西华师范大学数学史题库

选择题 5个   填空15个  简答或证明 3个   论述题 25

选择题（每题3分）

1.对古代埃及数学成就的了解主要来源于(  A  )

A.纸草书      B.羊皮书              C.泥版      D.金字塔内的石刻

2.对古代巴比伦数学成就的了解主要来源于(  C  )

A.纸草书      B.羊皮书              C.泥版       D.金字塔内的石刻      的

3.《九章算术》中的“阳马”是指一种特殊的(  B  )

A.棱柱        B.棱锥       C.棱台        D.楔形体

4.《九章算术》中的“壍堵”是指一种特殊的(  A  )

A.三棱柱      B.三棱锥     C.四棱台      D.楔形体

5.射影几何产生于文艺复兴时期的(  C  )

A.音乐演奏    B.服装设计   C.绘画艺术    D.雕刻艺术

6.欧洲中世纪漫长的黑暗时期过后，第一位有影响的数学家是(  A    )。

A.斐波那契      B.卡尔丹    C.塔塔利亚    D.费罗

7.被称作“第一位数学家和论证几何学的鼻祖”的数学家是(  B  )

A.欧几里得    B.泰勒斯     C.毕达哥拉斯     D.阿波罗尼奥斯

8.被称作“非欧几何之父”的数学家是( D  )

A.波利亚      B.高斯       C.魏尔斯特拉斯    D.罗巴切夫斯基

9.对微积分的诞生具有重要意义的“行星运行三大定律”，其发现者是(  C  )

A.伽利略       B.哥白尼     C.开普勒          D.牛顿

10.公元前4世纪，数学家梅内赫莫斯在研究下面的哪个问题时发现了圆锥曲线？(    C

A.不可公度数   B.化圆为方   C.倍立方体        D.三等分角

11.印度古代数学著作《计算方法纲要》的作者是(  C  )

A.阿耶波多     B.婆罗摩笈多    C.马哈维拉     D.婆什迦罗

12.最早证明了有理数集是可数集的数学家是(  A  )

A.康托尔        B.欧拉       C.魏尔斯特拉斯    D.柯西

13.下列哪一位数学家不属于“悉檀多”时期的印度数学家？(  C  )

A.阿耶波多    B.马哈维拉                    C.奥马^.海亚姆    D.婆罗摩笈多

14.在1900年巴黎国际数学家大会上提出了23个著名的数学问题的数学家是(  A  )

A.希尔伯特    B.庞加莱      C.罗素         D.F·克莱因

15.与祖暅原理本质上一致的是( D  )

A.德沙格原理  B.中值定理    C.泰勒定理        D.卡瓦列里原理

16．世界上第一个把π计算到3.1415926＜π＜3.1415927的数学家是(  B  )

A.刘徽        B.祖冲之      C.阿基米德      D.卡瓦列里

17．我国元代数学著作《四元玉鉴》的作者是(C     )

A.秦九韶       B.杨辉       C.朱世杰        D.贾宪

18．就微分学与积分学的起源而言(  A )

A.积分学早于微分学        B.微分学早于积分学

C.积分学与微分学同期      D.不确定

19．在现存的中国古代数学著作中，最早的一部是(  D  )

A.《孙子算经》  B.《墨经》   C.《算数书》    D.《周髀算经》

20．发现著名公式e^iθ=cosθ+isinθ的是(   D  )

A.笛卡尔        B.牛顿       C.莱布尼茨      D.欧拉

21．中国古典数学发展的顶峰时期是(  D  )

A.两汉时期      B.隋唐时期   C.魏晋南北朝时期   D.宋元时期

22．最早使用“函数”(function)这一术语的数学家是(  A  )

A.莱布尼茨      B.约翰·伯努利   C.雅各布·伯努利    D.欧拉

23．1834年有位数学家发现了一个处处连续但处处不可微的函数例子，这位数学家是(  B  )  （注意，书上给的例子是1861年魏尔斯特拉斯给出的，但不是历史上最早的）

A.高斯          B.波尔查诺       C.魏尔斯特拉斯      D.柯西

24．大数学家欧拉出生于（  A  ）

A.瑞士       B.奥地利      C.德国      D.法国

25．首先获得四次方程一般解法的数学家是(  D  )

A.塔塔利亚   B.卡当        C.费罗      D.费拉利

26．《九章算术》的“少广”章主要讨论（  D  ）

A.比例术     B.面积术      C.体积术    D.开方术

27．最早采用位值制记数的国家或民族是(  A  )

A.美索不达米亚   B.埃及    C.阿拉伯    D.印度

28．数学的第一次危机的产生是由于( B  )

A.负数的发现     B.无理数的发现    C.虚数的发现    D.超越数的发现

29．给出“纯数学的对象是现实世界的空间形式与数量关系”这个关于数学本质的论述的人是(  B  )

A.笛卡尔         B.恩格斯       C.康托      D.罗素

30．提出“集合论悖论”的数学家是(   B  )

A.康托尔         B.罗素         C.庞加莱    D.希尔伯特

填空题（每空2分）

1．古希腊著名的三大尺规作图问题分别是：化圆为方，即作一个与给定的圆面积相等的正方形。

倍立方体，即求作一立方体，使其体积等于已知立方体的两倍。三等分角，即分任意角为三等分。

2．欧几里德是古希腊论证数学的集大成者，他通过继承和发展前人的研究成果，编撰出旷世巨著《原本》.

3．中国古代把直角三角形的两条直角边分别称为 勾   和股    ，斜边称为弦    .

4．“万物皆数”是毕达哥拉斯学派的基本信条.

5．毕达哥拉斯学派的基本信条是万物皆数             .

6．1687年，牛顿的《自然哲学的数学原理》出版，它具有划时代的意义，是微积分创立的重要标志之一，被爱因斯坦盛赞为“无比辉煌的演绎成就”.

7．1637年，笛卡儿发表了他的哲学名著《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》，解析几何的发明包含在这本书的附录《几何学》中.

8．非欧几何的创立主要归功于数学家高斯，波约和罗巴切夫斯基。

9．解析几何的发明归功于法国数学家费马和笛卡尔.

10．徽率、祖率(或密率)分别是157/50和355/113

11．徽率、祖率(或密率)、约率分别是157/50、355/113和22/7

12．《海岛算经》的作者是__刘徽________，《四元玉鉴》的作者是朱世杰  .

13．秦九韶的代表作是《_数书九章》，他的提出正负开方术是求高次代数方程的完整算法，他提出的大衍总数术是求解一次同余方程组的一般方法.

