高中数学《圆锥曲线定义的运用》教学案例的反思

李代友

一、教学内容分析

圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质属性,它是无数次实践后的高度抽象.恰当地利用定义解题,许多时候能以简驭繁.因此,在学习了椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程、几何性质后,再一次强调定义,学会利用圆锥曲线定义来熟练的解题”。

二、学生学习情况分析

我所任教班级的学生参与课堂教学活动的积极性强，思维活跃，但计算能力较差，推理能力较弱，使用数学语言的表达能力也略显不足。

三、设计思想

由于这部分知识较为抽象,如果离开感性认识,容易使学生陷入困境,降低学习热情.在教学时,借助多媒体动画,引导学生主动发现问题、解决问题,主动参与教学,在轻松愉快的环境中发现、获取新知,提高教学效率.

四、教学目标

1.深刻理解并熟练掌握圆锥曲线的定义，能灵活应用定义解决问题；熟练掌握焦点坐标、顶点坐标、焦距、离心率、准线方程、渐近线、焦半径等概念和求法；能结合平面几何的基本知识求解圆锥曲线的方程。

2.通过对练习,强化对圆锥曲线定义的理解，提高分析、解决问题的能力；通过对问题的不断引申,精心设问,引导学生学习解题的一般方法。

3．借助多媒体辅助教学,激发学习数学的兴趣.

五、教学重点与难点:

教学重点

1.对圆锥曲线定义的理解

2.利用圆锥曲线的定义求“最值”

3.“定义法”求轨迹方程

教学难点:

巧用圆锥曲线定义解题

六、教学过程设计

【设计思路】

（一）开门见山，提出问题

一上课，我就直截了当地给出——

例题1：(1) 已知A（－2，0）， B（2，0）动点M满足|MA|+|MB|=2，则点M的轨迹是（ ）。

（A）椭圆 （B）双曲线 （C）线段 （D）不存在

（2）已知动点 M（x，y）满足(x?1)2?(y?2)2?|3x?4y|，则点M的轨迹是（ ）。

（A）椭圆 （B）双曲线 （C）抛物线 （D）两条相交直线

【设计意图】

定义是揭示概念内涵的逻辑方法，熟悉不同概念的不同定义方式，是学习和研究数学的一个必备条件，而通过一个阶段的学习之后，学生们对圆锥曲线的定义已有了一定的认识，他们是否能真正掌握它们的本质，是我本节课首先要弄清楚的问题。

为了加深学生对圆锥曲线定义理解，我以圆锥曲线的定义的运用为主线,精心准备了两道练习题。

【学情预设】

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估计多数学生能够很快回答出正确答案，但是部分学生对于圆锥曲线的定义可能并未真正理解，因此，在学生们回答后，我将要求学生接着说出：若想答案是其他选项的话，条件要怎么改？这对于已学完圆锥曲线这部分知识的学生来说，并不是什么难事。但问题（2）就可能让学生们费一番周折—— 如果有学生提出：可以利用变形来解决问题，那么我就可以循着他的思路，先对原等式做变形：(x?1)2?(y?2)2

?5这样，很快就能得出正确结果。如若不然，我将启发他们从等式两端的式子|3x?4y|

5

入手，考虑通过适当的变形，转化为学生们熟知的两个距离公式。

在对学生们的解答做出判断后，我将把问题引申为：该双曲线的中心坐标是 ，实轴长为 ，焦距为 。以深化对概念的理解。

（二）理解定义、解决问题

例2 (1)已知动圆A过定圆B：x2?y2?6x?7?0的圆心，且与定圆C：x?y?6x?91?0 相内切，求△ABC面积的最大值。

（2）在（1）的条件下，给定点P(-2,2), 求|PA|?

