数学归纳法、极限 （一）第一数学归纳法：

一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n），有如下步骤：

（1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；

（2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。

（二）第二数学归纳法：

对于某个与自然数有关的命题P(n），

（1）验证n=n0时P(n）成立；

（2）假设n0≤n<=k时P(n）成立，并在此基础上，推出P(k+1）成立。

综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。

（三）倒推归纳法（反向归纳法）：

（1）验证对于无穷多个自然数n命题P(n）成立（无穷多个自然数可以是一个无穷数列中的数，如对于算术几何不等式的证明，可以是2^k，k≥1）；

（2）假设P(k+1）（k≥n0）成立，并在此基础上，推出P(k）成立， 综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立；

（四）螺旋式归纳法

对两个与自然数有关的命题P(n），Q(n），

（1）验证n=n0时P(n）成立；

（2）假设P(k）（k>n0）成立，能推出Q(k）成立，假设 Q(k）成立，能推出 P(k+1）成立；

综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），P(n），Q(n）都成立。

1．数学归纳法用于证明一个“关于正自然数n的命题对于从正自然数n0

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开始的所有正自然数n都成立”的问题。

2．能根据f(k)正确写出f(k+1),并能指出f(k)与f(k+1)之间的关系，这

往往是运用数学归纳法的最关键的一步。

[举例1]已知f(n)?

A．f(n)+1111，则f(n?1)= ?????n?1n?2n?32n111， B．f(n)++， 2(n?1)2n?12(n?1)

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     数学归纳法的应用

数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法.

 (1)数学归纳法的基本形式

设P(n)是关于自然数n的命题，若

1°P(n₀)成立(奠基)

2°假设P(k)成立(k≥n₀)，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n₀的自然数n都成立.

(2)数学归纳法的应用

具体常用数学归纳法证明：恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等.

●歼灭难点训练

一、选择题

1.(★★★★★)已知f(n)=(2n+7)·3ⁿ+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n)，则最大的m的值为(    )

A.30                                   B.26                     C.36                            D.6

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理科数学归纳法知识总结

一基本概念

1.运用数学归纳法证明命题要分两步,

第一步是归纳奠基(或递推基础),

第二步是归纳递推(或归纳假设),

两步缺一不可

二 易错点

1.归纳起点易错

（1）n未必是从n=1开始

例 用数学归纳法证明：凸n边形的对角线条数为

点拔：本题的归纳起点n=3

（2） n=1时的表达式

例 用数学归纳法证明，在验证n=1时，左边计算所得的式子是（ ）

A. 1         B.      C.     D.

点拨  n=1时，左边的最高次数为1，即最后一项为，左边是，故选B

2.没有运用归纳假设的证明不是数学归纳法

例1 用数学归纳法证明：

错证：

（1）当n=1时，左=右=1，等式成立

（2）假设当n=k时等式成立，

则当n=k+1时，

综合（1）（2），等式对所有正整数都成立

点拨：错误原因在于只有数学归纳法的形式，没有数学归纳法的“实质”即在归纳递推中，没有运用归纳假设

3 从n=k到n=k+1增加项错误

例1 已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k（且为偶数）时命题为真，，则还需证明（ ）

A.n=k+1时命题成立          B. n=k+2时命题成立

C. n=2k+2时命题成立        D. n=2（k+2）时命题成立

点拨：因n是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k的下一个偶数是k+2，故选

例2 用数学归纳法证明不等式的过程中，由k推导到k+1时，不等式左边增加的式子是          

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教材背景：

归纳是一种由特殊事例导出一般规律的思维方法．归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种．不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的．完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来．数学归纳法是用来证明某些与正整数有关的数学命题的一种推理方法，在数学问题的解决中有着广泛的应用．

教学课题：数学归纳法

教材分析：

   “数学归纳法”既是高中代数中的一个重点和难点内容，也是一种重要的数学方法。它贯通了高中代数的几大知识点：不等式，数列，三角函数……在教学过程中，教师应着力解决的内容是：使学生理解数学归纳法的实质，掌握数学归纳法的证题步骤（特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用）。只有真正了解了数学归纳法的实质，掌握了证题步骤，学生才能信之不疑，才能用它灵活证明相关问题。本节课是数学归纳法的第一节课，有两大难点：使学生理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中归纳假设的利用。不突破以上难点，学生往往会怀疑数学归纳法的可靠性，或者只是形式上的模仿而不知其所以然。这会对以后的学习造成极大的阻碍。根据本节课的教学内容和学生实际水平，本节课采用“引导发现法”和“讲练结合法”。通过课件的动画模拟展示，引发和开启学生的探究热情，通过“师生”和“生生”的交流合作，掌握概念的深层实质。