14．我国古代数学家刘徽用来推算圆周率的方法叫割圆术，用来计算面积和体积的一条基本原理是“出入相补”原理：一个几何图形（平面的或立体的）被分割成若干部分后，面积或体积的总和不变

15．对数的发明者纳皮尔是一位贵族数学家，拉普拉斯曾赞誉道：“对数的发明以其节省劳力而延长了天文学家的寿命”.

16.历史上第一篇系统的微积分文献《流数简论》的作者是牛顿，第一个公开发表微积分论文的数学家是____莱布尼茨______.

17.古代美索不达米亚的数学常常记载在泥板上，在代数与几何这两个传统领域，他们成就比较高的是代数领域.

18．阿拉伯数学家花拉子米的《还原与对消计算概要》第一次给出了__一元二次程的一般解法，并用几何方法对这一解法给出了证明.

19.“非欧几何”理论的建立源于对欧几里得几何体系中_欧几里得平行公设____的证明，最先建立“非欧几何”理论的数学家是_____罗巴切夫斯基_____.

20．起源于“英国海岸线长度”问题的一个数学分支是_____分形几何_____，它诞生于___20_______世纪.

简答或证明（每小题10分）：

1.请列举《九章算术》各章的名称和主要研究内容.

2.请列出“算经十书”所包括的古算书书名.

《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《张邱建算经》、《五曹算经》、《五经算术》、《夏侯阳算经》、《缀术》和《辑古算经》

3.请简述《几何原本》和《九章算术》的思想方法特点，并比较两者的异同.

《九章算术》思想方法的特点

1    开放的归纳体系

2    算法化的内容

3    模型化的方法

〈〉《几何原本》思想方法的特点

4    封闭的演绎体系

5    抽象化的内容

6    公理化的方法

1把《九章算术》与《几何原本》相对照，就可以发现从形式到内容都各有特色和所长，形成东、西方数学的不同风格。

2《几何原本》以形式逻辑方法把全部内容贯穿起来，而《九章算术》则按问题的性质和解法把全部内容分类编排；

3《几何原本》中极少提及应用问题，而《九章算术》则是解应用问题为主；

4《几何原本》以几何为主，略有点算术内容，而《九章算术》则包含了算术、代数、几何等我国当时数学的全部内容。

相同之处：集数学成就之大成者，成书历史久远，影响巨大，成为后世的教科书。

不同之处：《几何原本》是西方数学最早形成的演绎体系，采用“定义——公理、公设——定理” 的公理化方法，注重逻辑的严密性，开创了推理证明的先河。

《九章算术》：是中国由个别到一般的归纳体系，采用“问题——答案——算法”的体例，追求实用、讲究算法，但不注重逻辑结构。 

把《九章算术》与《几何原本》相对照，就可以发现从形式到内容都各有特色和所长，形成东、西方数学的不同风格。

《几何原本》以形式逻辑方法把全部内容贯穿起来，而《九章算术》则按问题的性质和解法把全部内容分类编排；

《几何原本》中极少提及应用问题，而《九章算术》则是解应用问题为主；

《几何原本》以几何为主，略有点算术内容，而《九章算术》则包含了算术、代数、几何等我国当时数学的全部内容。

相同之处：集数学成就之大成者，成书历史久远，影响巨大，成为后世的教科书。

不同之处：

《几何原本》是西方数学最早形成的演绎体系，采用“定义——公理、公设——定理” 的公理化方法，注重逻辑的严密性，开创了推理证明的先河。

《九章算术》：是中国由个别到一般的归纳体系，采用“问题——答案——算法”的体例，追求实用、讲究算法，但不注重逻辑结构。 

4.请简述微积分诞生的酝酿时期微分学的基本问题和积分学的基本问题.

非匀速运动物体的速度与加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；望远镜的光程设计需要确定透镜曲面上任一点的法线，这又使求任意曲线的切线问题变得不可回避；确定炮弹的最大射程及寻求行星轨道的近日点与远日点等涉及的函数极大值、极小值问题

行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力的计算等又使积分学的基本问题——面积、体积、曲线长、重心和引力计算

5.请简述开普勒利用“无限小元素和”推导球体积公式的方法.

开普勒与旋转体体积：

            开普勒方法的要旨，是用无数个同维无限小元素之和来确定曲边形的面积及旋转体的体积。例如他认为球的体积是无数个小圆锥的体积的和，这些圆锥的顶点在球心，底面则是球面的一部分；他又把圆锥看成是极薄的圆盘之和，并由此计算出它的体积，然后进一步证明球的体积是半径乘以球面面积的三分之一

6.请给出勾股定理的两种证明方法，要求画图并写出简要推导过程.

(1)

 

(2)

7.用《九章算术》中的盈不足术解下面问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何”？P72

8.推导三次方程x3=px+q的求根公式——卡尔丹公式.

9.简述费马大定理的具体内容，并指出它是哪一年被提出的，又在何时被解决.

10.在牛顿和莱布尼茨之前有许多数学家曾对微积分的创立作出过重要贡献，请列举其中的两位，并指出他们的主要贡献.

开普勒与旋转体体积：

            开普勒方法的要旨，是用无数个同维无限小元素之和来确定曲边形的面积及旋转体的体积。例如他认为球的体积是无数个小圆锥的体积的和，这些圆锥的顶点在球心，底面则是球面的一部分；他又把圆锥看成是极薄的圆盘之和，并由此计算出它的体积，然后进一步证明球的体积是半径乘以球面面积的三分之一

费马求极大值和极小值方法

           按费马的方法。设函数f(x)在点a处取极值，费马用“a+e”代替原来的未知量a，并使f(a+e)与f(a)逼近,即： f(a+e)～f(a)  这里所提到的“e”就是后来微积分学当中的“      ”

论述题（15分）：

1.论述数学史对数学教育的意义和作用.

数学史进入课程是数学新课程改革的重要理念之一。在课程变革由结构——功能视角向文化——个人视角转变的过程中，文化融入是师生对课程改革适应性的一个重要因素。对数学学科而言，数学史是数学文化生成的文库性资源，是最具权威的课程资源，具有明理、哲思与求真三重教育价值。

(1)明理：数学知识从何而来?数学史展示数学知识的起源、形成与发展过程，诠释数学知识的源与流；

(2)哲思：数学是一门什么样的科学?数学史明晰数学科学的思想脉络和发展趋势，让学生领悟数学科学的本质，引发学生对数学观问题自觉地进行哲学沉思，有利于学生追求真理和尊崇科学品德的形成

(3)求真：数学科学有什么用?数学史引证数学科学伟大的理性力量，让学生感悟概念思维创生的数学模式对于解析客观物质世界的真理性，提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价值的认识。

学习数学史可以帮助人们——

p  理解数学的本质

p  掌握数学的思想与方法

p  重走数学家数学发现的(思维的)关键性步子

因此，要重视数学史在数学教学中的意义和作用，通过数学教学展现数学知识的发现历程，让学生了解数学知识的来龙去脉，是数学教学的有效策略。

展现数学知识的发现过程，不是简单叙述数学史实，重复数学家的“原发现过程”。而是需要教师开展教育取向的数学史研究，从中获得对数学教学的启示，引导学生重走数学发现之路。

2.论述东方古代数学和西方古代数学各自的主要特征、对现代数学的影响，及其对数学教育的启示.

