数学中的美

摘要：数，是万物之源，数学是我们探究未知的钥匙。所有那些我们认为无比美妙、无比神秘的创造，在逻辑里都可以找到解释。数学是什么？通过计算我们探究世界，通过逻辑我们推断真理。在它的表现形式和运算方式上无不透露着人类智慧的奇妙和大自然鬼斧神工的造化。

关键词：数字的美；图形的美；运算方式的美；数字化的世界

1、数字中的美

众所周知，现代数学中的数分为实数与虚数；而实数又分为有理数和无理数；而有理数

又由整数与分数构成。就这样，自然界中所有的数在这里得到统一。而以阿拉伯数字流行的当代社会，这些数字无不透露着它的美妙。先拿虚数来讲，虚数以（a+b*i）的形式与实数分别占据着数的一半天下。仅仅靠着一个虚部，就能把所有实数的对立面全都囊括其中，这是一个多么美好的形式，无论是从它的结构，还是从它所代表的意义来讲，它都是无语伦比的。一个虚部的存在，让数在整个空间域上没有丝毫的漏洞，使之达到永恒。

回到我们所常用的实数上来说。整数与分数的形式无疑是最漂亮的结果。不管你在做什么题的时候得到的结果总是希望他是整数或者是分数。原因就在于他们的形式简单明了，并且让人有十足的安全感和信服力。这与人类，更确切的说是中国人追求完美的内心是密不可分的。从我们常说的“凑个整”等俗语中不难看出这一点。而整数与分数就让人有这样圆满的感觉，无形之中将它的美深入人心。数学符号的应用无疑在人类进步的历史上的一个重大突破。因为它打破了人所能想象的极限。无限不循环的数的存在让多少数学家头痛不已。而有些形式的无理数让这些冗长的小数点后n位的数字遁形。如等数字，用简单的数学符号让曾经令人头疼不已的无理数以最简单的形式呈现在人们的眼前，以其独特而神奇的方式成为数中新的宠儿。形式简单而明了的美，更重要的是在其运用方式上和整数分数达到神奇的统一。

谈及无理数，不得不谈到一个重要的无理数，那边是π。作为圆的周长与直径的比值恒定不变的存在。而这一数的得来也依靠着古今中外的数学家们不懈的努力。【1】人类追求π值精确度的旅程从未停止。从刘徽到祖冲之再到法国科学家韦达。从17世纪的鲁道夫再到连锲、贤可土，；最后再到现代的电子计算机。人们对圆周率精确度的追求正是一种智力探索的激励，是人们锲而不舍的精神最求，是一种博大的奋斗之美！

2、图形中的美

世界中任何都可以物品用最简单的图形平凑而成。在古代人们就已经发现图形之美。六七千年前的新石器时期，陶器上绘制了包括方形、菱形和圆形等图案的纹饰，并且注意到图形的对称和圆弧的等分。公元前500年左右，古希腊的毕达哥拉斯及其学派具体的提出各种美的比例；如和谐比例（3:4:6），音乐比例（A:(A+B)/2=2AB/(A+B):B）、完全比例（（A+B）/2：=:2AB/(A+B)）、黄金比例（AC:AB=CB:AC）。这些无论是形式还是结构上的都展示着数学的美，而这些美都可以在图形中的得到验证。也就是说能够满足这些比例的图形必将是充满人类智慧之美的图形。数学与自然界中的图形在这里结合，熠熠生辉。

下面我将举出勾股定理的例子来说明图形之美。【2】关于勾股定理公元三世纪三国时代的中国数学家刘徽给出的无字证明，即“出入相补”法。

如图所示，ABC为勾股形，以勾为边的正方形为朱方，以股为边的正方形为青方。按图中的表示进行出入相补（“-”表示移出，“+”表示补入）后拼成弦方，依面积关系显然有关系式：

                       弦方=朱方+青方

 即：

                      

这一证明利用平面图形的面积，巧妙的加以移、合、拼、补之后，甚至无需代数运算，而勾、股、弦之间的关系便可一目了然。除了简明外，其中依据的几何原理“出入相补法”达到了几何图形的直观性与逻辑推理的严谨性的高度统一，信息量是相当大的。

图形的迷人之处在于它的对称性，在于它的结构。图形使数学得到提高而数学又使得图形得以升华。这便是图形的美，更是数学的美。

3、奇妙的运算方式

且不谈加减乘除、乘方、开方等基础运算带给人类社会的意义。在数学的学习中我们用微分方程去求解未知的原函数，这个过程就好比探险家在寻找宝藏一般，其中的兴奋之情难以言表，更惊叹于数学家们的伟大智慧；我们用格林公式、高斯定理、斯托克斯公式在曲线曲面积分的海洋里自由驰骋；我们用费马引理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒公式以及罗比达法则在积分、极限的国度里建功立业。这些奇妙的运算方式让看似不可能的运算得以实现，它以独特而巧妙的方法深入人心，在感叹其美妙的同时也被她的美所惊艳。

