这样一个壮举,累死了,他的左眼变成了太阳,右眼变成了月亮,毛发变成了森林和草原,骨头变成了高山和高原,肌肉变成了平原与谷地,血液变成了河流.
【教师提问】
盘古的左眼变成了太阳,那么,太阳离我们多远呢?你可以计算一下,太阳到地球的距离是多少?
光的速度为3×105千米/秒,太阳光照射到地球大约需要5×102秒,你能计算出地球距离太阳大约有多远呢?
【学生活动】
开始动笔计算,大部分学生可以列出算式:3×105×5×102=15×105×102=15×?(引入课题)
二、师生互动,探究新知
同底数幂的乘法法则.
【教师提问】
到底105×102=?同学们根据幂的意义自己推导一下,现在分四人小组讨论.
【学生活动】
分四人小组讨论、交流,举手发言,上台演示.
计算过程:105×102=(10×10×10×10×10)×(10×10)=10×10×10×10×10×10×10=107.
【教师活动】
下面引例.
请同学们计算并探索规律.
(1)23×24=(2×2×2)×(2×2×2×2)=2( );
(2)53×54= =5( );
(3)(-3)7×(-3)6= =(-3)( );
(4)()3×()= ()( );
(5)a3·a4= a( ).
提出问题:①这几道题目有什么共同特点?②请同学们看一看自己的计算结果,想一想,这些结果有什么规律?
【学生活动】
独立完成,并在黑板上演算.
【教师总结】
am·an=
·
=
=am+n
从而得出同底数幂的乘法法则am·an=am+n(m、n为正整数)即同底数幂相乘,底数不变指数相加.
【教学说明】
通过以上5个计算,让学生根据乘方的意义从特殊到一般探索同底数幂的乘法法则,水到渠成.
三、随堂练习,巩固新知
1.基础练习
(1)下面的计算是否正确?如果错,请在旁边纠正:
①a3·a4=a12 ②m·m4=m4
③a3+a3=a6 ④x5+x5=2x10
⑤3c4·2c2=5c6 ⑥x2·xn=x2n
⑦2m·2n=2m·n ⑧b4·b4·b4=3b4
(2)计算:
①78×73;②()5×()7;③x3·x5·x2;
④a12·a;⑤y4·y3·y2·y;⑥x5·x5.
2.能力提高
(1)计算:
①(x+y)3·(x+y)4;②(a-b)(b-a)3;
③xn·xn+1+x2n·x(n是正整数)
(2)填空:
①x5·( )=x8;②a·( )=a6;
③x·x3( )=x7;④xm·( )=x3m;
⑤x5·x( )=x3·x7=x( )·x6=x·x( );
⑥an+1·a( )=a2n+1=a·a( ).
(3)填空:
①8=2x,则x= ;
②8×4=2x,则x= ;
③3×27×9=3x,则x= ;
④已知am=2,an=3,求am+n的值;
⑤b2·bm-2+b·bm-1-b3·bm-5b2.
四、典例精析,拓展新知
【例】
如果xm-n·x2n+1=x11,且ym-1·y4-n=y5,求m,n的值.
【分析】
根据同底数幂的乘法法则得:(m-n)+(2n+1)=11,(m-1)+(4-n)=5,用方程组解决.
【答案】
m=6,n=4
【教学说明】
教师提问:由两个等式我们想到了什么知识?如何建立m与n之间的等量关系?教师深入强化数学中的转化思想.
五、运用新知,深化理解
1.a·a2·a3= .
2.(x-y)3·(x-y)2·(y-x)= .
3.(-x)4·x7·(-x)3=
4.已知3a+b·3a-b=9.则a= .
【答案】
1.a6;2.-(x-y)6;3.-x14;4.1.
【教学说明】
注意同底数幂乘法可以推广到多个因式相乘,遇到形如(-a)6·a9转化为a6·a9.
六、师生互动,课堂小结
这节课你学习到什么?有什么收获?有何疑问与困惑与同伴交流,在学生交流发言的基础上教师归纳总结.
1.同底数幂的乘法,使用范围是两个幂的底数相同,且是相乘关系,使用方法:在乘积中,幂的底数不变,指数相加.