古希腊数学的三个阶段

u  古典时期的希腊数学----哲学盛行、学派林立、名家百出

u  亚历山大学派时期----希腊数学的顶峰时期，代表人物：欧几里得，阿基米德，阿波罗尼奥斯

u  希腊数学的衰落----罗马帝国的建立，唯理的希腊文明被务实的罗马文明代替

古希腊数学与哲学的交织

n  古希腊早期的自然科学往往是与哲学交织在一起的，古希腊的自然哲学乃是古代自然科学的一种特殊形态，虽然有许多错误的东西，但也有不少合理的知识和包含着合理成分的猜测．恩格斯说：“在希腊哲学的多种多样的形式中，差不多可以找到以后各种观点的胚胎、萌芽．因此，如果理论自然科学想要追溯自己今天的一般原理发生和发展的历史，它就不得不回到希腊人那里去．”

n  与希腊数学相比，中世纪的东方数学表现出强烈的算法精神，特别是中国与印度数学，着重算法的概括，不讲究命题的数学推导。

n  所谓“算法”，不只是单纯的计算，而是为了解决一整类实际或科学问题而概括出来的、带一般性的计算方法。

n  算法倾向本来是古代河谷文明的传统，但在中世纪却有了质的提高。这一时期中国与印度的数学家们创造的大量结构复杂、应用广泛的算法，很难再仅仅被看作是简单的经验法则，它们是一种归纳思维能力的产物。

n  这种能力与欧几里得几何的演绎风格迥然不同却又相辅相成。东方数学在文艺复兴以前通过阿拉伯人传播到欧洲，与希腊式的数学交汇结合，孕育了近代数学的诞生。

n  本章介绍中世纪的中国数学史，分三次课。

n  就繁荣时期而言，中国数学在上述三个地区是延续最长的。从公元前后至公元14世纪，先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期以及宋元时期，其中宋元时期达到了中国古典数学的顶峰。

第二篇：数学历史

数学史

一、数学史的研究对象

数学史是研究数学科学发生发展及其规律的科学，简单地说就是研究数学的历史。它不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程，而且还探索影响这种过程的各种因素，以及历史上数学科学的发展对人类文明所带来的影响。因此，数学史研究对象不仅包括具体的数学内容，而且涉及历史学、哲学、文化学、宗教等社会科学与人文科学内容，是一门交叉性学科。

从研究材料上说，考古资料、历史档案材料、历史上的数学原始文献、各种历史文献、民族学资料、文化史资料，以及对数学家的访问记录，等等，都是重要的研究对象，其中数学原始文献是最常用且最重要的第一手研究资料。从研究目标来说，可以研究数学思想、方法、理论、概念的演变史；可以研究数学科学与人类社会的互动关系；可以研究数学思想的传播与交流史；可以研究数学家的生平等等。

数学史研究的任务在于，弄清数学发展过程中的基本史实，再现其本来面貌，同时透过这些历史现象对数学成就、理论体系与发展模式作出科学、合理的解释、说明与评价，进而探究数学科学发展的规律与文化本质。作为数学史研究的基本方法与手段，常有历史考证、数理分析、比较研究等方法。

史学家的职责就是根据史料来叙述历史，求实是史学的基本准则。从17世纪始，西方历史学便形成了考据学，在中国出现更早，尤鼎盛于清代乾嘉时期，时至今日仍为历史研究之主要方法，只不过随着时代的进步，考据方法在不断改进，应用范围在不断拓宽而已。当然，应该认识到，史料存在真伪，考证过程中涉及到考证者的心理状态，这就必然影响到考证材料的取舍与考证的结果。就是说，历史考证结论的真实性是相对的。同时又应该认识到，考据也非史学研究的最终目的，数学史研究又不能为考证而考证。

不会比较就不会思考, 而且所有的科学思考与调查都不可缺少比较，或者说，比较是认识的开始。今日世界的发展是多极的，不同国家和地区、不同民族之间在文化交流中共同发展，因而随着多元化世界文明史研究的展开与西方中心论观念的淡化，异质的区域文明日益受到重视，从而不同地域的数学文化的比较以及数学交流史研究也日趋活跃。数学史的比较研究往往围绕数学成果、数学科学范式、数学发展的社会背景等三方面而展开。

数学史既属史学领域，又属数学科学领域，因此，数学史研究既要遵循史学规律，又要遵循数理科学的规律。根据这一特点，可以将数理分析作为数学史研究的特殊的辅助手段，在缺乏史料或史料真伪莫辨的情况下，站在现代数学的高度，对古代数学内容与方法进行数学原理分析，以达到正本清源、理论概括以及提出历史假说的目的。数理分析实际上是“古”与“今”间的一种联系。

二、数学史的分期

数学发展具有阶段性，因此研究者根据一定的原则把数学史分成若干时期。目前学术界通常将数学发展划分为以下五个时期：

1．数学萌芽期（公元前600年以前）；

2．初等数学时期（公元前600年至17世纪中叶）；

3．变量数学时期（17世纪中叶至19世纪20年代）；

4．近代数学时期（19世纪20年代至第二次世界大战）；

5．现代数学时期（20世纪40年代以来）。

三、数学史的意义

（1）数学史的科学意义

每一门科学都有其发展的历史，作为历史上的科学，既有其历史性又有其现实性。其现 1

实性首先表现在科学概念与方法的延续性方面，今日的科学研究在某种程度上是对历史上科学传统的深化与发展，或者是对历史上科学难题的解决，因此我们无法割裂科学现实与科学史之间的联系。数学科学具有悠久的历史，与自然科学相比，数学更是积累性科学，其概念和方法更具有延续性，比如古代文明中形成的十进位值制记数法和四则运算法则，我们今天仍在使用，诸如费尔马猜想、哥德巴赫猜想等历史上的难题，长期以来一直是现代数论领域中的研究热点，数学传统与数学史材料可以在现实的数学研究中获得发展。国内外许多著名的数学大师都具有深厚的数学史修养或者兼及数学史研究，并善于从历史素材中汲取养分，做到古为今用，推陈出新。我国著名数学家吴文俊先生早年在拓扑学研究领域取得杰出成就，七十年代开始研究中国数学史，在中国数学史研究的理论和方法方面开创了新的局面，特别是在中国传统数学机械化思想的启发下，建立了被誉为“吴方法”的关于几何定理机器证明的数学机械化方法，他的工作不愧为古为今用，振兴民族文化的典范。