当现实问题依靠常识、经验所不能解决的时候，这个时候就要引进数学建模，把现实问题数学化再通过数学求解回归现实问题。任何的现实问题总能在数学里的到解答，都能以巧妙的运算方得到最终的答案。【3】比如B.N.克雷洛夫所著的近似方法与计算技术中的近似及数值的计算方法中谈到，用函数幂级数的和取前几项的和使之误差小于就可以以这个多项式近似代替它的值。

正如普罗克拉斯所言：“哪里有数学，哪里就有美”。数学作为我们人类探索未知世界的工具将会经久不衰的传承下去；在未来探索宇宙的道路上也将会作出卓越的贡献。而事实上，数学的应用早已融入了人们的生活。数字化电视，数字化的信息传输，数字化的信息存储。人类当代社会中的一切信息都在向数字化的方向转变。这不仅与数字的可靠性和简洁性有关，更是数学的美使得这一趋势得以实现。

参考文献：

[1]易南轩，《数学美拾趣》，科学出版社，20##年第一版

[2]王庚，《数学文化与数学教育--数学文化报告集》，科学出版社，20##年第一版

[3]秦元勋 王光寅 译，（俄）A.D亚历山大洛夫，《数学--它的内容，方法和意义》，科学出版社，20##年第三版

第二篇：从数字赏数学之美

从数字欣赏数学之美

数学系 刘宏伟

在座的给位都是学数学的，大家认为数学美吗？

很多人给数学的定义如下，枯燥，无味，死板，保守，严密，很少有人能将数学与美，酷，生机勃勃等词建立关系。以至于给我们这些数学人也下了死板，没意思的定义。所以没有人愿意与学数学的人多聊几句。

所有的这些都源自于数学学科的特点，抽象性，准确性，应用广泛性，与生活联系性。

今天的讲座我将给大家介绍几个与数字有关的数学方面的知识，帮助大家从数字方面发现数学的美。并且可以让你走向社会时给人们传达数学的美，改变社会对我们得看法。

其实在我之前已经有很多的大师表示过数学的美，数学是上帝用来书写宇宙的文字。——伽利略

首先我要说的是亲和数。亲和数，多么美的名字。看看，我们的数学家给他起的一个多有诗意的名字。

人和人之间讲友情，有趣的是，数与数之间也有相类似的关系，遥远的古代，人们发现某些自然数之间有特殊的关系：如果两个数a和b，a的所有除本身以外的因数之和等于b,b的所有除本身以外的因数之和等于a,则称a,b是一对亲和数。数学家把一对存在特殊关系的数称为“亲和数”。

常言道，知音难觅，寻找亲和数更使数学家绞尽了脑汁。亲和数是数论王国中的一朵小花，它有漫长的发现历史和美丽动人的传说。

据说，毕达哥拉斯的一个门徒向他提出这样一个问题：“我结交朋友时，存在着数的作用吗？”毕达哥拉斯毫不犹豫地回答：“朋友是你的灵魂的倩影，要象220和284一样亲密。”又说“什么叫朋友？就象这两个数，一个是你，另一个是我。”后来，毕氏学派宣传说：人之间讲友谊，数之间也有“相亲相爱”。从此，把220和284叫做“亲和数”或者叫“朋友数”或叫“相亲数”。这就是

关于“亲和数”这个名称来源的传说。220和284是人类最早发现，又是最小的一对亲和数。

首先发现220与284就是一对亲和数，在以后的2500年间，世界上有很多数学家致力于探寻亲和数，面对茫茫数海，无疑是大海捞针，虽经一代又一代人的穷思苦想，有些人甚至为此耗尽毕生心血，却始终没有收获。

距离第一对亲和数诞生2500多年以后，历史的车轮转到十七世纪，1636年，法国“业余数学家之王”费尔马找到第二对亲和数17296和18416，重新点燃寻找亲和数的火炬，在黑暗中找到光明。

两年之后，“解析几何之父”——法国数学家笛卡尔(René Descartes)于1638年3月31日也宣布找到了第三对亲和数9437056和9363584。费马和笛卡尔在两年的时间里，打破了二千多年的沉寂，激起了数学界重新寻找亲和数的波涛。

在十七世纪以后的岁月，许多数学家投身到寻找新的亲和数的行列，他们企图用灵感与枯燥的计算发现新大陆。可是，无情的事实使他们省悟到，已经陷入了一座数学迷宫，不可能出现法国人的辉煌了。

正当数学家们真的感到绝望的时候，平地又起了一声惊雷。1747年，年仅39岁的瑞士数学家欧拉竟向全世界宣布：他找到了30对亲和数，后来又扩展到60对，不仅列出了亲和数的数表，而且还公布了全部运算过程。

时间又过了120年，到了1867年，意大利有一个爱动脑筋，勤于计算的16岁中学生白格黑尼，竟然发现数学大师欧拉的疏漏——让眼皮下的一对较小的亲和数1184和1210溜掉了。这戏剧性的发现使数学家如痴如醉。