2.同底数幂乘法可以拓展,例如,对含有三个或三个以上的同底数幂,仍成立.底数和指数,它既可取一个或几个具体数,也可取单项式或多项式.
3.幂的乘法运算性质注意不能与整式的加减混淆.
【教学反思】
本节课从故事引入为学生在探究同底数幂乘法法则激发动机,探究同底数幂乘法法则时,注意用乘方的意义让学生自己发现归纳.始终遵循从特殊到一般的认知规律.在同底数幂乘法法则的运用中,不断渗透转化与方程的数学思想.
2.幂的乘方
【教学目标】
知识与技能
1.了解幂的乘方的运算性质,会进行幂的乘方运算.
2.能利用幂的乘方的性质解决一些实际问题.
过程与方法
经历探索幂的乘方的运算性质的过程,进一步体会幂的意义,提高学生推理能力和有条理的表达能力.
情感、态度与价值观
通过合作探究,培养学生合作交流的意识,提高学生勇于探究数学的品质.
【重点难点】
重点
了解幂的乘方的运算性质,会进行幂的乘方,积的乘方运算.
难点
幂的乘方与同底数幂的乘法运算性质区别,提高推理能力和有条理的表达能力,关键是利用教材内容安排的特点,把幂的乘方的学习与同底数幂的乘法紧密结合起来.
【教学过程】
一、创设情景,导入新课
大家知道太阳,木星和月亮的体积的大致比例吗?我可以告诉你,木星的半径是地球半径的103倍,太阳的半径是地球半径的103倍,假如地球的半径为r,那么,请同学们计算一下太阳和木星的体积是多少?(球的体积公式为V=πr3)
【学生活动】
进行计算,并在黑板上演算.
解: 设地球的半径为1,则木星的半径就是102,因此,木星的体积为V木星=π(102)3
二、师生互动,探究新知
【教师引导】
(102)3=?利用幂的意义来推导.
【学生活动】
有些同学这时无从下手.
【教师启发】
请同学们思考一下a3代表什么?(102)3呢?
【学生回答】
a3=a×a×a,指3个a相乘.(102)3=102×102×102,就变成了同底数幂乘法运算,根据同底数幂乘法运算法则,底数不变,指数相加,102×102×102=102+2+2=106,因此(102)3=106.
【教师活动】
利用上面推导方法求
(1)(a3)2;(2)(24)3;(3)(bn)2
【学生活动】
推导上面几个算式并板演.
【教师推进】
请同学们根据所推导的几个题目,推导一下(am)n的结果是多少?
【学生活动】
归纳总结并进行小组讨论,最后得出结论:
教师板演 (am)n=
=am×n(m、n为正整数)
【教学说明】
通过问题的提出,再依据“问题推进”所导出的规律,利用乘方的意义和幂的乘法法则,让学生自己主动建构,获取新知:幂的乘方,底数不变,指数相乘.
三、随堂练习,巩固新知
(1)(y3)2+(-y2)3-2y(-y5);
(2)(a2n-2)2·(am+1)3.
【答案】
(1)(y3)2+(-y2)3-2y(-y5)=y6-y6+2y6=2y6.
(2)(a2n-2)2·(am+1)3=a4n-4·a3m+3=a3m+4n-1.
【例2】
已知:x2n=4,求(x3n)2与x8n的值.
【解析】
此题将(x3n)2与x8n都用x2n表示出来.
【答案】
(x3n)2=x6n=(x2n)3=43=64,x8n=(x2n)4=44=256.
四、典例精析,拓展新知
【例】
已知x2m=5,求x6m=-5的值,逆用幂的乘方法则x6m=x2m×3=(x2m)3.
【答案】
x6m-5=×125-5=20
【教学说明】
教师提问x6m与x2m在指数上有何关系,你想到了如何变形,化未知为已知(逆用幂的乘方法则).
五、运用新知,深化理解
1.108=( )2=( )4
2.p2n+2=( )2
3.(-x3)5=
4.x2·x4+[(-x)2]3=
5.已知xm·x2m=3,则x9m= .
【答案】
1.104 102 2.pn+1 3.-x15 4.2x6 5.27
【教学说明】
从跟踪练习中捕捉学生知识上、思维上的不足并及时跟进.
六、师生互动,课堂小结
这节课你学到了什么?有什么收获?有何困惑?与同伴交流,在学生交流发言的基础上教师归纳总结.