科学史的现实性还表现在为我们今日的科学研究提供经验教训和历史借鉴，以使我们明确科学研究的方向以少走弯路或错路，为当今科技发展决策的制定提供依据，也是我们预见科学未来的依据。多了解一些数学史知识，也不会致使我们出现诸如解决三等分角作图等荒唐事，避免我们在这样的问题上白废时间和精力。同时，总结我国数学发展史上的经验教训，对我国当今数学发展不无益处。

（2）数学史的文化意义

美国数学史家M.克莱因曾经说过:“一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关。这种关系在我们这个时代尤为明显”。“数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学更主要是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时影响着政治家和神学家的学说”。数学已经广泛地影响着人类的生活和思想，是形成现代文化的主要力量。因而数学史是从一个侧面反映的人类文化史，又是人类文明史的最重要的组成部分。许多历史学家通过数学这面镜子，了解古代其他主要文化的特征与价值取向。古希腊（公元前600年-公元前300年）数学家强调严密的推理和由此得出的结论，因此他们不关心这些成果的实用性，而是教育人们去进行抽象的推理，和激发人们对理想与美的追求。通过希腊数学史的考察，就十分容易理解，为什么古希腊具有很难为后世超越的优美文学、极端理性化的哲学，以及理想化的建筑与雕塑。而罗马数学史则告诉我们，罗马文化是外来的，罗马人缺乏独创精神而注重实用。

（3）数学史的教育意义

当我们学习过数学史后，自然会有这样的感觉：数学的发展并不合逻辑，或者说，数学发展的实际情况与我们今日所学的数学教科书很不一致。我们今日中学所学的数学内容基本上属于17世纪微积分学以前的初等数学知识，而大学数学系学习的大部分内容则是17、18世纪的高等数学。这些数学教材业已经过千锤百炼，是在科学性与教育要求相结合的原则指导下经过反复编写的，是将历史上的数学材料按照一定的逻辑结构和学习要求加以取舍编纂的知识体系，这样就必然舍弃了许多数学概念和方法形成的实际背景、知识背景、演化历程以及导致其演化的各种因素，因此仅凭数学教材的学习，难以获得数学的原貌和全景，同时忽视了那些被历史淘汰掉的但对现实科学或许有用的数学材料与方法，而弥补这方面不足的最好途径就是通过数学史的学习。

在一般人看来，数学是一门枯燥无味的学科，因而很多人视其为畏途，从某种程度上说，这是由于我们的数学教科书教授的往往是一些僵化的、一成不变的数学内容，如果在数学教学中渗透数学史内容而让数学活起来，这样便可以激发学生的学习兴趣，也有助于学生对数学概念、方法和原理的理解与认识的深化。

科学史是一门文理交叉学科，从今天的教育现状来看，文科与理科的鸿沟导致我们的教育所培养的人才已经越来越不能适应当今自然科学与社会科学高度渗透的现代化社会，正是 2

由于科学史的学科交叉性才可显示其在沟通文理科方面的作用。通过数学史学习，可以使数学系的学生在接受数学专业训练的同时，获得人文科学方面的修养，文科或其它专业的学生通过数学史的学习可以了解数学概貌，获得数理方面的修养。而历史上数学家的业绩与品德也会在青少年的人格培养上发挥十分重要的作用。

中国数学有着悠久的历史，14世纪以前一直是世界上数学最为发达的国家，出现过许多杰出数学家，取得了很多辉煌成就，其源远流长的以计算为中心、具有程序性和机械性的算法化数学模式与古希腊的以几何定理的演绎推理为特征的公理化数学模式相辉映，交替影响世界数学的发展。由于各种复杂的原因，16世纪以后中国变为数学入超国，经历了漫长而艰难的发展历程才渐渐汇入现代数学的潮流。由于教育上的失误，致使接受现代数学文明熏陶的我们，往往数典忘祖，对祖国的传统科学一无所知。数学史可以使学生了解中国古代数学的辉煌成就，了解中国近代数学落后的原因，中国现代数学研究的现状以及与发达国家数学的差距，以激发学生的爱国热情，振兴民族科学。

数学史

1.数学史所研究的内容是：

①数学史研究方法论问题；

②数学史通史；

③数学分科史

④不同国家、民族、地区的数学史及其比较;

⑤不同时期的断代数学史;

⑥数学家传记;

⑦数学思想、概念、数学方法发展的历史； ⑧数学发展与其他科学、社会现象之间的关系；⑨数学教育史；⑩数学史文献学；2.按其研究的范围又可分为内史和外史。 2 数学史介绍

①内史 从数学内在的原因来研究数学发展的历史；②外史 从外在的社会原因来研究数学发展与其他社会因素间的关系。

3.研究数学史的历史:

古代数学史：

①古希腊曾有人写过《几何学史》，未能流传下来。

②5世纪普罗克洛斯对欧几里得《几何原本》第一卷的注文中还保留有一部分资料。 ③中世纪阿拉伯国家的一些传记作品和数学著作中，讲述到一些数学家的生平以及其他有关数学史的材料。

④12世纪时，古希腊和中世纪阿拉伯数学书籍传入西欧。这些著作的翻译既是数学研究，也是对古典数学著作的整理和保存。

近代西欧各国的数学史：

是从18世纪，由J.蒙蒂克拉、C.博絮埃、A.C.克斯特纳同时开始，而以蒙蒂克拉1758年出版的《数学史》（1799～1802年又经J.de拉朗德增补）为代表。从19世纪末叶起，研究数学史的人逐渐增多,断代史和分科史的研究也逐渐展开,19xx年以后，更有了新的发展。19世纪末叶以后的数学史研究可以分为下述几个方面。

①通史研究 代表作可以举出M.B.康托尔的《数学史讲义》(4卷,1880～1908)以及C.B.博耶(1894、1919D.E.史密斯(2卷，1923～1925)、洛里亚（3卷，1929～1933）等人的著作。法国的布尔巴基学派写了一部数学史收入《数学原理》。以尤什凯维奇为代表的苏联学者和以弥永昌吉、伊东俊太郎为代表的日本学者也都有多卷本数学通史出版。19xx年美国M.克莱因所著《古今数学思想》一书，是70年代以来的一部佳作。