在以后的半个世纪的时间里，人们在前人的基础上，不断更新方法，陆陆续续又找到了许多对亲和数。

同时，数学家还发现，若一对亲和数的数值越大，则这两个数之比越接近于1，这是亲和数所具有的规律吗？人们企盼着最终的结论。

电子计算机诞生以后，结束了笔算寻找亲和数的历史。有人在计算机上对所有100万以下的数逐一进行了检验，总共找到了42对亲和数，发现10万以下数中仅有13对亲和数。但因计算机功能与数学方法的不够，目前还没有重大突破，但是，寻找亲和数未来正等待着不畏艰辛的数学家和计算机专家，同时，发现新的亲和数的捷报也正等待着不畏艰辛的数学家和计算机专家。

完全数（Perfect number），又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数。它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和，恰好等于它本身。

例如：第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1+2+3=6。第二个完全数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，1+2+4+7+14=28。

公元前6世纪的毕达哥拉斯是最早研究完全数的人，他已经知道6和28是完全数。有些《圣经》注释家认为6和28是上帝创造世界时所用的基本数字，因为上帝创造世界花了六天，二十八天则是月亮绕地球一周的日数。

在中国文化里：有六谷、六畜、战国时期的六国、秦始皇以六为国数、六常（仁、义、礼、智、信、孝）、天上四方有二十八宿等等，6和28，在中国历史长河中，之所以熠熠生辉，是因为它是一个完全数，有的学者说，中国发现完全数比西方还早呢。

第三个完全数是496，有约数1、2、4、8、16、31、62、124、248、496，除去其本身496外，其余9个数相加，1+2+4+8+16+31+62+124+248=496。后面的完全数还有8128、33550336等等。

完全数有许多有趣的性质：

1、它们都是三角形数 例如：

6=1+2+3

28=1+2+3+4+5+6+7

496=1+2+3+??+30+31

8128=1+2+3??+126+127

2、每个都是调和数

它们的全部因数的倒数之和都是2，因此每个完全数都是调和数。例如： 1/1+1/2+1/3+1/6=2

1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2

1/1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/31+1/62+1/124+1/248+1/496=2

3、可以表示成连续奇立方数之和

除6以外的完全数，还可以表示成连续奇立方数之和，并规律式增加。例如： 28=1^3+3^3

496=1^3+3^3+5^3+7^3

8128=1^3+3^3+5^3+??+15^3

33550336=1^3+3^3+5^3+??+125^3+127^3

4、都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和

不但如此，而且它们的数量为连续质数。例如：

6=2^1+2^2

28=2^2+2^3+2^4

496=2^4+2^5+2^6+2^7+2^8

8128=2^6+2^7+2^8+2^9+2^10+2^11+2^12

33550336=2^12+2^13+??+2^24

5、完全数都是以6或8结尾

完全数诞生后，吸引着众多数学家与业余爱好者像淘金一样去寻找。它很久以来就一直对数学家和业余爱好者有着一种特别的吸引力，他们没完没了地找寻这一类数字。接下去的两个完数看来是公元1世纪，毕达哥拉斯学派成员尼克马修斯

发现的，他在其《数论》一书中有一段话如下：也许是这样，正如美的、卓绝的东西是罕有的，是容易计数的，而丑的

寻找完全数并不是容易的事。经过不少数学家研究，到20xx年2月6日为止，一共找到了48个完全数。

以上是两个完美的数字，接下来我们来做两个完美的游戏。

第一个是角谷游戏。

任取一个正整数，如果它是偶数，就除以2，如果它是奇数，就用它乘3再加1。将所得到的结果不断地重复上述运算，最后的结果总是1。

任取一个正整数，将组成这个数的偶数的数字个数，奇数的数字个数和这个数的数字位数依次写下来，组成一个新的数，重复上述步骤，你会发现，最后的结果始终是123。

两个游戏过后，我们发现原来数字中也藏着这么多秘密。惊险的还在后面呢 一张薄纸，不断对折，折30次后，纸叠得有多厚？

有一根很长很长的绳子，恰好可以绕地球赤道一周，如果把绳子再接长15米后，绳子就会绕着地球一周悬在空中。你能想像出：在赤道的任何一个地方，一个身高2米39以下的人,都可以从绳子下面自由穿过。

神奇的0.618?现实中的数学之美

圆周率π用来检验电脑的速度

社会上流行这样一道算式：8-1>8。这在数学上是不成立的，但在生活中却饱含哲理。它告诉人们：在每天八小时中拿出一小时锻炼身体，其效果要比八个小时全用来学习、工作还好

最后，我用一句名言来结束我的讲座，任何领域都有美的存在，只要你能用心挖掘到它的美，你就可以攀登科学的高峰。 希望本次讲座能让大家从另一个侧面来了解数学，认识数学，喜欢数学。谢谢！