【设计意图】

运用圆锥曲线定义中的数量关系进行转化，使问题化归为几何中求最大（小）值的模式，是解析几何问题中的一种常见题型，也是学生们比较容易混淆的一类问题。例2的设置就是为了方便学生的辨析。

【学情预设】

根据以往的经验，多数学生看上去都能顺利解答本题,但真正能完整解答的可能并不多?。事实上，解决本题的关键在于能准确写出点A的轨迹，有了练习题1的铺垫，这个问题对学生们来讲就显得颇为简单，因此面对例2（1），多数学生应该能准确给出解答，但是对于例2（2）这样相对比较陌生的问题，学生就无从下手。我提醒学生把3/5和离心率联系起来，这样就容易和第二定义联系起来，从而找到解决本题的突破口。

（三）自主探究、深化认识

如果时间允许，练习题将为学生们提供一次数学猜想、试验的机会——

练习：设点Q是圆C：(x?1)2225|AB|的最小值。 3?y2?25上动点,点A（1，0）是圆内一点,AQ的垂直平分线与CQ交于点M,求点M的轨迹方程。

引申:若将点A移到圆C外,点M的轨迹会是什么?

【设计意图】 练习题设置的目的是为学生课外自主探究学习提供平台，当然，如果课堂上时间允许的话，

可借助“多媒体课件”，引导学生对自己的结论进行验证。

【知识链接】

（一）圆锥曲线的定义

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1． 圆锥曲线的第一定义

2． 圆锥曲线的统一定义

（二）圆锥曲线定义的应用举例

x2y2

1．双曲线??1的两焦点为F1、F2，P为曲线上一点，若P到左焦点F1的距离为12，求P169

到右准线的距离。

|PF1|?|PF2|2．P为等轴双曲线x2?y2?a2上一点， F1、F2为两焦点，O为双曲线的中心，求的|PO|

取值范围。

3．在抛物线y2?2px上有一点A（4，m），A点到抛物线的焦点F的距离为5，求抛物线的方程和点A的坐标。

x2y2

4．（1）已知点F是椭圆??1的右焦点，M是这椭圆上的动点，A（2，2）是一个定点，求259

|MA|+|MF|的最小值。

x2y211（2）已知A（,3）为一定点，F为双曲线??1的右焦点，M在双曲线右支上移动，当9272

1|AM|?|MF|最小时，求M点的坐标。 2

x2

（3）已知点P（－2，3）及焦点为F的抛物线y?，在抛物线上求一点M，使|PM|+|FM|最小。 8

x2y2

5．已知A（4，0），B（2，2）是椭圆??1内的点，M是椭圆上的动点，求|MA|+|MB|的最259

小值与最大值。

七、教学反思

1．本课将借助于“POWERPOINT课件”，将使全体学生参与活动成为可能，使原来令人难以理解的抽象的数学理论变得形象，生动且通俗易懂，同时，运用“多媒体课件”辅助教学，节省了板演的时间，从而给学生留出更多的时间自悟、自练、自查，充分发挥学生的主体作用，这充分显示出“多媒体课件”与探究合作式教学理念的有机结合的教学优势。

2．利用两个例题及其引申,通过一题多变,层层深入的探索,以及对猜测结果的检测研究,培养学生思维能力,使学生从学会一个问题的求解到掌握一类问题的解决方法. 循序渐进的让学生把握这类问题的解法；将学生容易混淆的两类求“最值问题”并为一道题，方便学生进行比较、分析。虽然从表面上看，我这一堂课的教学容量不大，但事实上，学生们的思维运动量并不会小。

总之,如何更好地选择符合学生具体情况,满足教学目标的例题与练习、灵活把握课堂教学节奏仍是我今后工作中的一个重要研究课题.而要能真正进行素质教育，培养学生的创新意识，自己首先必须更新观念——在教学中适度使用多媒体技术，让学生有参与教学实践的机会，能够使学生在学习新知识的同时，激发起求知的欲望，在寻求解决问题的办法的过程中获得自信和成功的体验，于不知不觉中改善了他们的思维品质，提高了数学思维能力。