②古希腊数学史 许多古希腊数学家的著作被译成现代文字，在这方面作出了成绩的有 3

J.L.海贝格、胡尔奇、T.L.希思等人。洛里亚和希思还写出了古希腊数学通史。20世纪30年代起，著名的代数学家范·德·瓦尔登在古希腊数学史方面也作出成绩。60年代以来匈牙利的A.萨博的工作则更为突出，他从哲学史出发论述了欧几里得公理体系的起源。 ③古埃及和巴比伦数学史 把巴比伦楔形文字泥板算书和古埃及纸草算书译成现代文字是艰难的工作。查斯和阿奇博尔德等人都译过纸草算书，而诺伊格鲍尔锲而不舍数十年对楔形文字泥板算书的研究则更为有名。他所著的《楔形文字数学史料研究》（1935、1937）、《楔形文字数学书》（与萨克斯合著，1945）都是这方面的权威性著作。他所著《古代精密科学》(1951)一书，汇集了半个世纪以来关于古埃及和巴比伦数学史研究成果。范·德·瓦尔登的《科学的觉醒》(1954)一书，则又加进古希腊数学史，成为古代世界数学史的权威性著作之一。

④断代史和分科史研究 德国数学家（C.）F.克莱因著的《19世纪数学发展史讲义》(1926～1927)一书，是断代体近现代数学史研究的开始，它成书于20世纪，但其中所反映的对数学的看法却大都是19世纪的。直到19xx年法国数学家J.迪厄多内所写的《1700～1900数学史概论》出版之前，断代体数学史专著并不多，但却有（C.H.）H.外尔写的《半个世纪的数学》之类的著名论文。对数学各分支的历史，从数论、概率论，直到流形概念、希尔伯特23个数学问题的历史等，有多种专著出现，而且不乏名家手笔。许多著名数学家参预数学史的研究,可能是基于（J.-）H.庞加莱的如下信念,即:“如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状”，或是如H.外尔所说的：“如果不知道远溯古希腊各代前辈所建立的和发展的概念方法和结果，我们就不可能理解近50年来数学的目标，也不可能理解它的成就。”

⑤历代数学家的传记以及他们的全集与《选集》的整理和出版 这是数学史研究的大量工作之一。此外还有多种《数学经典论著选读》出现，辑录了历代数学家成名之作的珍贵片断。

⑥专业性学术杂志 最早出现于19世纪末，M.B.康托尔（1877～1913，30卷）和洛里亚（1898～1922，21卷）都曾主编过数学史杂志，最有名的是埃内斯特勒姆主编的《数学宝藏》（1884～1915，30卷）。现代则有国际科学史协会数学史分会主编的《国际数学史杂志》。

中国数学史：

中国以历史传统悠久而著称于世界，在历代正史的《律历志》“备数”条内常常论述到数学的作用和数学的历史。例如较早的《汉书·律历志》说数学是“推历、生律、 制器、 规圆、矩方、权重、衡平、准绳、嘉量，探赜索稳,钩深致远,莫不用焉”。《隋书·律历志》记述了圆周率计算的历史，记载了祖冲之的光辉成就。历代正史《列传》中，有时也给出了数学家的传记。正史的《经籍志》则记载有数学书目。

在中国古算书的序、跋中，经常出现数学史的内容。

如刘徽注《九章算术》序 (263)中曾谈到《九章算术》形成的历史；王孝通“上缉古算经表”中曾对刘徽、祖冲之等人的数学工作进行评论；祖颐为《四元玉鉴》所写的序文中讲述了由天元术发展成四元术的历史。宋刊本《数术记遗》之后附录有“算学源流”,这是中国,也是世界上最早用印刷术保存下来的数学史资料。程大位《算法统宗》(1592)书末附有“算经源流”,记录了宋明间的数学书目。

以上所述属于零散的片断资料，对中国古代数学史进行较为系统的整理和研究，则是在乾嘉学派的影响下，在清代中晚期进行的。主要有：①对古算书的整理和研究，《算经十书》(汉唐间算书)和宋元算书的校订、注释和出版，参预此项工作的有戴震(1724～1777)、李潢(?～1811)、阮元（1764～1849）、沈钦裴(1829年校算《四元玉鉴》)、罗士琳(1789～1853)等人 ②编辑出版了《畴人传》（数学家和天文学家的传记），它“肇自黄帝，迄于昭（清） 4

代，凡为此学者，人为之传”，它是由阮元、李锐等编辑的(1795～1799)。其后，罗士琳作“补遗”(1840)，诸可宝作《畴人传三编》（1886），黄钟骏又作《畴人传四编》(1898)。《畴人传》，实际上就是一部人物传记体裁的数学史。收入人物多，资料丰富，评论允当，它完全可以和蒙蒂克拉的数学史相媲美。

利用现代数学概念，对中国数学史进行研究和整理，从而使中国数学史研究建立在现代科学方法之上的学科奠基人，是李俨和钱宝琮。他们都是从五四运动前后起，开始搜集古算书,进行考订、整理和开展研究工作的 经过半个多世纪,李俨的论文自编为《中算史论丛》(1～5集，1954～1955),钱宝琮则有《钱宝琮科学史论文集》(1984)行世。从20世纪30年代起，两人都有通史性中国数学史专著出版，李俨有《中国算学史》(1937)、《中国数学大纲》（1958）；钱宝琮有《中国算学史》（上，1932）并主编了《中国数学史》(1964)。钱宝琮校点的《算经十书》(1963)和上述各种专著一道，都是权威性著作。

从19世纪末，即有人（伟烈亚力、赫师慎等）用外文发表中国数学史方面的文章。20世纪初日本人三上义夫的《数学在中国和日本的发展》以及50年代李约瑟在其巨著《中国科学技术史》(第三卷)中对中国数学史进行了全面的介绍。有一些中国的古典算书已经有日、英、法、俄、德等文字的译本。在英、美、日、俄、法、比利时等国都有人直接利用中国古典文献进行中国数学史的研究以及和其他国家和地区数学史的比较研究。