1.幂的乘方(am)n=amn(m、n为正整数)使用范围是:幂的乘方,方法:底数不变,指数相乘.
2.知识拓展:这里的底数、指数可以是数,也可以是字母,也可以是单项式和多项式.
3.幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则区别在于,一个是“指数相乘”,一个是“指数相加”.
【教学反思】
本节课在乘方的意义与同底数幂的法则的前提下推导幂的乘方法则,在教学过程中注意引导学生运用转化思想来解决新问题.在拓展新知时,注意联想与逆向思维能力的培养.
3.积的乘方
【教学目标】
知识与技能
会进行积的乘方运算,进而会进行混合运算.
过程与方法
经历探索积的乘方运算法则的过程,理解积的乘方是通过乘方的意义和乘法的交换律以及同底数幂的运算法则推导而得来的.理解积的乘方的运算法则,进一步体会幂的意义,提高学生推理能力和有条理的表达能力.
情感、态度与价值观
在发展推理能力和有条理的语言、符号表达能力的同时,进一步体会学习数学的兴趣,提高学习数学的信心,感受数学的简洁美.
【重点难点】
重点
积的乘方是整式乘除运算的基础,本节课的重点是积的乘方运算.
难点
弄清幂的运算的根据,避免各种不同运算法则的混淆,突出幂的运算法则的基础性,注意区别与联系.
【教学过程】
一、回顾交流,引入新课
【教师活动】
提问学生在前面学过的同底数幂的运算法则;幂的乘方运算法则的内容以及区别.
【学生活动】
踊跃举手发言,解说老师的提问.
【课堂演练】
计算:(1)(x4)3 (2)a·a5 (3)x7·x9(x2)3
【学生活动】
完成上面的演练题,并从中领会这两个幂的运算法则.
【教师活动】
巡视,关注学生的练习,并请3位学生上台演示,然后再提出下面的问题.
二、师生互动,探究新知
【教师活动】
请同学们完成教材P20填空,并注意每步变形的依据.
【学生活动】
完成书本填空并回答教师问题.
【教师活动】
你发现了什么规律?如何解释这个规律?
【学生活动】
分组讨论,解释.
【师生互动】
教师在学生发言的基础上板书.
(ab)n=
=
=anbn.(ab)n=anbn(n为正整数)
即积的乘方,把积中每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.
三、随堂练习,巩固新知
1.下列等式中,错误的是( )
A.(ab2)2=a2b4 B.(-m2n2)5=-m15n10
C.(-2x2)4=-4x4 D.(4xmy3)3=64x3my9
2.(-3x)3= ,(x2y3)4= ,[(-2)×102]3= ,[(x3)2·(y2)4]2= .
【答案】
1.C
2.-27x3,x8y12,-8×106,x12y16.~
四、典例精析,拓展新知
【例1】
(1)[(-x2y)3·(-x2y)2]3
(2)a3·a4·a+(a2)4+(-2a4)2
【分析】
(1)按积的乘方法则先算括号里面的;
(2)第一项是同底数的乘法,第二项是幂的乘方,第三项是积的乘方.
【答案】
(1)-x30y15;(2)6a8.
【例2】
用简便方法计算:
(1)(-)2014·(2)2015
【分析】
先将指数化为相同的再逆用积的乘方法则.
【答案】
【教学说明】
例1由小组讨论交流解题思路,小组活动后,展示计算结果.教师根据反馈的情况总评.如(-2a4)2中的负号处理.倒2在教师引导下,由小组合作完成,并强调遇到高指数时化成同指数,再逆用积的乘方法则.
五、运用新知,深化理解
1.计算:(-3a3)2·a3+(-4a)2·a7-(5a3)3
2.已知:(a-2)2+=0,求a2014·b2013的值.
【答案】
1.-100a9;2.-2
【教学说明】
由跟踪练习情况及时点评,如第一题中符号问题引起重视.
六、师生互动,课堂小结
这节课你学到了什么?有何收获?有何困惑?与同伴交流,在学生交流发言的基础上教师归纳总结.
1.积的乘方(ab)n=anbn(n为正整数),使用范围:底数是积的乘方.方法:把积的每个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.