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第二篇：高中数学教学案例研究

【中学数学教案】

高中数学教学案例研究

————《椭圆的标准方程》

一、案例概述：

作为高中数学教师，我们每天都在上课，因此也应该每天都去思考如何更为有效的实施课堂教学，为此我和同行们以一些课为例进行了分析，大家的很多思考与实践经验,为案例的研究提供了鲜活的思想,提升了案例研究的理论价值和前瞻性。《椭圆的标准方程》便是我们研究的课例之一。该内容来自于人民教育出版社的《普通高中课程标准实验教科书·数学选修1-1》。选这个内容的原因有二：（一）椭圆是一个非常重要的几何模型，具有很多优美的几何性质，这些重要的几何性质在日常生活，社会生产及其他学科中都有着广泛的应用．（二）这个课题的重点是标准方程，难点是标准方程的推导，由于推导比较麻烦会占用较多时间，因此很多教师在处理上重视重点而忽视难点，然而这个推导，它的意义不仅仅在推出椭圆的标准方程上，它还是体现了一种思想一种方法，因此忽视推导，学生的学习效果会打折扣，我们希望通过研究来实现有效的课堂教学。 我校学生整体素质较好,平时上课时的课堂气氛活跃。而我本人平时在教学中能注重对学生独立思考问题和运用知识能力的培养,有一定的驾驭课堂的能力。

二、教学设计与实施：

1.关于教学目标的确定

本节课是高中数学选修1-1“椭圆”第一课时：椭圆的标准方程. 高中数学学科课程标准对本节课的教学要求达到“掌握”的层次。根据该课题内容的特点和学生身心发展的合理需求我从知识技能、思想方法、能力和德育情感四个层面确定了相应的教学目标。

知识技能目标：（1）使学生掌握椭圆的标准方程及其推导方法；（2）使学生能正确运用椭圆的标准方程解题；（3）使学生学会用待定系数法、定义法、坐标转移法求椭圆的方程．

思想方法目标：（1）使学生进一步体会数形结合的思想；（2）渗透转化的思想；（3）培养学生分类讨论的思想。

能力目标：（1）培养学生自主学习的能力；（2）提高学生的逻辑思维能力；

（3）培养学生的观察、猜想能力；（4）提高学生的应用能力。

德育目标：（1）结合事物的可转化性，培养学生的辩证唯物主义的观点；（2）激励求知欲望，培养刻苦钻研的精神；（3）培养学生学数学，用数学的意识。

2.关于教学重点、难点的确定

本节课的教学重点是：（1）椭圆的标准方程；（2）会用多种方法求椭圆的方程．椭圆的标准方程作为今后研究椭圆性质的根本依据，并以之来介绍求圆锥曲线方程和利用方程讨论几何性质的一般方法，为学习双曲线、抛物线奠定了基础．自然成为本节课的教学重点。

本节课的教学难点是：（1）椭圆标准方程的推导；（2）熟练运用多种数学方法．学生对“曲线与方程”的内在联系(数形结合思想的具体表现)仅在“圆的方程”一节中有过一次感性认识，但由于学生比较了解圆的性质，从“曲线与方程”的内在联系角度来看，学生并未真正有所感受，所以，椭圆标准方程的推导成为了本堂课的教学难点。

3.关于学情分析和学法指导

本班学生基础尚可，但理解能力、思维能力的方面参差不齐，因此我在速度和难度上取适中水平，在教学中注意面向全体，采用启发式教学，鼓励学生积极参与，主动探索，布鲁纳曾经说过“探索是数学教学的生命线”，通过学生自主学习，可以培养其分析问题、解决问题的能力，具体做法是课前让学生做好预习，在教学的各个环节中，在知识的引发点和关键点上不断向学生提出适当的问题，给出“思考指向”，让学生去思考去讨论，这样全体学生的思维活动就能始终处于积极状态。

4.关于教学方法的选择和依据

（1）启发式教学法，教师为主导与学生为主体相结合，在学习中老师的主导作用固然不可少，但如果是单纯由教师讲授让学生记住结论将限制住学生的思维，而且在理解记忆关键之处和应用等方面将很难深刻，只有以学生为主体，学生自己参与研究、探索，才能不仅学到具体的知识，而且能在学习过程中提高逻辑思维能力；