（严敦杰）

数学发展至今，不知道经历了多少人的呕心沥血，现在把数学历史上发生的大事的年表列出：

数学大事年表

推荐约公元前3000年 埃及象形数字

公元前2400～前1600年 早期巴比伦泥版楔形文字，采用60进位值制记数法。已知勾股定理

公元前1850～前1650年 埃及纸草书（莫斯科纸草书与莱茵德纸草书），使用10进非位值制记数法

公元前1400～前1100年 中国殷墟甲骨文，已有10进制记数法

周公(公元前11世纪)、商高时代已知勾三、股四、弦五

约公元前600年 希腊泰勒斯开始了命题的证明

约公元前540年 希腊毕达哥拉斯学派，发现勾股定理，并导致不可通约量的发现

约公元前500年 印度《绳法经》中给出√2相当精确的值，并知勾股定理 约公元前460年 希腊智人学派提出几何作图三大问题：化圆为方、三等分角和二倍立方

约公元前450年 希腊埃利亚学派的芝诺提出悖论

公元前430年 希腊安提丰提出穷竭法

约公元前380年 希腊柏拉图在雅典创办“学园”，主张通过几何的学习培养逻辑思维能力

公元前370年 希腊欧多克索斯创立比例论

约公元前335年 欧多莫斯著《几何学史》

中国筹算记数，采用十进位值制

约公元前300年 希腊欧几里得著《几何原本》，是用公理法建立演绎数学体系的最早典范

5

公元前287～前212年 希腊阿基米德，确定了大量复杂几何图形的面积与体积；给出圆周率的上下界；提出用力学方法推测问题答案，隐含近代积分论思想 公元前230年 希腊埃拉托塞尼发明“筛法”

公元前225年 希腊阿波罗尼奥斯著《圆锥曲线论》

约公元前150年 中国现存最早的数学书《算数书》成书（1983～19xx年间在湖北江陵出土）

约公元前100年 中国《周髀算经》成书，记述了勾股定理

中国古代最重要的数学著作《九章算术》经历代增补修订基本定形（一说成书年代为公元 50～100年间），其中正负数运算法则、分数四则运算、线性方程组解法、比例计算与线性插值法盈不足术等都是世界数学史上的重要贡献

约公元62年 希腊海伦给出用三角形三边长表示面积的公式（海伦公式） 约公元150年 希腊托勒密著《天文学》，发展了三角学

约公元250年 希腊丢番图著《算术》，处理了大量不定方程问题，并引入一系列缩写符号，是古希腊代数的代表作

约公元263年 中国刘徽注解《九章算术》，创割圆术，计算圆周率,证明圆面积公式,推导四面体及四棱锥体积等，包含有极限思想

约公元300年 中国《孙子算经》成书，系统记述了筹算记数制，卷下“物不知数”题是孙子剩余定理的起源

公元320年 希腊帕普斯著《数学汇编》，总结古希腊各家的研究成果,并记述了“帕普斯定理”和旋转体体积计算法

公元410年 希腊许帕提娅，历史上第一位女数学家，曾注释欧几里得、丢番图等人的著作

公元462年 中国祖冲之算出圆周率在 3.1415926与3.1415927之间,并以22/7为约率，355/113为密率（现称祖率）

中国祖冲之和他的儿子祖暅提出“幂势既同则积不容异”的原理，现称祖暅原理，相当于西方的卡瓦列里原理(1635)

公元499年 印度阿耶波多著《阿耶波多文集》，总结了当时印度的天文、算术、代数与三角学知识。已知π=3.1416，尝试以连分数解不定方程

公元600年 中国刘焯首创等间距二次内插公式，后发展出不等间距二次内插法（僧一行，724）和三次内插法(郭守敬，1280)

约公元625年 中国王孝通著《缉古算经》，是最早提出数字三次方程数值解法的著作

公元628年 印度婆罗摩笈多著《婆罗摩历算书》，已知圆内接四边形面积计算法，推进了一、二次不定方程的研究

公元656年 中国李淳风等注释十部算经，后通称《算经十书》

公元820年 阿拉伯花拉子米著《代数学》，以二次方程求解为主要内容，12世纪该书被译成拉丁文传入欧洲

约公元870年 印度出现包括零的十进制数码，后传入阿拉伯演变为现今的印度－阿拉伯数码

约公元1050年 中国贾宪提出二项式系数表（现称贾宪三角和增乘开方法） 公元1100年 阿拉伯奥马·海亚姆首创用两条圆锥曲线的交点来表示三次方程的根

公元1150年 印度婆什迦罗第二著《婆什迦罗文集》为中世纪印度数学的代表作，其中给出二元不定方程x⒉=1+py⒉若干特解，对负数有所认识，并使用了无理 6

数

公元1202年 意大利L.斐波那契著《算盘书》，向欧洲人系统地介绍了印度－阿拉伯数码及整数、分数的各种算法

公元1247年 中国秦九韶著《数书九章》，创立解一次同余式的大衍求一术和求高次方程数值解的正负开方术，相当于西方的霍纳法(1819)

公元1248年 中国李冶著《测圆海镜》，是中国现存第一本系统论述天元术的著作

约公元1250年 阿拉伯纳西尔丁·图西开始使三角学脱离天文学而独立,将欧几里得《几何原本》译为阿拉伯文

公元1303年 中国朱世杰著《四元玉鉴》，将天元术推广为四元术，研究高阶等差数列求和问题

公元1325年 英国T.布雷德沃丁将正切、余切引入三角计算

公元14世纪 珠算在中国普及

约公元1360年 法国N.奥尔斯姆撰《比例算法》，引入分指数概念，又在《论图线》等著作中研究变化与变化率，创图线原理，即用经、纬度（相当于横、 纵坐标）表示点的位置并进而讨论函数图像

公元1427年 阿拉伯卡西著《算术之钥》，系统论述算术、代数的原理、方法，并在《圆周论》中求出圆周率17位准确数字

公元1464年 德国J.雷格蒙塔努斯著《论一般三角形》，为欧洲第一本系统的三角学著作，其中出现正弦定律

公元1482年 欧几里得《几何原本》(拉丁文译本)首次印刷出版

公元1489年 捷克韦德曼最早使用符号＋、－表示加、减运算

公元1545年 意大利G.卡尔达诺的《大术》出版，载述了S·费罗(1515)、N.塔尔塔利亚(1535)的三次方程解法和L.费拉里(1544)的四次方程解法

公元1572年 意大利R.邦贝利的《代数学》出版，指出对于三次方程的不可约情形，通过虚数运算必可得三个实根，给出初步的虚数理论

公元1585年 荷兰S.斯蒂文创设十进分数(小数)的记法

公元1591年 法国F.韦达著《分析方法入门》，引入大量代数符号，改良三、四次方程解法，指出根与系数的关系，为符号代数学的奠基者

公元1592年 中国程大位写成《直指算法统宗》，详述算盘的用法，载有大量运算口诀，该书明末传入日本、朝鲜

公元1606年 中国启和利玛窦合作将欧几里得《几何原本》前六卷译为中文

公元1614年 英国J.纳皮尔创立对数理论

公元1615年 德国开普勒著《酒桶新立体几何》，有求酒桶体积的方法，是阿基米德求积方法向近代积分法的过渡

公元1629年 荷兰吉拉尔最早提出代数基本定理

法国P.de费马已得解析几何学要旨，并掌握求极大极小值方法

公元1635年 意大利（F.）B.卡瓦列里建立“不可分量原理”