2.在运用幂的运算法则时,注意知识拓展,底数和指数可以是数也可以是整式,对三个以上因式的积也适用.
3.要注意运算过程,注意每一步的依据,还应防止符号上的错误.
4.在建构新的法则时应注意前面学过的法则与新法则的区别与联系.
【教学反思】
本节课采用探究与自主学习相结合的模式完成的,探究的目的是让学生会推导积的乘方法则.通过小组合作学习增强学习的主动性,突出学生的主体地位.并及时注意在其中的及时引导,发挥教师主导作用.教学中的简便运算应让学生体会转化思想的核心作用.
4.同底数幂的除法
【教学目标】
知识与技能
理解同底数幂的除法运算法则,能解决实际问题.
过程与方法
1.在进一步体会幂的意义的过程中,发展学生的推理能力和表达能力.
2.能熟练灵活地运用法则进行同底数幂的除法运算,培养学生的数学能力.
情感、态度与价值观
感受数学的应用价值,体会数学与社会生活的联系,提高数学素养.
【重点难点】
重点
理解同底数幂的除法法则.
难点
应用同底数幂除法法则解决数学问题.
【教学过程】
一、创设情景,导入新课
【教师活动】
地球的体积是1.1×1012 km3,月球的体积2.2×1010 km3,求地球的体积是月球的多少倍?如何列式?
【学生活动】
学生代表发言:(1.1×1012)÷(2.2×1010)
【教师活动】
1012÷1010=?下面我们一起探究.
二、师生互动,探究新知
【教师活动】
完成教材P22填空,由填空你得出了什么规律?
【学生活动】
经小组交流后,汇报结果.
【教师活动】
板书:am÷an=am-n,(m>n,且m、n为正整数)
同底数相除,底数不变,指数相减.
【教师活动】
乘法与除法互为逆运算,我们能由同底数幂乘法法则来推导它吗?教师引导an·( )=am.设( )=ak.
【学生活动】
由小组讨论交流后汇报推导结果.
【教师活动】
我们的认知规律:猜测——归纳——证明.
三、随堂练习,巩固新知
1.105×107= .
2.a·a2·a3·a4= .
3.xn+1·x2·x1-n= .
4.下列各题中,运算正确的是( )
A.a3+a4=a7 B.b3·b4=b7
C.c3·c4=c12 D.d3·d4=2d7
【答案】
1.1012 2.a10 3.x4 4.B
【教学说明】
根据反馈情况及时订正,并与法则对比,找准错因.
四、典例精析,拓展新知
【例1】
一张数码照片的文件大小是28K,一个存储量为26M(1M=2K)的移动存储器能存储多少张这样的照片?
【分析】
用储量26M除以每张照片的存储量的大小.
【答案】
28(张)
【教学说明】
教师可将此问题类比成总价、单价与数量关系,从而化为同底数的除法.
【例2】
若32×92a+1÷27a+1=81,求a的值.
【答案】
a=2
【分析】
将左右都化成3的指数幂再比较对应.
【教学说明】
左右两边能否化成同底幂的运算,如何使用幂的运算法则,强调转化思想,小组活动时注意对学困生的辅导.
五、运用新知,深化理解
1.一种计算机每秒可进行1012运算,它工作1015次运算需要 秒时间.
2.若y2m-1÷y=y2,求m+2的值.
【答案】
1.103 2.4
【教学说明】
由跟踪练习情况及时点评,如y的指数不是0等.
六、师生互动,课堂小结
这节课你学到了什么?有何收获?有何疑惑?与同伴交流,在学生交流发言的基础上教师归纳总结.
运用同底数幂的除法性质时应注意以下问题:
(1)运用法则的关键是看底数是否相同,而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数;
(2)因为零不能作除数,所以底数a≠0,这是此性质成立的前提条件;
(3)注意指数“1”的情况,如a4÷a=a4-1=a3,不能把a的指数当做0;
(4)多个同底数幂相除时,应按顺序计算.
【教学反思】
本节课探究新知部分,注意如何使学生从特殊中发现规律,得到一般性结论,再由同底数幂的乘法法则证明规律(同底数幂除法法则).积极鼓励学生主动地探究数学问题,加深对数学问题的理解,养成良好思维习惯,提高学生的数学素养.