 教学目标

1、知识和技能目标

(1)了解数学推理的常用方法（归纳法）

(2)了解数学归纳法的原理及使用范围。

(3)初步掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论。

(4)会用数学归纳法证明一些简单的等式问题。

2、过程与方法目标

通过对归纳法的复习，说明不完全归纳法的弊端，通过多米诺骨牌实验引出数学归纳法的原理，使学生理解理论与实际的辨证关系。在学习中培养学生探索发现问题、提出问题的意识，解决问题和数学交流的能力,学会用总结、归纳、演绎类比探求新知识。

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数学归纳法

1.种类

1.第一数学归纳法

一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n），有如下步骤：

（1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；

（2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。 综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。

2.第二数学归纳法

对于某个与自然数有关的命题P(n），

（1）验证n=n0，n=n1时P(n）成立；

（2）假设n≤k时命题成立，并在此基础上，推出n=k+1命题也成立。

综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。

3.倒推归纳法(又名反向归纳法)

（1）验证对于无穷多个自然数n命题P(n）成立（无穷多个自然数可以是一个无穷数列中的数，如对于算术几何不等式的证明，可以是2^k，k≥1）；

（2）假设P(k+1）（k≥n0）成立，并在此基础上，推出P(k）成立，

综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立；

4.螺旋式归纳法

对两个与自然数有关的命题P(n），Q(n），

（1）验证n=n0时P(n）成立；

（2）假设P(k）（k>n0）成立，能推出Q(k）成立，假设 Q(k）成立，能推出 P(k+1）成立； 综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），P(n），Q(n）都成立。

2应用

1.确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。

2数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式。 3证明数列前n项和与通项公式的成立。

4证明和自然数有关的不等式。

3变体

在应用，数学归纳法常常需要采取一些变化来适应实际的需求。下面介绍一些常见的数学归纳法变体。

从0以外的数字开始

如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有大于等于某个数字b的自然数，那么证明的步骤需要做如下修改：

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          数学归纳法 （预习案）    

【温馨提示】

1.阅读预习情景，针对问题阅读教材理P92—P95，并用红色笔进行勾画。再回答教材助读中的问题；

2.在“我的疑惑”处写出自己的疑惑，利用课间或课上讨论，答疑解惑；独立完成“预习自测”；

3.时间不超过15分钟。

4.重点掌握的内容：数学归纳法的步骤与应用

【预习目标】

1.能解释数学归纳法的原理，会用数学归纳法证明问题；

2.自主总结应用数学归纳法证明问题的规律和方法；

【预习情景】

在学校，我们经常见到一个现象，排成排的自行车，一个同学不小心将其中一个自行车弄倒了，其他的自行车都被压倒了一个接一个倒下了。

【教材助读】

1.情景中整排自行车能够全部倒下的条件是什么？

  

2.数学归纳法的步骤是什么？

思考：（1）第一步的作用是什么？

     （2）第二步的作用是什么？

3.试用框图表示数学归纳法的证明步骤。

【预习自测】

1. 用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是（　　）

Ａ．1         Ｂ．              Ｃ．         Ｄ．

2. 用数学归纳法证明，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上(　　)

Ａ．       Ｂ．          Ｃ．         Ｄ．

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                           “数学归纳法”教学设计

一、教材与内容解析

（一）内容与内容解析

数学归纳法是人教B版普通高级中学教科书数学选修2-2第二章第三节的内容。本节课的主要内容是介绍数学归纳法的原理。

由于正整数具有无穷无尽的特点，有些关于正整数n的命题,难以对n进行一一的验证，从而需要寻求一种新的推理方法，以便能通过有限的推理来证明无限的结论，这是数学归纳法产生的根源。
　　数学归纳法是一种证明与正整数n有关命题的重要方法。它的独到之处便是运用有限个步骤就能证明无限多个对象，而实现这一目的的工具就是递推思想。
    数学归纳法的两个步骤中，第一步是证明的奠基，第二步是递推。递推是实现从有限到无限飞跃的关键，没有它我们就只能停留在对有限情况的把握上。

数学归纳法是以归纳为基础、以演绎为手段证明结论的一种方法，是归纳法与演绎法的完善结合．这也许是数学归纳法不是归纳法但又叫“数学归纳法”的原因．

（二）地位与作用解析

从应用上看，数学归纳法是解决与正整数有关命题的一种推理方法，它将无限多个归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，是证明与正整数有关问题的重要工具。数学归纳法本质是归纳递推，但它与归纳法有着一定程度的关联。在数学结论的发现过程中，不完全归纳法发现结论，最终利用数学归纳法证明解决问题。

从思想方法上看，数学归纳法蕴含了无限转化为有限的思想，体现了奠基、递推、总结一体的整体思想。

从美学上看，数学归纳法展现了无限与有限的统一美；揭示了有限推证无限，把无限“沦为”有限的思维美；数学归纳法的发展历程展现了数学文化美。

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