§2.3数学归纳法

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【学习目标】

(1) 了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤。

(2) 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写。

【学习重点】能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

【学习难点】如何证明时，命题成立。

【课堂六环节】

一、“导”——教师导入新课。（2—3分钟）

1.多米诺骨牌实验

要使所有的多米诺骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？

（1）                         （奠基作用）

（2）                                         （递推作用）

2.证明与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

（1）（归纳奠基）证明当                          命题成立；

（2)（归纳递推）假设n=k (k≥n₀,k∈)时命题成立，证明当       时命题也成立。

思考：（1）数学归纳法的归纳奠基中一定等于1吗?

     （2）当时，需要证明的命题一定增加一项吗？

二、“思”——学生自主学习。学生结合课本自主学习，完成以下有关内容（时间不少于13分钟）

题型一、用数学归纳法证明等式

例1.用数学归纳法证明对任何正整数n有证明1²＋2²＋3²＋…＋n²= n(n+1)（2n＋1）

变式1：用数学归纳法证明

题型二、用数学归纳法证明不等式

例2.归纳法证明>（其中n＞1，且）．

变式2.+>对一切正整数n都成立，求正整数的最大值，并证明你的结论。

题型三.归纳------猜想------证明

例3.已知数列根据计算结果，猜想，并用数学归纳法进行证明。

变式3.在数列中，且。

(1)求

(2)猜测出的关系式并用数学归纳法证明。

     

     

 三、“议”——学生起立讨论。小组集体商议以上学习的内容，每位小组成员根据自己的学习思

结果核对、复述、更正、补充以上的学习内容，还可讨论与以上学习内容相关的拓展性知识。（ 9分钟）

四、“展”——学生激情展示。小组代表或教师随机指定学生展示。（8分钟）

五、“评”——教师点评，教师总结规律，点评共性问题，或拓展延伸。（9分钟）

六．课堂检测：

1.用数学归纳法证明,在验证成立时,左边所得的项为(  ) 

 A. 1     B. 1+    C.        D.

2. 某个命题与自然数n有关，若n＝k  (k∈N)时该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立。现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得______。   

   A.当n＝6时该命题不成立        B.当n＝6时该命题成立

   C.当n＝4时该命题不成立        D.当n＝4时该命题成立

 3. ，第一步应验试左式是__________________ ,  右式是___________________

4.用数学归纳法证明：

第二篇：数学归纳法学案

课    题：数学归纳法及其应用举例

一、教学要求：

（1）了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导；

（2）理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.

二、基础梳理：

1.什么叫数学归纳法？

2.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：

总结：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.

三、例题

              类型一 证明等式

例1　用数学归纳法证明

分析

1）第一步应做什么？此时n0=      ，左　　　　  ，

2) 当n=k时，等式左边共有　　项，

第k项是　　　　　              　　。　　

假设n=k时命题成立，即________________________________

3）当n=k+1时，命题的形式是　　　　　              　　

4）此时，左边增加的项是　　　　　              　　

5)从左到右如何变形？　　　　　              　　

证明：

变式训练

1、用数学归纳法证:

 

(n≥2,n∈N )过程中,由“n=k”变到“n=k+1”时，不等式左边的变化是（     ）：

 

2、用数学归纳法证:

 

(n≥2,n∈N )过程中,由“n=k”变到“n=k+1”时，左式所需添加的项数为（     ）：

Ａ.１项              Ｂ.    　项

Ｃ.　　 项         Ｄ.　　  项

类型二 证明整除问题

证明：

变式训练:用数学归纳法证明:                      能被8整除.

               类型三 证明不等式问题

例3:用数学归纳法证明:

分析： 此题关键在于从n=k到n=k+1不等式左端的变化

证明：

变式训练

求证:

四、小结 ：

   1、数学归纳法有哪些应用？

  2、第二步中从n=k到n=k+1应注意哪些问题，有哪些技巧方法？

五、课后作业：

（一）、必做题 

1、用数学归纳法证明下式

(1)当n=1时,左边有_____项,右边有_____项；

(2)当n=k时,左边有_____项,右边有_____项；

(3)当n=k+1时,左边有_____项,右边有_____项；

(4)等式的左右两边,由n=k到n=k+1时有什么不同?

左边增加两项:_____________

右边增加两项:  __________,减少一项:________

2、用数学归纳法证明用数学归纳法证明能被13整除，

（其中n∈N*）

3、用数学归纳法证明当

（二）、选做题

1、用数学归纳法证明:当n为正偶数时,         能被x+y整除.

2、平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明交点的个数f(n)=n(n-1)/2.