（2）课堂讨论法，我将在重点、难点、疑点上让学生议，创见让学生讲，规律让学生找，总结让学生写，这样通过相互合作学习可以纠正错误，加深理解；

（3）分层教学法；在课堂教学上虽然我是面向全体，使所有的学生都能达到基本要求，学有所获，但在课后作业的布置上，我采用了分层作业，给成绩较好的同学提出一些更高的要求，为他们提供进一步思考的空间，在形式上鼓励他们共同探讨合作学习；

（4）多媒体辅助教学，用电化教学手段能很好的体现从圆转化为椭圆的过程，增强教学的直观性，指导了学生用运动的观点来分析问题、解决问题，这种教学方法还可以增加教学容量，提高教学效率，以达到最佳的教学效果。

5.关于教学程序的设计与实施

（1）创设情境，回顾引入

椭圆的定义作为椭圆本质属性的揭示和椭圆方程建立的基石，理应在本堂课作出回顾，但如采用直接提问起不到很好的效果，因此，本节课在开始向学生提出了这样一个问题：一架救援机从A地出发进行救援任务，之后必须回到B地加油，已知飞机一次最多能飞行500公里，而AB两地相距200公里，问这架飞机能够救援到的区域是怎样的？采用实际问题既可以在本节课的开始吸引学生又起到复习的作用，同时还引导学生用学过的知识去解决问题。

圆锥曲线是平面解析几何研究的主要对象 圆锥曲线的有关知识在生产、日常生活和科学技术中有着广泛的应用，因此本节课通过实际背景，使学生感受椭圆的广泛应用，进而再提出两个问题1. 汽车贮油罐的横截面的外轮廓线的形状是椭圆，怎样设计才能精确制造它们？2. 把一个圆压扁了，像椭圆，它究竟是不是椭圆？（flash演示）.由“是不是椭圆及如何设计椭圆”提出研究课题以激发学生学习的积极性，增强学生学数学用数学的意识和能力。

（2）引导观察、共同探究

在回顾了求圆的方程的步骤后引导学生去考虑求椭圆的标准方程该怎样建系，先由定义

去得到一个方程，在列出方程以后，出现了含两个根式的无理方程，这种方程初中代数中出现过，只是这里根号下的式子复杂些 教学时适当放慢些速度，让学生合作讨论是可以解决的，在得到更为简化的形式后再通过适当启发使其得到焦点在x轴上标准方程．由焦点在x轴上标准方程的结构特征让学生猜想、论证得到焦点在y轴上标准方程，最后让学生去总结对标准方程的认识。此时的重点放在方程建立的思维过程上，通过层层递进的问题引导学生积极参与到知识发生过程，伴随着类比、估测、审美等思维活动的展开，学生的思维得到了进一步的激活。

（3）小试牛刀、初步体验

在推导出椭圆的标准方程后及时安排一组简单的练习之感受、理解篇来让学生“小试牛刀”以巩固探究成果。

（4）解决问题、加深理解

接下来就可以来解决引出课题的两个问题了，同样让学生讨论解决．教师可以适时引导学生总结所采用的方法---定义法、坐标转移法．并在第二个问题的研究中让学生认识到椭圆与圆的区别与联系。

（5）巩固练习、思考实践

练习之思考、运用篇是这样安排的1、若方程 表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，求k的取值范围．（变：若是 取值范围为-4<k<0）2、求适合下列条件的标准方程：两个焦点坐标分别是 、 ，且过（ , ）.第一题解决后采用变题来增强学生学习的内在活力使之成为自觉主动学习的主体．而第二题引导学生一题多解以优化学生的思维．由学生的思考、讨论与练习，总结有两种求法：其一由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是由已知焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程．在利用待定系数法求椭圆的标准方程中的 时，得到以 为未知数的方程组，并且未知数在分母上，初中学过用换元法解方程组，这样问题便能够解决，这个问题解决以后，求两条曲线的交点的问题，包括求椭圆与双曲线的交点的问题就都可以解决了。