公元1637年 法国R.笛卡儿的《几何学》出版，创立解析几何学

法国P.de费马提出“费马大定理”

公元1639年 法国G.德扎格著《试论处理圆锥与平面相交情况初稿》，为射影几何先驱

公元1640年 法国B.帕斯卡发表《圆锥曲线论》

7

公元1642年 法国B.帕斯卡发明加减法机械计算机

公元1655年 英国J.沃利斯著《无穷算术》，导入无穷级数与无穷乘积，首创无穷大符号∞

公元1657年 荷兰C.惠更斯著《论骰子游戏的推理》，引入数学期望概念，是概率论的早期著作。在此以前B.帕斯卡、P.de费马等已由处理赌博问题而开始考虑概率理论

公元1665年 英国I.牛顿一份手稿中已有流数术的记载，这是最早的微积分学文献，其后他在《无穷多项方程的分析》（1669年撰，1711年发表）、《流

数术方法与无穷级数》（1671年撰, 1736年发表）等著作中进一步发展流数术并建立微积分基本定理

公元1666年 德国G.W.莱布尼茨写成《论组合的技术》，孕育了数理逻辑思想

公元1670年 英国I.巴罗著《几何学讲义》，引进“微分三角形”概念 约公元1680年 日本关孝和始创和算，引入行列式概念，开创“圆理”研究 公元1684年 德国G.W.莱布尼茨在《学艺》上发表第一篇微分学论文《一种求极大极小与切线的新方法》，两年后又发表第一篇积分学论文，创用积分符号 公元1687年 英国I. 牛顿的 《自然哲学的数学原理》出版，首次以几何形式发表其流数术

公元1689年 瑞士约翰第一·伯努利提出“最速降曲线”问题，后导致变分法的产生

法国 G.-F.-A.de 洛必达出版《无穷小分析》，其中载有求极限的洛必达法则 公元1707年 英国I.牛顿出版《广义算术》，阐述了代数方程理论

公元1713年 瑞士雅各布第一·伯努利的《猜度术》出版，载有伯努利大数律 公元1715年 英国B.泰勒出版《正的和反的增量方法》，内有他1712年发现的把函数展开成级数的泰勒公式

公元1722年 法国A.棣莫弗给出公式（cos φ＋i sin φ）n =cos nφ+ i sin nφ

公元1730年 苏格兰J.斯特林发表《微分法，或关于无穷级数的简述》，其中给出了Ν!的斯特林公式

公元1731年 法国A.－C.克莱罗著《关于双重曲率曲线的研究》，开创了空间曲线的理论

公元1736年 瑞士L.欧拉解决了柯尼斯堡七桥问题

公元1742年 英国C.马克劳林出版《流数通论》，试图用严谨的方法来建立流数学说，其中给出了马克劳林展开

公元1744年 瑞士L.欧拉著《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的技巧》，标志着变分法作为一个新的数学分支的诞生

公元1747年 法国J.le R. 达朗贝尔发表《弦振动研究》,导出了弦振动方程,是偏微分方程研究的开端

公元1748年 瑞士L.欧拉出版《无穷小分析引论》，与后来发表的《微分学》(1755)和《积分学》(1770)一起，以函数概念为基础综合处理微积分理论，给出了大量重要的结果，标志着微积分发展的新阶段

公元1750年 瑞士G.克莱姆给出解线性方程组的克莱姆法则

瑞士L.欧拉发表多面体公式:V-E+F =2

公元1770年 法国J.－L.拉格朗日深入探讨代数方程根式求解问题，考虑有 8

理函数当变量发生置换时所取值的个数，成为置换群论的先导

德国J.H.朗伯开创双曲函数的全面研究 公元1777年 法国G.-L.L.de布丰提出投针问题,是几何概率理论的早期研究 公元1779年 法国□.贝祖著《代数方程的一般理论》，系统论述消元法理论 公元1788年 法国J.－L.拉格朗日的《分析力学》出版，使力学分析化，并总结了变分法的成果

公元1794年 法国A.－M.勒让德的《几何学基础》出版，是当时标准的几何教科书

法国建立巴黎综合工科学校和巴黎高等师范学校

公元1795年 法国G.蒙日发表《关于把分析应用于几何的活页论文》，成为微分几何学先驱

公元1797年 法国J.-L.拉格朗日著《解析函数论》，主张以函数的幂级数展开为基础建立微积分理论

挪威C.韦塞尔最早给出复数的几何表示

公元1799年 法国G.蒙日出版《画法几何学》，使画法几何成为几何学的一个专门分支

德国C.F.高斯给出代数基本定理的第一个证明

公元1799～1825年 法国P.-S.拉普拉斯的5卷巨著《天体力学》出版，其中包含了许多重要的数学贡献，如拉普拉斯方程、位势函数等

公元1801年 德国C.F.高斯的《算术研究》出版，标志着近代数论的起点 公元1802年 法国J.E.蒙蒂克拉与J.de拉朗德合撰的《数学史》共4卷全部出版,成为最早的较系统的数学史著作

公元1807年 法国J.－B.－J.傅里叶在热传导研究中提出任意函数的三角级数表示法（傅里叶级数），他的思想总结在1822年发表的《热的解析理论》中 公元1810年 法国J.－D.热尔岗创办《纯粹与应用数学年刊》，这是最早的专门数学期刊

公元1812年 英国剑桥分析学会成立

法国 P.-S.拉普拉斯著《概率的解析理论》,提出概率的古典定义,将分析工具引入概率论

公元1814年 法国 A.-L.柯西宣读复变函数论第一篇重要论文《关于定积分理论的报告》（1827年正式发表），开创了复变函数论的研究

公元1817年 捷克B.波尔查诺著《纯粹分析的证明》，首次给出连续性、导数的恰当定义，提出一般级数收敛性的判别准则

公元1818年 法国S.-D.泊松导出波动方程解的“泊松公式”

公元1821年 法国A.-L.柯西出版《代数分析教程》，引进不一定具有解析表达式的函数概念；独立于B.波尔查诺提出极限、连续、导数等定义和级数收敛判别准则，是分析严密化运动中第一部影响深远的著作