（6）合作小结、自主评价

让学生去总结在本节课的收获可以培养学生整理知识和方法的能力。

（7）课外训练、分层要求

课外拓展训练第一题要求学生课后加强探究，第二题采用分层要求以符合不同学生的情况，第三题让学生关注身边的椭圆并创编这方面的问题下节课请其他同学解答，为下节课同学间互助学习的开展做好准备．让不同的人在数学上获得不同的发展，每个学生能够获得这些数学，有数学专长或爱好的学生可以在此基础上寻求自己所需要的进一步发展。

三、评价与反思

课堂教学中出了点“小意外”，由于一个学生在引例上的错误考虑,使我们多花了点时间在引例的处理上,因此我在最后一题的处理上稍作改变，在讨论了不同的做法后让学生课后自己去完成,然后及时进入了总结阶段.虽然和预设的情况有所不同，但我觉得引例是对定义的应用,学生不能深刻的理解定义,就不能很好的对椭圆进行进一步的研究,这个学生把他的想法说出来,不管是对是错,都能很好的帮助我们教师去了解学生的想法,能使我们的教学更为有效.很多教师在课堂上常常努力的引导学生去得出预定答案．其实这样的一问一答中学生的思维是受到禁锢的。也有很多教师在教学过程中对“突发事件”采取冒然打断的处理方式以保证自己的预设可以顺利完成.我觉得这样的课不能视为一节有效的课．学生的想法中也许蕴涵着创造性的火花，也许会有急待教师纠正的误解，因此教师不应该在这上面怕花时间，怕影响教学进度．当然这要求教师要有临场应变的能力,要能在教学中及时调整。“人们无法预料教学所产生的成果的全部范围．没有预料不到的成果，教学也就不成为一种艺术了”(布鲁姆)。

此外《椭圆的标准方程》这节课中如何简化方程形式，使数量关系更加明朗化，使式子更加的简单、整齐、美观，从而得到标准方程的形式是个难点，只有让学生亲自尝试才能有所收获，我把讲台让给学生，让他们中的代表在黑板上推

导，其余的同学在自己的笔记本上化简，由于我在请同学的时候刻意喊的是中等的同学，所以上黑板的同学时不时还出些差子，但真实反映了问题，在同学的帮助下，终于完成了任务，我想这不论是对于上黑板的同学还是在下面的同学都会记忆深刻的。

由于本节课在设计的时候,我就考虑的比较细致,加之又和一些资深数学教师进行了多次探讨,预设了很多可能发生的情况所以整堂课下来还是比较顺利．结果说明平时多重视有效课堂教学模式及策略的研究对于我们的教学是非常必要的．但静下心来思考一下，由于自己的水平有限很多地方还是值得改进的。例如在分组讨论的时候采用的是就近原则,没有考虑到做一些合理的组合，所以在课堂上各组讨论的情况不太一样，有些组非常热烈,有些组就没起到应有的效果.再如在推导出椭圆的标准方程后让学生“小试牛刀”时由于题目比较基础,所以一些反应快的同学很快脱口而出,致使一小部分反应慢一些的学生还没看好题目就知道答案了,最终作了一回检验员,学习的效果打了些折扣,也使他们少了些求出答案时的兴奋感觉.虽然这种抢着回答问题的场面使课堂气氛十分热烈,但热烈的背后也存在着问题.如何解决呢,我在后来的教学中就和同学“约法三章”——先做出来的可以示意我但不能影响其他同学思考(课堂的留白其实很重要),在我觉得可以揭晓答案的时候我会优先让最早示意我的同学作答。这样一来不仅给反应慢一些的学生留了一些思考的空间,也保护了反应快的同学的积极性,鼓励了竞争。

我认为若在课堂设计时能抓住方法的精神实质，精心组织设计，在具体实施时创造良好情境，就可使多数学生处于亢奋状态，增强探索者的自信心理，学习前人的探究精神，逐步领会其中的主要思想方法．希望通过这样的课堂教学能既发展学生的认知，又培养学生的情意，通过教与学的互动培养学生的自主性真正实现在数学课堂教学中发展学生的健全人格，提高其认知水平和认知能力，真正实现人格化教育。