公元1822年 法国J.－V.彭赛列著《论图形的射影性质》，奠定了射影几何学基础

公元1826年 挪威N.H.阿贝尔著《关于很广一类超越函数的一个一般性质》，开创了椭圆函数论研究

德国A.L.克雷尔创办《纯粹与应用数学杂志》

法国J.-D.热尔岗与J.-V.彭赛列各自建立对偶原理

公元1827年 德国C.F.高斯著《关于曲面的一般研究》，开创曲面内蕴几何 9

学

德国A.F.麦比乌斯著《重心演算》，引进齐次坐标，与J.普吕克等开辟了射影几何的代数方向

公元1828年 英国G.格林著《数学分析在电磁理论中的应用》，发展位势理论

公元1829年 德国C.G.J.雅可比著《椭圆函数论新基础》，是椭圆函数理论的奠基性著作

俄国Н.И.罗巴切夫斯基发表最早的非欧几何论著《论几何基础》

公元1829～1832年 法国E.伽罗瓦彻底解决代数方程根式可解性问题，确立了群论的基本概念

公元1830年 英国G.皮科克著《代数通论》，首创以演绎方式建立代数学，为代数中更抽象的思想铺平了道路

公元1832年 匈牙利J.波尔约发表《绝对空间的科学》，独立于Н.И.罗巴切夫斯基提出了非欧几何思想

瑞士J.施泰纳著《几何形的相互依赖性的系统发展》，利用射影概念从简单结构构造复杂结构，发展了射影几何

公元1836年 法国J.刘维尔创办法文的《纯粹与应用数学杂志》

公元1837年 德国P.G.L.狄利克雷提出现今通用的函数定义(变量之间的对应关系)

公元1840年 法国 A.-L.柯西证明了微分方程初值问题解的存在性

公元1841～1856年 德国K.（T.W.）外尔斯特拉斯关于分析严密化的工作，主张将分析建立在算术概念的基础之上，给出极限的ε－δ说法和级数一致收敛性概

念；同时在幂级数基础上建立复变函数论

公元1843年 英国W.R.哈密顿发现四元数

公元1844年 德国E.E.库默尔创立理想数的概念

德国H.G.格拉斯曼出版《线性扩张论》。建立Ν个分量的超复数系,提出了一般的Ν维几何的概念

公元1847年 德国K.G.C.von 施陶特著《位置的几何学》，不依赖度量概念建立射影几何体系

公元1849～1854年 英国的A.凯莱提出抽象群概念

公元1851年 德国（G.F.）B.黎曼著《单复变函数的一般理论基础》，给出单值解析函数的黎曼定义，创立黎曼面的概念，是复变函数论的一篇经典性论文 公元1854年 德国（G.F.）B.黎曼著《关于几何基础的假设》,创立Ν维流形的黎曼几何学

英国G.布尔出版《思维规律的研究》，建立逻辑代数（即布尔代数） 公元1855年 英国A.凯莱引进矩阵的基本概念与运算

公元1858年 德国（G.F.）B.黎曼给出ζ函数的积分表示与它满足的函数方程，提出黎曼猜想德国A. F. 麦比乌斯发现单侧曲面（麦比乌斯带）

公元1859年 中国李善兰与英国的伟烈亚力合译的《代数学》、《代微积拾级》以及《几何原本》后9卷中文本出版,这是翻译西方近代数学著作的开始 中国李善兰建立了著名的组合恒等式（李善兰恒等式）

公元1861年 德国K.（T.W.）外尔斯特拉斯在柏林讲演中给出连续但处处不可微函数的例子

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公元1863年 德国P.G.L.狄利克雷出版《数论讲义》，是解析数论的经典文献

公元1865年 伦敦数学会成立，是历史上第一个成立的数学会

公元1866年 俄国П.Л.切比雪夫利用切比雪夫不等式建立关于独立随机变量序列的大数律，成为概率论研究的中心课题

公元1868年 意大利E.贝尔特拉米著《论非欧几何学的解释》，在伪球面上实现罗巴切夫斯基几何，这是第一个非欧几何模型

德国（G.F.）B.黎曼的《用三角级数表示函数的可表示性》正式发表，建立了黎曼积分理论

公元1871年 德国（C.）F.克莱因在射影空间中适当引进度量而得到双曲几何与椭圆几何，这是不用曲面而获得的非欧几何模型

德国G.（F.P.）康托尔在三角级数表示的惟一性研究中首次引进了无穷集合的概念，并在以后的一系列论文中奠定了集合论的基础

公元1872年 德国（C.）F.克莱因发表《埃尔朗根纲领》，建立了把各种几何学看作为某种变换群的不变量理论的观点，以群论为基础统一几何学

实数理论的确立：G.（F.P.）康托尔的基本序列论；J.W.R.戴德金的分割论；K.(T.W.)外尔斯特拉斯的单调序列论

公元1873年 法国C.埃尔米特证明e的超越性

公元1874年 挪威M.S.李开创连续变换群的研究，现称李群理论

公元1879年 德国（F.L.）G.弗雷格出版《概念语言》,建立量词理论,给出第一个严密的逻辑公理体系，后又出版《算术基础》(1884)等著作，试图把数学建立在逻辑的基础上

公元1881～1884年 德国(C.)F.克莱因与法国（J.－）H.庞加莱创立自守函数论

公元1881～1886年 法国（J.－）H.庞加莱关于微分方程确定的曲线的论文，创立微分方程定性理论

公元1882年 德国M.帕施给出第一个射影几何公理系统

德国F.von林德曼证明π的超越性

公元1887年 法国（J.－）G.达布著《曲面的一般理论》，发展了活动标架法 公元1889年 意大利G.皮亚诺著《算术原理新方法》，给出自然数公理体系 公元1894年 荷兰T.（J.）斯蒂尔杰斯发表《连分数的研究》，引进新的积分（斯蒂尔杰斯积分）

公元1895年 法国（J.－）H.庞加莱著《位置几何学》，创立用剖分研究流形的方法，为组合拓扑学奠定基础

德国F.G.弗罗贝尼乌斯开始群的表示理论的系统研究

公元1896年 德国H.闵科夫斯基著《数的几何》，创立系统的数的几何理论 法国J.（-S.）阿达马与瓦里-布桑证明素数定理

公元1897年 第一届国际数学家大会在瑞士苏黎世举行

公元1898年 英国K.皮尔逊创立描述统计学

公元1899年 德国D.希尔伯特出版《几何基础》，给出历史上第一个完备的欧几里得几何公理系统,开创了公理化方法,并预示了数学基础的形式主义观点 公元19xx年 德国D.希尔伯特在巴黎第二届国际数学家大会上作题为《数学问题》的报告。提出了23个著名的数学问题

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